2021年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2021 年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （文科）（一模）年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （文科）（一模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 11Mxx ， 2 |20Nx xx，则(MN ) A | 10 xx B | 12xx C |01xx D |1x x 或2x 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足 3 z i i ，则(z ) A13

2、i B13i C13i D13i 3 （5 分） “ab”是“ 22 acbc”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知| 2a ，| 1b ，且a与b的夹角为 3 ，则()(abb ) A31 B1 C2 D3 5 （5 分）已知数列 1 n a 是公比为 1 2 的等比数列，且 2 4a ，则 6 (a ) A64 B32 C 1 4 D 1 16 6 （5 分）某校 100 名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，学生的成绩分组 区间是50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100，其中数学成绩

3、在 80 分 以上的学生有( ) A35 名 B30 名 C25 名 D20 名 7（5 分） 设( )f x是定义域为R的偶函数， 若( )f x在(0,)上单调递增， 则 3 ( ) 2 f， 2 (log 3)f， 1 2 (log 3.1)f的大小关系为( ) 第 2 页（共 21 页） A 12 2 3 (log 3.1)(log 3)( ) 2 fff B 21 2 3 (log 3)(log 3.1)( ) 2 fff C 12 2 3 ( )(log 3.1)(log 3) 2 fff D 21 2 3 ( )(log 3)(log 3.1) 2 fff 8 （5 分）常用的4

4、A打印纸的长宽比例是2 :1，从4A纸中剪去一个最大的正方形后，剩 下的矩形长与宽之比称为“白银比例” 白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着 广泛的应用 已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台， 塔顶到塔底的高度与 第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比， 都等于白银比例，若两观景台之间高度差为 60 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近 的是( ) A285 米 B268 米 C255 米 D248 米 9 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|)的图象过点 2 (,1) 3 ，且相邻两个零点 的距离为2 若将函数(

5、)f x的图象向左平移 4 个单位得到函数( )g x的图象， 则函数( )g x的 解析式为( ) A( )sin(2) 3 g xx B 7 ( )sin(2) 12 g xx C 17 ( )sin() 224 g xx D 15 ( )sin() 212 g xx 10 （5 分）如图，已知棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D，E，F，G分别为AB， 1 CD， AD的中点，则异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为( ) A0 B 10 10 C 2 2 D1 11 （5 分）由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳 灶应用了抛物线的光学性质

6、： 一束平行于抛物线轴的光线， 经过抛物面的反射集中于它的焦 第 3 页（共 21 页） 点用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴 重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点 1 ( ,1) 4 A，平行于对称轴的光线经过点A反射 后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为( ) A 25 4 B 25 8 C17 4 D2 12 （5 分）已知函数 2 ( ) 1 x f x x ，若函数( )yf xa有两个零点，则实数a的取值范围 是( ) A 1 1 (, ) 2 2 B 11 (,0)(0, ) 22 C 1 (0, ) 2 D 1

7、 1 , 2 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 2 n Sn，则 n a 14 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点到其中一条渐近线的距离为 2 a ，则双 曲线的离心率为 15 （5 分）现有一个高为 4 的正三棱柱容器（厚度忽略不计） ，其外接球的表面积为32， 则能放入该容器的最大的球的体积为 16 （5 分）用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另 一条边长1m，则该容器容积的最大值为 3 m（

8、不计损耗） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 4 B （1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A的值； 5b ，2c ；3a ，2c （2）若5b ，3ac，求ABC的面积 18 （12 分）2020 年 8 月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加 第 4 页（共 21 页） 强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围为贯彻总书记 指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志

9、愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动现已有 高一 63 人、高二 42 人，高三 21 人报名参加志愿活动根据活动安排，拟采用分层抽样的 方法，从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者，参加为期 20 天的第一期志愿活动 （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 2 人粘贴宣传标语，求抽出两人都 是高二学生的概率是多少？ （3）食堂每天约有 400 人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的 重量（单位：公斤） ，以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果在一个周期内，这组志愿 者记录的数据如下： 前

10、10 天剩菜剩饭的重量为：24.1，25.2，24.5，23.6，23.4，24.2，23.8，21.5，23.5，21.2 后 10 天剩菜剩饭的重量为：23.2，21.5，20.8，21.3，20.4，19.4，20.2，19.3，20.6，18.3 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行 说明即可） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，M，N 分别为PC，CD的中点，2PDAD，4AB （1）求证：BNAM； （2）求点P到平面AMD的距离 20 （12 分）已知焦点在x轴上的椭圆 22 22 :1

11、(0) xy Cab ab ，短轴长为2 3，椭圆左顶 点A到左焦点 1 F的距离为 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为B，过 1 F的直线l与椭圆C交于点M，N，且 18 2 7 BMN S，求直 线l的方程 21 （12 分）已知函数( )1 x f xeax 第 5 页（共 21 页） （1）当1a 时，求( )f x的极值； （2）若 2 ( )f xx在0，)上恒成立，求实数a的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时， 用用 2B 铅笔在答题

12、卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 直线 1: () 3 lR 与直线 2: 3 cos sin40l交于点P （1）求点P的直角坐标； （2）若直线 2 l与圆 3cos :( 3sin x C y 为参数）交于A，B两点，求| |PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 1 ( ) |(0)f xxxaa a （1）当1a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）证明：( ) 2

13、f x 第 6 页（共 21 页） 2021 年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （文科）（一模）年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （文科）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 11Mxx ， 2 |20Nx xx，则(MN ) A | 10 xx B | 12xx C |01xx D |1x x 或2x 【解答】解： | 11Mxx ，

14、|0Nx x或2x ， | 10MNxx 故选：A 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足 3 z i i ，则(z ) A13i B13i C13i D13i 【解答】解： 3 z i i ， (3)13ziii ， 13zi ， 故选：D 3 （5 分） “ab”是“ 22 acbc”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当0c 时，若“ab”则“ 22 acbc”不成立，即充分性不成立， 若“ 22 acbc”则0c ，则“ab”成立，即必要性成立， 故“ab”是“ 22 acbc”的必要不充分条件， 故选：B 4 （5 分

15、）已知| 2a ，| 1b ，且a与b的夹角为 3 ，则()(abb ) A31 B1 C2 D3 【解答】解：| 2a ，| 1b ，且a与b的夹角为 3 ， 则 2 1 ()12 12 2 abbba b 第 7 页（共 21 页） 故选：C 5 （5 分）已知数列 1 n a 是公比为 1 2 的等比数列，且 2 4a ，则 6 (a ) A64 B32 C 1 4 D 1 16 【解答】 解： 根据题意， 数列 1 n a 是公比为 1 2 的等比数列， 即 1 1 1 1 2 n n a a ， 变形可得 1 2 n n a a ， 则数列 n a是公比为 2 的等比数列， 若 2

16、4a ，则 4 62 64aa q， 故选：A 6 （5 分）某校 100 名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，学生的成绩分组 区间是50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100，其中数学成绩在 80 分 以上的学生有( ) A35 名 B30 名 C25 名 D20 名 【解答】解：由频率分布直方图知，(20.020.030.04) 101a， 0.005a， 数学成绩在 80 分以上的学生有(0.020.005) 10 10025名 故选：C 7（5 分） 设( )f x是定义域为R的偶函数， 若( )f x在(0,)上单调递增， 则 3 ( ) 2 f

17、， 2 (log 3)f， 1 2 (log 3.1)f的大小关系为( ) A 12 2 3 (log 3.1)(log 3)( ) 2 fff B 21 2 3 (log 3)(log 3.1)( ) 2 fff C 12 2 3 ( )(log 3.1)(log 3) 2 fff 第 8 页（共 21 页） D 21 2 3 ( )(log 3)(log 3.1) 2 fff 【解答】解：( )f x是R上的偶函数， 122 2 (3.1)(3.1)(3.1)f logflogf log， 22 3 38 2 loglog， 22 3 33.1 2 loglog，且( )f x在(0,)上

18、单调递增， 22 3 ( )(3)(3.1) 2 ff logf log， 21 2 3 ( )(3)(3.1) 2 ff logf log 故选：D 8 （5 分）常用的4A打印纸的长宽比例是2 :1，从4A纸中剪去一个最大的正方形后，剩 下的矩形长与宽之比称为“白银比例” 白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着 广泛的应用 已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台， 塔顶到塔底的高度与 第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比， 都等于白银比例，若两观景台之间高度差为 60 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近 的是( ) A285 米

19、 B268 米 C255 米 D248 米 【解答】 解： 设4A纸长为2a， 宽为a， 去掉最大的正方形后矩形的长为a， 宽为( 21)a， 白银比为12 ( 21) a a ， 设塔高为y，第一观景台到塔底的高度为x，则第二观景台高度为60 x ， 由题意知 60 12 x x ，解得30 2x ， 12 60 y x ，解得247.2y ， 故选：D 9 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|)的图象过点 2 (,1) 3 ，且相邻两个零点 的距离为2 若将函数( )f x的图象向左平移 4 个单位得到函数( )g x的图象， 则函数( )g x的 解析式为( ) A( )

20、sin(2) 3 g xx B 7 ( )sin(2) 12 g xx 第 9 页（共 21 页） C 17 ( )sin() 224 g xx D 15 ( )sin() 212 g xx 【解答】解：函数( )sin()(0f xx ，|)相邻两个零点的距离为2 所以函数的周期为4， 所以 1 2 ， 由于函数的图象过点 2 (,1) 3 ， 所以 2 ()sin()1 33 f ， 故 6 ， 则 1 ( )sin() 26 f xx ， 将函数( )f x的图象向左平移 4 个单位得到函数 117 ( )sin()sin() 286224 g xxx 的图 象， 故选：C 10 （5

21、分）如图，已知棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D，E，F，G分别为AB， 1 CD， AD的中点，则异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为( ) A0 B 10 10 C 2 2 D1 【解答】解：以D为原点，DA，DC， 1 DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐 标系， 则 1(2 A，0，2)，(1G，0，0)，(2E，1，0)，(0C，2，0)， 1(0 D，0，2)，(0F，1，1)， 第 10 页（共 21 页） 1 ( 1AG ，0，2)，( 2EF ，0，1)， 1 0AG EF，即 1 AGEF， 异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为 0 故选：A

22、 11 （5 分）由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳 灶应用了抛物线的光学性质： 一束平行于抛物线轴的光线， 经过抛物面的反射集中于它的焦 点用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴 重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点 1 ( ,1) 4 A，平行于对称轴的光线经过点A反射 后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为( ) A 25 4 B 25 8 C17 4 D2 【解答】 解： 由题意设抛物线的方程为 2 ymx， 将A的坐标代入可得 2 1 1 4 m， 可得4m ， 所以抛物线的方程为： 2

23、4yx，可得焦点(1,0)F，准线方程为1x ， 由题意可得反射光线过焦点(1,0)，所以直线AB 的方程为： 10 0(1) 1 1 4 yx ， 整理可得： 4 (1) 3 yx ， 联立 2 4 (1) 3 4 yx yx ，整理可得： 2 340yy，解得： 1 4y ， 2 1y ， 代入直线方程可得 1 4x ， 2 1 4 x ， 所以反射光线与抛物线的两个交点 1 ( 4 A，1)，(4,1)B，所以AB的中点 17 ( 8 ，1)， 所以AB的中点到准线的距离 1725 1 88 d ， 故选：B 第 11 页（共 21 页） 12 （5 分）已知函数 2 ( ) 1 x f

24、 x x ，若函数( )yf xa有两个零点，则实数a的取值范围 是( ) A 1 1 (, ) 2 2 B 11 (,0)(0, ) 22 C 1 (0, ) 2 D 1 1 , 2 2 【解答】解：函数 2 ( ) 1 x f x x ，则 2 2222 1(1)(1) ( ) (1)(1) xxx fx xx ， 当1x 时，( )0fx，则( )f x单调递减， 当11x 时，( )0fx，则( )f x单调递增， 当1x 时，( )0fx，则( )f x单调递减， 所以当1x 时，函数( )f x取得极小值 1 ( 1) 2 f ， 当1x 时，( )f x取得极大值f（1） 1 2

25、 ， 又(0)0f，作出函数( )f x的图象如图所示， 函数( )yf xa有两个零点，即方程( )f xa有两个根，即( )yf x与ya有两个不同的 交点， 由图象可得，实数a的取值范围是 11 (,0)(0, ) 22 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 2 n Sn，则 n a 21n 【解答】解：当1n 时， 2 1 11S ， 当2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 又1n 时， 1 211a ，满足通项公式， 第 12 页（共

26、21 页） 此数列为等差数列，其通项公式为21 n an， 故答案为：21n 14 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点到其中一条渐近线的距离为 2 a ，则双 曲线的离心率为 5 2 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：0bxay，右焦点( ,0)c，可得 22 2 abc ab ， 即2ab， 所以 222 44aca，1e ，解得 5 2 c e a 故答案为： 5 2 15 （5 分）现有一个高为 4 的正三棱柱容器（厚度忽略不计） ，其外接球的表面积为32， 则能放入该容器的最大的球的体积为 4 3 【解答】解：如图， 设正三棱柱的底面中心为G，

27、外接球的球心为O，连接OG，OA， 由外接球的表面积为32，得外接球的半径为 32 2 2 4 OA ， 又2OG ， 22 842AGOAOG， 则 3 3 2 ADAG，可得1GD 能放入该容器的最大的球的半径为 1，体积为 3 44 1 33 故答案为： 4 3 16 （5 分）用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另 一条边长1m，则该容器容积的最大值为 9 16 3 m（不计损耗） 【解答】解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(1)xm， 第 13 页（共 21 页） 高为：11 44(1)7 2 44 xx x 由 7 20 4 x和0 x ，得

28、7 0 8 x， 设容器的容积为 3 ym，则有 77 (1)(2 )(0) 48 yx xxx 整理，得 32 17 2 44 yxxx ， 2 17 6 24 yxx ， 令0y，有 2 17 60 24 xx，即 2 24270 xx， 解得 1 1 2 x ， 2 7 12 x （不合题意，舍去） 从而，在定义域 7 (0, ) 4 内只有在 1 2 x 处使0y 由题意，若x过小（接近0)或过大（接近 7 ) 4 时，y值很小（接近0)， 因此，当 1 2 x 时y取得最大值， 1 1719 12 2 24216 y 最大值 ， 故答案为： 9 16 三、解答题：共三、解答题：共 7

29、0 分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 4 B （1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A的值； 5b ，2c ；3a ，2c （2）若5b ，3ac，求ABC的面积 【解答】解： （1）选择条件5b ，2c ， 由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 2 5222 2 aa， 即 2 230aa，所以3a 或1a ，0a ，3a， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 sin3 10 sin 10 aB A b 选择条件3a ，2c

30、 ， 由余弦定理得 222 2cosbacacB 2 922 325 2 ，5b， 第 14 页（共 21 页） 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 sin3 10 sin 10 aB A b （2）由余弦定理 222 2cosbacacB得 22 52acac， 所以 2 5()(22ac)9(22)acac， 得42ac 2，所以 1 2 ABC Ssin21acB 18 （12 分）2020 年 8 月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加 强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围为贯彻总书记 指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者

31、，协助食堂宣传节约粮食的相关活动现已有 高一 63 人、高二 42 人，高三 21 人报名参加志愿活动根据活动安排，拟采用分层抽样的 方法，从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者，参加为期 20 天的第一期志愿活动 （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 2 人粘贴宣传标语，求抽出两人都 是高二学生的概率是多少？ （3）食堂每天约有 400 人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的 重量（单位：公斤） ，以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果在一个周期内，这组志愿 者记录的数据如下： 前 10

32、 天剩菜剩饭的重量为：24.1，25.2，24.5，23.6，23.4，24.2，23.8，21.5，23.5，21.2 后 10 天剩菜剩饭的重量为：23.2，21.5，20.8，21.3，20.4，19.4，20.2，19.3，20.6，18.3 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行 说明即可） 【解答】解： （1）报名的学生共有 126 人，抽取的比例为 122 12621 ， 所以高一抽取 2 636 21 人，高二抽取 2 424 21 人，高三抽取 2 212 21 人 （2）记高二四个学生为 1，2，3，4，高三两个学生为 5，6，抽出

33、两人表示为( , )x y， 则抽出两人的基本事件为 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,4)，(3,5)，(3,6) (4,5)，(4,6) 第 15 页（共 21 页） (5,6) 共 15 个基本事件， 其中高二学生都在同一组包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 个基本事件 记抽出两人都是高二学生为事件A，则 62 ( ) 155 P A ， 所以高二学生都在同一组的概率是 2 5 （3）法一、 （数字特征）前 10 天的平均值为 23.5，后 10 天的平均值为

34、20.5， 因为20.523.5， 所以宣传节约粮食活动的效果很好 法二： （茎叶图）画出茎叶图 前 10 天 后 10 天 2 25 5 1 2 24 8 6 5 4 23 2 52 21 35 20 2 4 6 8 19 34 18 3 因为前 10 天的重量集中在 23、24 附近，而后 10 天的重量集中在 20 附近， 所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，M，N 分别为PC，CD的中点，2PDAD，4AB （1）求证：BNAM； （2）求点P到平面AMD的距离 第 16 页（共 21 页）

35、【解答】 （1）证明：连接MN、AN 因为M、N分别为PC、CD的中点， 所以/ /MNPD 因为PD 平面ABCD， 所以MN 平面ABCD 因为BN 平面ABCD， 所以MNBN.（2 分） 因为ABCD为矩形，2AD ，2DNCN， 所以2 2ANBN， 所以，在ABN中， 222 ANBNAB， 所以ANBN.（4 分） 因为MNANN，MN 平面AMN， AN 平面AMN， 所以BN 平面AMN， 所以BNAM.（6 分） （2）法一： 过P作PEDM，垂足为E 因为PD 平面ABCD， 所以PDAD 因为ADCD，PDCDD，PD平面PCDCD 平面PCD 所以AD 平面PCD.（

36、8 分） 因为PE 平面PCD， 所以ADPE 第 17 页（共 21 页） 又ADDMD，AD 平面ADM，DM 平面ADM， 所以PE 平面ADM， 所以PE的长即为点P到平面AMD的距离.（10 分） 因为M为PC中点， 所以 1 2 2 PDMPDC SS ， 1 5 2 DMPC 又 1 2 PDM SPE DM ，解得 4 5 5 PE ， 所以点P到平面AMD的距离为 4 5 5 .（12 分） 法二： 因为PD 平面ABCD， 所以PDAD 因为ADCD，PDCDD，PD平面PCDCD 平面PCD 所以AD 平面PCD.（8 分） 因为DM 平面PCD， 所以ADDM 因为M为

37、PC中点， 所以 1 2 2 PDMPDC SS ， 1 5 2 DMPC， 所以 14 33 A PDMPDM VSAD ， 1 5 2 ADM SAD DM .（10 分） 设点P到平面AMD的距离为h， 由 14 33 A PDMADM VSh 得 4 5 5 h ， 所以点P到平面AMD的距离为 4 5 5 .（12 分） 20 （12 分）已知焦点在x轴上的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，短轴长为2 3，椭圆左顶 点A到左焦点 1 F的距离为 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为B，过 1 F的直线l与椭圆C交于点M，N，且 18 2 7 BMN

38、 S，求直 线l的方程 第 18 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由 222 22 3 1 b ac acb 得 3 2 1 b a c ，.（3 分） 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （4 分） （2）法一：由题意可知，直线斜率不为 0， 1( 1,0) F ， 设直线l的方程为1xmy（5 分） 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 由 22 1 43 1 xy xmy 得 22 (34)690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 yy m （7 分） 因为 1112112 111 | | | | 222 B

39、MN SBFyBFyBFyy （8 分） 2 2 11212 2 118118 2 |()4 2347 m BFyyyy m ，（10 分） 解得1m ， 所以直线l的方程为10 xy 或10 xy （12 分） 法二： 由（1）知 1( 1,0) F ，(2,0)B， 当直线l斜率不存在时，| 3MN ， 点(2,0)B到直线:1l x 的距离为 3，所以 918 2 27 BMN S， 所以直线l斜率存在（5 分） 设直线l斜率为k，则直线l的方程为(1)yk x 设 1 (M x， 1) y、 2 (N x， 2) y， 由 22 1 43 (1) xy yk x 得 2222 (34)

40、84120kxk xk， 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k （7 分） 所以 第 19 页（共 21 页） 2222 2222222 12121212 22222 84(412)144(1)12(1) |()()1()41()1 3434(34)34 kkkk MNxxyykxxx xkk kkkk 因为点(2,0)B到直线l的距离为 2 |3 | 1 k d k ，（9 分） 所以 2 2 2 11 12(1)|3 |18 2 | 22347 1 BMN kk SMNd k k ， 所以 2 1k ，得1k ，（11 分） 所以直线l

41、的方程为10 xy 或10 xy （12 分） 21 （12 分）已知函数( )1 x f xeax （1）当1a 时，求( )f x的极值； （2）若 2 ( )f xx在0，)上恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时，( )1 x f xex， 所以( )1 x fxe，当0 x 时，( )0fx，当0 x 时，( )0fx， 所以( )f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 所以当0 x 时函数( )f x有极小值(0)0f，无极大值； （2）因为 2 ( )f xx在0，)上恒成立， 所以 2 1 0 x exax 在0，)上恒成立， 当0 x 时，0

42、0恒成立，此时aR， 当0 x 时， 1 () x e ax xx 在(0,)上恒成立， 令 1 ( )() x e g xx xx ， 则 2 222 (1)1(1)(1) ( )() xx exxxex g x xxx ， 由（1）知，当0 x 时，( )0f x ，即(1)0 x ex， 当01x时，( )0g x，当1x 时，( )0g x， 所以( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以当1x 时，( )2 min g xe，所以2a e， 综上，实数a的取值范围是(，2e 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作

43、答时，二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时， 第 20 页（共 21 页） 用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 直线 1: () 3 lR 与直线 2: 3 cos sin40l交于点P （1）求点P的直角坐标； （2）若直线 2 l与圆 3cos :( 3sin x C y 为参数）交于A，B两点，求| |PAPB的值 【解答】解： （1）法一： 联立3 3 cossin

44、40 ， 解得 4 3 3 ， 所以点P的极坐标为 4 3 (,) 33 ， 所以点P的直角坐标为 4 32 3 cos 333 4 3 sin2 33 x y ，即 2 3 (,2) 3 P 法二： 直线 1 l的直角坐标方程为3yx， 直线 2 l的直角坐标方程为340 xy， 联立解方程组得 2 3 3 2 x y ， 所以点P的直角坐标为 2 3 (,2) 3 （2）直线 2 l的直角坐标方程为340 xy，倾斜角为120， 所以直线 2 l的参数方程为 2 31 32 ( 3 2 2 xt t yt 为参数）， 圆C的普通方程为 22 xy 第 21 页（共 21 页） 将代入得 2

45、 4 311 0 33 tt 设点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 1212 11 | | | | | 3 PAPBtttt 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 1 ( ) |(0)f xxxaa a （1）当1a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）证明：( ) 2f x 【解答】 （1）解：当1a 时，( ) |1|1|f xxx 当1x时，( )1124f xxxx ，解得2x ； 当11x 时，( )112 4f xxx ，无解； 当1x时，( )1124f xxxx ，解得2x；（3 分） 综上所述：( ) 4f x 的解集为 |2x x或2x（5 分） （2）证明： 111 | |xxaxaxxax aaa （7 分） 1 |2a a ，（9 分） 当且仅当1a 时等号成立， 所以( ) 2f x 10分