2021年山西省高考数学考前适应性试卷（理科）（a卷）（一模）.docx

1、第 1 页（共 23 页） 2021 年山西省高考数学考前适应性试卷 （理科） （年山西省高考数学考前适应性试卷 （理科） （A 卷） （一模）卷） （一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |120Ax xx，集合 | 50Bxx，则(AB ) A | 53xx B | 54xx C | 40 xx D |03xx 2 （5 分）已知点 5 ( 5 P， 2 5) 5 是角的终边与单位圆的

2、交点，则sin2( ) A 4 5 B 3 5 C 5 5 D 2 5 5 3 （5 分） 高斯函数也称取整函数， 记作 x， 是指不超过实数x的最大整数， 例如6.86， 4.15 ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域下列关于高斯函数 yx 的性质叙述错误的是( ) A yx值域为Z B yx不是奇函数 C yxx为周期函数 D yx在R上单调递增 4 （5 分）某公司计划招收 600 名新员工，共报名了 2000 人，远超计划，故该公司采用笔 试的方法进行选拔， 并按照笔试成绩择优录取 现采用随机抽样的方法抽取 200 名报名者的 笔试成绩，绘制频率分布直方图如图： 则录取分数线

3、可估计为( ) A70 B73 C75 D77 5 （5 分）在同一直角坐标系中，指数函数( )x b y a ，二次函数 2 yaxbx的图象可能是( ) A B 第 2 页（共 23 页） C D 6 （5 分）已知双曲线的两条渐近线夹角为，且 4 tan 3 ，则其离心率为( ) A 5 2 B2 或5 C5 D 5 2 或5 7 （5 分）已知a，b，cR，且4a ，4abac，则 2232 abcabc 的最小值是( ) A8 B6 C4 D2 8 （5 分）木工师傅将一个长方体形的木块切去一部分，得到一个新木件，其三视图如图所 示，则这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为( )

4、 A 2 2 B 2 3 3 C 6 3 D3 9 （5 分）十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是 数学理性思维的构造产物， 具有典型的分形特征 仿照 “康托三分集” 我们可以构造一个 “四 分集” ，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为四段，去掉其中的区间段 1 ( 4 ， 1 2 ，记为 第一次操作；再将剩下的三个区间0， 1 4 ， 1 ( 2 ， 3 4 ， 3 ( 4 ，1分别均分为四段，并各自去 掉第二个区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下 的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段操作过程不断地进行下去，以至

5、 无穷，剩下的区间集合即是“四分集” 若使去掉的各区间长度之和不小于 19 20 ，则需要操作 的次数n的最小值为( )（参考数据：20.3010lg ，30.4771)lg A11 B10 C9 D8 10 （5 分）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积 比值为 2 9 ，则这个圆锥体积与球体积的比值为( ) 第 3 页（共 23 页） A 8 81 B 8 27 C 4 81 或 8 81 D 4 27 或 8 27 11 （5 分）函数( )|log| 1(0,1) x a f xaxaa有两个零点，则a的取值范围为( ) A(1,) B 1 (1,) e

6、 e C(1,) e e D 1 (1,) e 12 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 3 7 a ，对于3n ，且nN，有 21 21 2 nn n nn aa a aa ， 若 2021 ( p ap q ，*qN，且p，q互质） ，则pq等于( ) A8089 B8088 C8087 D8086 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若13zi （其中i为虚数单位） ，则 3 z 14 （5 分）观察下列各式： 2 1 1 121 1 22 C ， 3 12 22 1121 1 233 CC

7、， 4 123 333 11121 1 2344 CCC ， 5 1234 4444 111121 1 23455 CCCC ， 照此规律，当*nN时， 12 111 1 231 n nnn CCC n 15 （5 分）已知函数 2 ( )(3)nf xx x ，则下列关于( )f x展开式的命题中，所有真命题的序 号是 当11n 时，( )f x展开式共有 11 项； 当8n 时，( )f x展开式第 3 项与第 6 项的二项式系数之比为1:2； 当7n 时，( )f x展开式中，各项系数之和为1； 当5n 时，( )f x展开式中，系数最小的项是 3 810 x 16 （5 分）已知抛物线

8、 2 2(0)ypx p的焦点为F，点( 2 p M ，0)，点F的直线与此抛物 线交于A，B，两点，若| 24AB 且tan2 2AMB，则p 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 第 4 页（共 23 页） 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边 若2bc， 2

9、 7 cos 7 C ， 再从条件与中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求b，c的值； （2）求角A的值及ABC的面积 条件： 7 coscos 14 aBbAac； 条件： 7 2 cos2 7 bCac 18 （12 分）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，APB为等腰直角三角 形，PAPB，2AD ，2AB ，PDAB，5PC （1）求证：BDAD； （2）求直线BD与面PAD所成角的正弦值 19 （12 分）已知 6 只小白鼠中有且仅有 2 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病 的小白鼠 血液化验呈阳性即为患病， 阴性为不患病 现将 6 只小白鼠随机排序并

10、化验血液， 每次测 1 只， 且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液， 直到能 确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数 （1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求3X 的概率； （2）求X的分布列与数学期望 20 （12 分）已知椭圆 2 C与 22 1: 1 43 xy C的离心率相同，过 2 C的右焦点且垂直于x轴的直 线被椭圆 2 C截得的线段长为3 2 （1）求椭圆 2 C的标准方程； （2） 若直线:3l yxm与椭圆 1 C， 2 C的交点从上到下依次为C，A，B，D， 且 4 | 5 AC ， 求m的值 第 5 页（共 23 页） 21 （12

11、分）已知函数 2 1 ( ) 2 f xxlnxkxx，( )g xlnxkx （1）当1k 时，求( )g x的最大值； （2）当 1 0k e 时， （）判断函数( )g x的零点个数； （）求证：( )f x有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 12 ( )() 1 f xf x xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请用第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修选修 4-

12、4：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 4 cos 3 ( 7 sin 3 xt t yt 为参数，为 直线l的倾斜角） ，以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标 方程为 2 4 3cos2 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若点 47 (,) 33 P ，直线l与曲线C相交于A、两点，且2PAPB，求直线l的方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |31| 2|3|f xxx （1）若关于x的方程|31| 2|3|xxa有两个不同的实数根，求a的取值范

13、围； （2）如果不等式( )f xbx的解集非空，求b的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2021 年山西省高考数学考前适应性试卷 （理科） （年山西省高考数学考前适应性试卷 （理科） （A 卷） （一模）卷） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |120Ax xx，集合 | 50Bxx，则(AB ) A | 53xx B | 54xx C |

14、 40 xx D |03xx 【解答】解： | 43Axx ， | 50Bxx， | 40ABxx 故选：C 2 （5 分）已知点 5 ( 5 P， 2 5) 5 是角的终边与单位圆的交点，则sin2( ) A 4 5 B 3 5 C 5 5 D 2 5 5 【解答】解：由题意知， 2 5 sin 5 ， 5 cos 5 ， 2 554 sin22sincos2() 555 故选：A 3 （5 分） 高斯函数也称取整函数， 记作 x， 是指不超过实数x的最大整数， 例如6.86， 4.15 ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域下列关于高斯函数 yx 的性质叙述错误的是( ) A yx

15、值域为Z B yx不是奇函数 C yxx为周期函数 D yx在R上单调递增 【解答】解：根据题意， 2,23 1,12 ( ) 0,01 1, 10 x x f x x x 剟 ，依次分析选项： 对于A，由 yx的解析式可得 yx值域为Z，正确， 对于B， xx ，例如 2.53 ，2.52 ，则 yx不是奇函数，B正确， 对于C，根据题意，(1)(1)1 f xxxxx，则 yxx为周期函数，C正确， 第 7 页（共 23 页） 对于D，由函数的解析式可得 yx在R上不是增函数，D错误， 故选：D 4 （5 分）某公司计划招收 600 名新员工，共报名了 2000 人，远超计划，故该公司采用

16、笔 试的方法进行选拔， 并按照笔试成绩择优录取 现采用随机抽样的方法抽取 200 名报名者的 笔试成绩，绘制频率分布直方图如图： 则录取分数线可估计为( ) A70 B73 C75 D77 【解答】解：根据题意，录取率为(6002000) 100%30%，故应录取成绩最高的30%的 报名者， 根据频率分布直方图可知，80 100分占总体的比例可估计为20%， 70 100分占总体的比例可估计为40%， 故录取分数线在70 80之间， 设录取分数线为x，则(80)0.020.150.050.3x，解得75x ， 所以录取分数线可估计为 75 分 故选：C 5 （5 分）在同一直角坐标系中，指数函

17、数( )x b y a ，二次函数 2 yaxbx的图象可能是( ) A B C D 第 8 页（共 23 页） 【解答】解：二次函数的对称轴 1 22 bb x aa ， A 指数函数为增函数， 则1 b a ， 则二次函数的对称轴 11 22 b x a ， 对称轴则 12 1 b xx a ， 则A图象错误， B 指数函数为增函数， 则1 b a ， 则二次函数的对称轴 11 22 b x a ， 对称轴则 12 1 b xx a ， 则B图象有可能正确， C指数函数为增函数，则01 b a ，则二次函数的对称轴 11 (0, ) 22 b x a ，对称轴则 12 (0,1) b xx

18、 a ，则C图象错误， D指数函数为增函数，则01 b a ，则二次函数的对称轴 11 (0, ) 22 b x a ，对称轴则 12 (0,1) b xx a ，则D图象错误 故选：B 6 （5 分）已知双曲线的两条渐近线夹角为，且 4 tan 3 ，则其离心率为( ) A 5 2 B2 或5 C5 D 5 2 或5 【解答】解：双曲线的两条渐近线夹角为，且 4 tan 3 ， 可得渐近线的斜率为tan 2 ， 则 2 2tan 4 2 3 1 2 tan ，解得 1 tan 22 或tan2 2 ， 22 5 1( ) 4 b e a 或 2 5e ， 5 2 e 或5e 故选：D 7 （

19、5 分）已知a，b，cR，且4a ，4abac，则 2232 abcabc 的最小值是( ) A8 B6 C4 D2 【解答】解：4abac， 4 bc a ， 第 9 页（共 23 页） 2232232216 ()2 168 42 22 2 aa a abcabcaa a aa ， 当且仅当 216 2 2 2 a a a a ，即 2 4 2 a a ，又4a ，42 3a时取等号， 2232 abcabc 的最小值为 8 故选：A 8 （5 分）木工师傅将一个长方体形的木块切去一部分，得到一个新木件，其三视图如图所 示，则这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为( ) A 2 2 B

20、2 3 3 C 6 3 D3 【解答】解：如图，截面为ABCD，过点B作点A所在侧棱的垂线，垂足为E，连结DE， 则平面BDE与长方体的底面平行， 故二面角ABDE即为所求的二面角， 由题意可知，30ADEABE ，2DEBE， 所以 2 3 3 AE ， 4 3 3 ADAB，2 2BD ， 取BD的中点O，则由EDEB，ADAB，可知EOBD，AOBD， 故AOE即为二面角ABDE的平面角， 所以 2 3 6 3 tan 11 3 2 2 22 AEAE AOE OE BD ， 所以这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为 6 3 故选：C 第 10 页（共 23 页） 9 （5 分）十

21、九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是 数学理性思维的构造产物， 具有典型的分形特征 仿照 “康托三分集” 我们可以构造一个 “四 分集” ，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为四段，去掉其中的区间段 1 ( 4 ， 1 2 ，记为 第一次操作；再将剩下的三个区间0， 1 4 ， 1 ( 2 ， 3 4 ， 3 ( 4 ，1分别均分为四段，并各自去 掉第二个区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下 的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段操作过程不断地进行下去，以至 无穷，剩下的区间集合即是“四分集” 若使去掉的各区间长度之和不

22、小于 19 20 ，则需要操作 的次数n的最小值为( )（参考数据：20.3010lg ，30.4771)lg A11 B10 C9 D8 【解答】解：第一次操作去掉的区间长度为 1 4 ， 第二次操作去掉 3 个长度为 2 1 4 的区间，长度和为 2 3 4 ， 第三次操作去掉 2 3个长度为 3 1 4 的区间，长度和为 2 3 3 4 ， ， 第n次操作去掉 1 3n个长度为 1 4n 的区间，长度和为 1 3 4 n n ， 所以进行n次操作后，所有去掉区间长度和为 21 23 13333 1 ( ) 44444 n n n S ， 由题意知 319 1( ) 420 n ， 12

23、10.4 223 lg n lglg ， 故n的最小值为 11， 故选：A 10 （5 分）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积 第 11 页（共 23 页） 比值为 2 9 ，则这个圆锥体积与球体积的比值为( ) A 8 81 B 8 27 C 4 81 或 8 81 D 4 27 或 8 27 【解答】解：不妨设球的表面积为 2 4 R， 由圆锥底面面积是这个球面面积的 2 9 ， 可得圆锥的底面积为 2 8 9 R ， 则圆锥的底面半径为 2 2 3 rR， 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离， 球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形， 由

24、此可以求得球心到圆锥底面的距离是 22 1 3 RrR， 则圆锥体积较小者的高为： 12 33 RRR； 可得圆锥体积较大者的高为： 14 33 RRR 故圆锥体积与球体积的比为： 2 3 12 22 () 4 333 4 27 3 R R 或 2 3 12 24 () 8 333 4 27 3 R R ， 故选：D 11 （5 分）函数( )|log| 1(0,1) x a f xaxaa有两个零点，则a的取值范围为( ) A(1,) B 1 (1,) e e C(1,) e e D 1 (1,) e 【解答】解：由( )|log| 10 x a f xax ，得 1 |log| a x x

25、 a ，即 1 1 | ( )x a log x a ， 由题意，函数 1 | a ylog x与 1 ( )xy a 的图象有两个交点， 第 12 页（共 23 页） 当1a 时，两函数的图象有两个交点； 当01a时，函数 1 | a ylog x与 1 ( )xy a 的图象有两个交点时， 注意到 1 a ylog x与 1 ( )xy a 互为反函数，图象关于yx对称， 可知函数 1 ( )xy a 的图象与yx相切，设切点的横坐标为 0 x， 则 0 0 0 1 ( ) 11 ( )1 x x x a ln aa ，解得 0 1 e xe ae a的取值范围为 1 (1,) e e 故

26、选：B 12 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 3 7 a ，对于3n ，且nN，有 21 21 2 nn n nn aa a aa ， 若 2021 ( p ap q ，*qN，且p，q互质） ，则pq等于( ) A8089 B8088 C8087 D8086 【解答】解：由 21 21 2 nn n nn aa a aa 两边取倒数可得： 21 2112 2121 nn nnnnn aa aaaaa ， 即 112 1111 nnnn aaaa ，故数列 n a为等差数列， 其首项为 1 1 1 a ，公差为 21 114 3aa ， 故 441 1(1) 33 n n a

27、n ， * nN， 所以 2021 3 8083 a，因为p，q互质，且为正整数， 所以3p ，8083q ， 所以8086pq， 故选：D 第 13 页（共 23 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若13zi （其中i为虚数单位） ，则 3 z 8 【解答】解：13zi ， 222 ( 13 )12 3322 3ziiii ， 32 ( 22 3 )( 13 )2(13 )( 13 )2 ( 4)8zzziiii ， 故答案为：8 14 （5 分）观察下列各式： 2 1 1 121 1 22 C ， 3

28、 12 22 1121 1 233 CC ， 4 123 333 11121 1 2344 CCC ， 5 1234 4444 111121 1 23455 CCCC ， 照此规律，当*nN时， 12 111 1 231 n nnn CCC n 1 21 1 n n 【解答】解：观察已知等式可知当*nN时， 1 12 11121 1 2311 n n nnn CCC nn ， 故答案为： 1 21 1 n n 15 （5 分）已知函数 2 ( )(3)nf xx x ，则下列关于( )f x展开式的命题中，所有真命题的序 号是 当11n 时，( )f x展开式共有 11 项； 当8n 时，(

29、)f x展开式第 3 项与第 6 项的二项式系数之比为1:2； 当7n 时，( )f x展开式中，各项系数之和为1； 当5n 时，( )f x展开式中，系数最小的项是 3 810 x 【解答】解： 2 ( )(3)nf xx x ， 当11n 时，( )f x展开式共有 12 项，故错误； 当8n 时，( )f x展开式第 3 项与第 6 项的二项式系数之比为 2 8 5 8 28 1:2 56 C C ，故正确； 第 14 页（共 23 页） 当7n 时， 令1x ， 可得( )f x展开式中， 各项系数之和为 7 2 (3 1)11 1 ， 故错误； 当5n 时， 5 2 ( )(3)f

30、xx x 的展开式中， 通项 555 2 155 2 ()(3 )3( 2) rrrrrrr r TCxCx x ， 要使该项的系数最小，则r为奇数，且 5 5 |3( 2)| rrr C 最大， 当1r 时，第二项的系数为 4 3( 2) 5810 ； 当3r 时，第四项的系数为 23 3( 2)10720 ； 当5r 时，第六项的系数为 5 ( 2)32， 综上所述，当5n 时，( )f x展开式中，系数最小的项是第二项 5 23 2 810810Txx ，故 正确 故答案为： 16 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点( 2 p M ，0)，点F的直线与此抛物 线交

31、于A，B，两点，若| 24AB 且tan2 2AMB，则p 6 【解答】解：设直线: 2 p AB xmy，设 1 (A x， 2) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 2 2 p xmy ypx ，整理可得： 22 20ympyp，可得 12 2yymp， 2 12 y yp， 2 121212211212 12121212 12 ()()2()2()(2) 0 ()()()()()() 22 AMBM yyyyy mypy mypmy yp yymppmp kk pp mypmypmyp myPmyp mypmyp myp xx ， 所以可得AMFBMF， 2 2tan tan2

32、2 1 AMF AMB tanAMF ，又AMF为锐角， 解得 2 tan 2 AMF， 设AFBF，如图作AHx轴交于H， 由题意可得M在抛物线的准线上，作准线l， 作AAl ，垂足为 A ， 则 2 tansin 2 AHAHAH AMFAFH MHAAAF ， 所以 4 AFH ， 第 15 页（共 23 页） 所以1m ， 所以 222 121212 |1|(1)()4424ABmyymyyy yp， 所以6p 故答案为：6 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，

33、每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边 若2bc， 2 7 cos 7 C ， 再从条件与中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求b，c的值； （2）求角A的值及ABC的面积 条件： 7 coscos 14 aBbAac； 条件： 7 2 cos2 7 bCac 【解答】解：若选条件： （1）因为2bc， 2 7 cos 7 C ， 7 coscos 14 aBbAac， 所以

34、7 sincossincossin 14 ABBAaC， 所以 7 sin()sinsin 14 ABCaC， 因为C为三角形内角，sin0C ，可得2 7a ， 可得 2222222 28(2)28442 7 cos 274 7(2)4 7(2) abcccccc C abcc ， 第 16 页（共 23 页） 可得7(432)56(2)cc， 解得4c ，6b （2）因为 2 7 cos 7 C ，4c ，6b ，2 7a ， 可得 21 sin 7 C ， 由正弦定理可得sinsinaCcA，可得 21 2 74sin 7 A， 所以4sin2 3A ，可得 3 sin 2 A， 因为a

35、b，A为锐角，可得 3 A ，可得 113 sin646 3 222 ABC SbcA 若选条件： （1）因为2bc， 2 7 cos 7 C ， 4 77 2 cos2 77 bCbac， 所以 4 77 (2)2 77 cac，解得 85 2 7 c a ， 所以由 222 cos 2 abc C ac ， 可得 222 85 ()(2) 2 7 2 7 85 7 2(2) 2 7 c cc c c ， 整理可得 2 516160cc， 解得4c ，或 4 5 （舍去） ， 可得6b （2）由（1）可得 854 2 7 2 7 a ， 又因为 2 7 cos 7 C ，4c ，6b ，2

36、7a ， 可得 2 21 sin1 7 Ccos C， 由正弦定理可得sinsinaCcA，可得 21 2 74sin 7 A， 所以4sin2 3A ，可得 3 sin 2 A， 因为ab，A为锐角，可得 3 A ，可得 113 sin646 3 222 ABC SbcA 18 （12 分）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，APB为等腰直角三角 形，PAPB，2AD ，2AB ，PDAB，5PC （1）求证：BDAD； 第 17 页（共 23 页） （2）求直线BD与面PAD所成角的正弦值 【解答】证明： （1）取AB的中点O，连接PO与DO， APB为等腰直角三角形，PAP

37、B，POAB， 又PDAB，POPDP，且PO、PD面POD，AB平面POD， OD 面POD，ABOD， O为AB的中点，2ADBD， 2AB ， 222 ADBDAB，则ADBD； 解： （2）以O为坐标原点，分别以OB，OD所在直线为x，y轴， 以过O且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则(1B，0，0)，(0D，1，0)，( 1A ，0，0)， 由已知可得1PD ，则POD是边长为 1 的等边三角形，则(0P， 1 2 ， 3) 2 ， (1DB ，1，0)，(0DP ， 1 2 ， 3) 2 ，( 1DA ，1，0)， 设平面PAD的一个法向量为( , , )nx

38、y z， 由 13 0 22 0 n DPyz n DAxy ，取1z ，得(3, 3,1)n ， 设直线BD与面PAD所成角为， 则 |2 342 sin|cos,| 7| |72 n DB n DB nDB 直线BD与面PAD所成角的正弦值为 42 7 第 18 页（共 23 页） 19 （12 分）已知 6 只小白鼠中有且仅有 2 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病 的小白鼠 血液化验呈阳性即为患病， 阴性为不患病 现将 6 只小白鼠随机排序并化验血液， 每次测 1 只， 且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液， 直到能 确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示

39、化验总次数 （1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求3X 的概率； （2）求X的分布列与数学期望 【解答】解： （1）设“第k次化验结果为阳性”为事件 k A， “第k次化验结果为阴性”为事 件 k A，(1k ，2，3，4，5，6)， 第一只阳性且3x 对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测， 其余4只任意排， 共有 24 24 48A A 种， 第一只测试阳性的排列方法共有 15 25 240C A 种， 则所求的概率为 13 1 ()481 (3) ()2405 P A A P x P A ； （2）X的可能取值为 2，3，4，5， 则 2424 2424 12 66 66

40、 11 (2)() 1515 A AA A P XP A A AA ， 123123 2 (3)()() 15 P XP A A AP A A A ， 1234123412341234 14 (4)()()()()4 1515 P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A， 1248 (5)1(2)(3)(4)1 15151515 P XP XP XP X ， 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 1 15 2 15 4 15 8 15 第 19 页（共 23 页） 故X的数学期望为 124864 ()2345 1515151515 E X 20 （12

41、 分）已知椭圆 2 C与 22 1: 1 43 xy C的离心率相同，过 2 C的右焦点且垂直于x轴的直 线被椭圆 2 C截得的线段长为3 2 （1）求椭圆 2 C的标准方程； （2） 若直线:3l yxm与椭圆 1 C， 2 C的交点从上到下依次为C，A，B，D， 且 4 | 5 AC ， 求m的值 【解答】解： （1）设椭圆 2 C的标准方程为： 22 22 1 xy ab ， 令xc得： 2 b y a ， 过 2 C的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆 2 C截得的线段长为 2 2b a ， 又椭圆 1 C的离心率 431 22 e ， 2 222 1 2 2 3 2 c a b a ab

42、c ，解得： 2 2 6 2 a b c ， 椭圆 2 C的标准方程为： 22 1 86 xy （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y， 联立方程 22 1 43 3 xy yxm ，消去y得： 22 158 34120 xmxm，则有 12 2 12 8 3 15 412 15 m xx m x x ， 同 理 ， 联 立 方 程 22 1 86 3 xy yxm ， 消 去y得 ： 22 3016 38480 xmxm， 则 有 34 2 34 8 3 15 448 15 m xx m x x ， 31 |13

43、 |ACxx ， 42 |13 |BDxx ， | |ACBD， 第 20 页（共 23 页） 8 | 2| 5 CDABAC， 2 2 343434 8390 |1 3 | 2 ()4 15 m CDxxxxx x ， 2 2 121212 8345 |1 3 | 2 ()4 15 m ABxxxxx x ， 22 88 |( 903453) 155 CDABmm， 即 22 9034533mm， 解得：3m m的值为3 21 （12 分）已知函数 2 1 ( ) 2 f xxlnxkxx，( )g xlnxkx （1）当1k 时，求( )g x的最大值； （2）当 1 0k e 时， （）

44、判断函数( )g x的零点个数； （）求证：( )f x有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 12 ( )() 1 f xf x xx 【解答】解： （1）当1k 时，( )(0)g xlnxx x， 11 ( )1 x g x xx ， 令( )0g x，可得01x，令( )0g x，可得1x ， 所以( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 第 21 页（共 23 页） 所以在1x 处，( )g x取得极值大值，也是最大值， 故( )g x的最大值为g（1）1 （2） （） 11 ( ) kx g xk xx ，令( )0g x，可得 1 x k ， 可得( )g x

45、在 1 (0,) k 上单调递增，在 1 ( k ，)上单调递减， 所以 1 ( )( )1g xglnk k ，因为 1 0k e ，所以1lnk ，所以 1 ( )10glnk k ， 因为g（1）0k ， 2 11 ()20glnk kk ， 由零点存在性定理可知( )g x在 1 (1, ) k 和 1 ( k ， 2 1 ) k 上各有一个零点， 所以( )g x有 2 个零点 （）证明：( )( )fxlnxkxg x， 由（）可知，( )fx有两个变号零点， 所以( )f x有两个极值点 1 x， 2 x，不妨设 12 1 1xx k ， 所以 11 lnxkx， 22 lnxk

46、x，所以 1212 ()lnxlnxk xx， 所以 12 121212 12 ( )()1 ()2()2 22 f xf xk lnxlnxxxlnxlnx xx ， 要证 12 12 ( )() 1 f xf x xx ，即证 12 1 ()21 2 lnxlnx ，即证 12 2lnxlnx， 因为 1212 ()lnxlnxk xx， 1212 ()lnxlnxk xx， 所以 2121 2121 lnxlnxxx lnxlnxxx ， 2 2112 2121 2 211 1 1 () 1 x xxxx lnxlnxlnxlnxln x xxx x ， 令 2 1 1 x t x ，即

47、证 1 2 1 t lnt t ，即证 2(1) 0 1 t lnt t ， 令 2(1) ( ) 1 t h tlnt t ， 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t h t ttt t ， 所以( )h t在(1,)上单调递增， 所以( )h th（1）0， 所以 12 12 ( )() 1 f xf x xx ，得证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请用第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上

48、将所选题号后的方框涂黑。选修选修 4-4：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 第 22 页（共 23 页） 22 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 4 cos 3 ( 7 sin 3 xt t yt 为参数，为 直线l的倾斜角） ，以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标 方程为 2 4 3cos2 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若点 47 (,) 33 P ，直线l与曲线C相交于A、两点，且2PAPB，求直线l的方程 【解答】解： （1）曲线C的极坐标方程为 2 4 3cos2 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直

49、角 坐标方程为 2 2 1 2 x y； （2）将直线l的参数方程为 4 cos 3 ( 7 sin 3 xt t yt 为参数，为直线l的倾斜角） ，代入 2 2 1 2 x y， 整理得 222 (3cos6sin)4(2cos7sin )320tt， 所以 12 22 4(2cos7sin) 3cos6sin tt ， 1 2 22 32 3cos6sin t t ， 由2PAPB， 故 12 2tt， 所以 2 1212 1 221 () 2 tttt t ttt ， 整理得 2 22 (2cos7sin )9 6cos12sin2 ， 即 2 5tan28tan230， 解得 23

50、1 5 tan或 故直线l的方程为10 xy 或6915570 xy 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |31| 2|3|f xxx 第 23 页（共 23 页） （1）若关于x的方程|31| 2|3|xxa有两个不同的实数根，求a的取值范围； （2）如果不等式( )f xbx的解集非空，求b的取值范围 【解答】解： （1） 57,3 1 ( ) |31| 2|3|5,3 3 1 57, 3 xx f xxxxx xx ， 当3x时，函数( )f x单调递增，且( ) 8f x ， 当 1 3 3 x时，函数( )f x单调递增，且 16 8( )