2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）.docx

1、第 1 页（共 18 页） 2021 年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科） （二模）年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科） （二模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |24Axx， |3Bxax a ，若ABA，则a取值范围 是( ) A( 2,) B(，1 C1，) D(2,) 2 （5 分）设复数1(zi i 是虚数单位） ，则 2 2 | (z z ) A1 B2 C3 D2 3 （5 分）从

2、4 位男生，2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生 入选，则不同的选法种数共有( ) A8 B12 C16 D20 4 （5 分）设函数 3 ( )22 xx f xx ，则使得不等式(21)fxf（3）0成立的实数x的 取值范围是( ) A(, 1) B(,2) C( 1,) D(2,) 5 （5 分）已知实数x，y满足 3 1 0 33 0 x xy xy ，则2zxy的最大值为( ) A5 B1 C2 D3 6 （5 分）已知2sin()sintan1 42 ，则tan( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 7 （5 分）设 n a是等比数列，前n项和为

3、 n S，若 2 24 1 5 S SS ，则 2 24 ( a aa ) A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 8 （5 分）已知函数cos()yx的图象如图所示，其中为正整数，| 2，则( ) 第 2 页（共 18 页） A1，2 B1，2 C2，4 D2，4 9 （5 分）设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于 点A，B（点A位于x轴上方） ，O是坐标原点，记AOF和BOF的面积分别为 1 S， 2 S， 则 1 2 ( S S ) A9 B4 C3 D2 10 （5 分） 九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭” ，沿“

4、方 亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个 边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍” 现记截面之间几何体体积为 1 V， “刍甍”的体 积为 2 V， 若 2 1 1 3 V V ， 台体的体积公式为 1 () 3 Vh SSSS ， 其中S、S分别为台体的上、 下 底 面 的 面 积 则 “ 方 亭 ” 的 上 、 下 底 面 边 长 之 比 为( ) A 51 2 B 51 4 C 51 2 D 51 4 11 （5 分）已知| | 2ab，且a，b的夹角为60，若向量| 1ca，则b c的取值范围 是( ) A 4，4 B 2 3,2 3 C0，2

5、 3 D0，4 12 （5 分）对任意 1 x e ， 2 e，使得不等式()3lnxk xlnx成立的最大整数k为( ) A2 B1 C0 D1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 sin ( ) x x f x e ，则曲线( )yf x在(0,0)处的切线方程为 14 （5 分）某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动据调查统计，全市高中学生参 加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约 40 小时若某高中学 校 1000 学生中参加该活动时间在 30 至 50 小时之间的同学约有

6、300 人 据此， 可推测全市n 名学生中，累计时长超过 50 小时的人数大约为 15 （5 分）已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过点 2 F作C 第 3 页（共 18 页） 的一条渐近线的垂线，垂足为G连接 1 FG，设直线 1 FG， 2 F G的斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 1 3 k k ，则双曲线C的离心率为 16 （5 分）钝角ABC的面积是 3 15 4 ，2AC ，3BC ，角A的平分线交BC于点D， 则AD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字

7、说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 11 (1)(1)0 nnnn n na anana ，2n，nN （）求证：数列 1 (1) n na 为等差数列； （）设数列 2 (21) n na的前n项和. n S证明： 3 1 4 n S 18（12 分） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 底面ABC是正三角形， 1 O是其中心， 侧

8、面 11 BCC B 是正方形， 2 O是其中心 （）判断直线 12 O O与直线 1 AA的位置关系，并说明理由； （）若四面体 1 A ABC是正四面体，求平面 11 BCC B与平面ABC所成锐二面角的余弦值 19 （12 分）某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔 赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题， 答题规则如下： 每次作答一题， 按问题A、 B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为 10 分，答对问题A、B、C、D分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，答错任一题减 2 分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计 分数小于 8 分时，答题结束

9、；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，通过比赛；当作 答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答 正确的概率依次为 2 3 、 1 2 、 1 3 、 1 4 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （）求小强同学前三道题都答对的概率； （）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列； 第 4 页（共 18 页） （）求小强同学能通过比赛的概率 20 （12 分）设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，P是椭圆C的短 轴的一个端点，已知 12 PFF的面积为2， 12 1 cos 3 FPF

10、（）求椭圆C的标准方程； （）是否存在与 2 PF平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 2 ( )()f xxxln axb，aR，0a （）当1a ，0b 时，求证： 5 ( ) 4 f x ； （）若 2 ( )f xx恒成立，求ab的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题目计分第一题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方

11、程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 cos :( sin xr C yr 为参数，常数0)r 以坐标原点 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 并在两坐标系中取相同的长度单位 曲线 2 C的 极坐标方程为 2 8 sin150 （）若曲线 1 C与 2 C有公共点，求r的取值范围； （）若1r ，过曲线 1 C上任意一点P作曲线 2 C的切线，切点为Q，求|PQ的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |31|2|f xxx （）解不等式：( )5f x ； （）若关于x的不等式 2 ( )f xxm在0

12、，3上恒成立，求实数m的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2021 年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科） （二模）年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科） （二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |24Axx， |3Bxax a ，若ABA，则a取值范围 是( ) A( 2,) B(，1 C1，) D(2,) 【解答】解：由ABA知AB， 故 2 3 4 a

13、a ，解得1a 故选：C 2 （5 分）设复数1(zi i 是虚数单位） ，则 2 2 | (z z ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：因为 22 22 (1)211 1 ziiii zi ， 所以 2 2 |2z z ， 故选：B 3 （5 分）从 4 位男生，2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生 入选，则不同的选法种数共有( ) A8 B12 C16 D20 【解答】解：由题设知不同的选法可分两种情况： 第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 12 24 12C C 种； 第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 21 24 4C C 种，

14、 根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有 16 种， 故选：C 4 （5 分）设函数 3 ( )22 xx f xx ，则使得不等式(21)fxf（3）0成立的实数x的 取值范围是( ) 第 6 页（共 18 页） A(, 1) B(,2) C( 1,) D(2,) 【解答】解：由函数解析式知函数( )f x是定义在R上的奇函数和单调递增函数， 原不等式可化为(21)( 3)fxf， 213x ，解得1x ， x的取值范围是(, 1) 故选：A 5 （5 分）已知实数x，y满足 3 1 0 33 0 x xy xy ，则2zxy的最大值为( ) A5 B1 C2 D3 【解答

15、】解：画出线性约束区域， 所以当直线 11 22 yxz经过(3.0)b点时，目标函数2zxy有最大值，最大值为 3 故选：D 6 （5 分）已知2sin()sintan1 42 ，则tan( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：因为2sin()sintan1 42 ， 所以 2 sincos2sin1 2 因为 2 cos12sin 2 ， 所以sincoscos ，即sin2cos ， 所以tan2 ， 故选：A 第 7 页（共 18 页） 7 （5 分）设 n a是等比数列，前n项和为 n S，若 2 24 1 5 S SS ，则 2 24 ( a aa ) A 1 5

16、B 1 4 C 1 3 D 1 2 【解答】解：设等比数列 n a的公比为q， 由 2 24 1 5 S SS 可得： 42 4SS，整理得： 3412 3()aaaa，即 2 1212 ()3()aa qaa，解 得： 2 3q ， 21 32 2411 11 14 aa q aaa qa qq ， 故选：B 8 （5 分）已知函数cos()yx的图象如图所示，其中为正整数，| 2，则( ) A1，2 B1，2 C2，4 D2，4 【解答】解：由图象知 3 2 24 TT ， 3 2 2 ， 3 24 ， 为正整数，2，cos(2)yx， 把点(2, 1)代入cos(2)yx得，cos(4)

17、1 ， 则42k，所以24k，kZ， | 2，4 故选：C 9 （5 分）设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于 点A，B（点A位于x轴上方） ，O是坐标原点，记AOF和BOF的面积分别为 1 S， 2 S， 则 1 2 ( S S ) A9 B4 C3 D2 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为3() 2 p yx，代入 2 2ypx， 整理得 22 51 0 34 xpxp 设点A、B的坐标分别为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 第 8 页（共 18 页） 因为点A位于x轴上方，所以 1 3 2 xp， 2 1 6 xp， 所以

18、 1 111 222 2 2| 3 |2 pxSyx Syxpx ， 故选：C 10 （5 分） 九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭” ，沿“方 亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个 边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍” 现记截面之间几何体体积为 1 V， “刍甍”的体 积为 2 V， 若 2 1 1 3 V V ， 台体的体积公式为 1 () 3 Vh SSSS ， 其中S、S分别为台体的上、 下 底 面 的 面 积 则 “ 方 亭 ” 的 上 、 下 底 面 边 长 之 比 为( ) A 51 2 B 51 4 C 51 2

19、D 51 4 【解答】解：设“方亭”的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h， 则 22 1 () 3 Vh aabb， 2 1 11 ()() 22 Vha abh aab， 22222 21 111 ()()(2) 326 VVVh aabbh aabhaabb， 222 2 22 1 1 (2)2( ) 1151 6 1 332 ()( ) 2 aa hbaab Va bb aa Vb h aab bb 故选：A 11 （5 分）已知| | 2ab，且a，b的夹角为60，若向量| 1ca，则b c的取值范围 是( ) A 4，4 B 2 3,2 3 C0，2 3 D0，4 【解答】解：解

20、法 1：取,OAa OBb OCc，则点C在以A为圆心，半径为 1 的圆面上 （包括边界） ， 第 9 页（共 18 页） 设向量,b c的夹角为，由图 可知，取值范围为, 6 2 ； |cos2|cosb cb cc， 由于|cosc为向量c在向量b上的投影， 且0|cos2c剟 故b c的取值范围是0，4 解法 2：不妨设(2,0)a ，(1, 3)b ，( , )cx y 因为| 1ca，所以 22 (2)1xy，设2cosxr，sinyr，01r剟，R， 所以32cos3 sin22 sin() 6 b cxyrrr ， 由于1sin()1 6 r rr 剟剟，故0,4b c 故选：D

21、 12 （5 分）对任意 1 x e ， 2 e，使得不等式()3lnxk xlnx成立的最大整数k为( ) A2 B1 C0 D1 【解答】解：由题意知()3lnxk xlnx，有 (3) min xlnx k x ， 2 1 ,xe e ， 令 (3) ( ) xlnx g x x ，则 2 33 ( ) lnxx g x x ，令( )33xlnxx， 易知其单调递增，因为（2）3 210ln ， 3333 ( )330 2222 lnln e ， 所以存在 0 3 ( ,2) 2 x ，使得 000 ()330 xlnxx， 因此 (3) ( ) xlnx g x x 在 0 1 ,)

22、x e 单调递减，在 2 0 ,x e单调递增， 00 0 00 (3)1911 ( )2()(,) 326 min xlnx g xx xx ， 所以最大整数k为1， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 10 页（共 18 页） 13 （5 分）已知函数 sin ( ) x x f x e ，则曲线( )yf x在(0,0)处的切线方程为 yx 【解答】解： sin ( ) x x f x e ， cossin ( ) x xx fx e ， 则 0 cos0sin0 (0)1f e ，曲线( )yf x在(0,0)

23、处的切线方程为yx 故答案为：yx 14 （5 分）某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动据调查统计，全市高中学生参 加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约 40 小时若某高中学 校 1000 学生中参加该活动时间在 30 至 50 小时之间的同学约有 300 人 据此， 可推测全市n 名学生中，累计时长超过 50 小时的人数大约为 0.35n 【解答】解：由题意，40，则 2 (40,)XN， 由(3050)0.3PX剟，可得 10.3 (50)0.35 2 P X ， 故累计时长超过 50 小时的人数大约有0.35n人 故答案为：0.35n 15 （5 分）已知 1

24、 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过点 2 F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为G连接 1 FG，设直线 1 FG， 2 F G的斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 1 3 k k ，则双曲线C的离心率为 2 【解答】解：已知焦点 1 F， 2 F的坐标分别为(,0)c，( ,0)c，其中 22 cab 根据对称性，不妨设点G在渐近线 b yx a 上， 则直线 2 F G的方程为() a yxc b ，与 b yx a 联立， 得 2 (,) aab G cc ，所以 1 222 ab ab c k aac c c ，由 12 1 3

25、 k k ， 得 22 1 () 3 aba acb ，化简得 22 2ca，故2e 故答案为：2 16 （5 分）钝角ABC的面积是 3 15 4 ，2AC ，3BC ，角A的平分线交BC于点D， 则AD 6 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：由 13 15 sin 24 ABC SAC BCC ，得 15 sin 4 C ， 若角C为锐角，则 1 cos 4 C ，此时 222 2cos10ABACBCAC BCC，即10AB ， 由于ABBCAC，则ABC为锐角三角形，不符合题意 故C为钝角，此时 1 cos 4 C ， 222 2cos16ABACBCAC BCC， 故4AB

26、在ACD中，由正弦定理得 sinsin ADCD ACDCAD ， 同理，在ABD中， sinsin ADBD ABDBAD ， 而在ABC中， sinsin ACAB ABDACD ， 由于CADBAD ，故 1 2 CDAC BDAB ， 由于3BC ， 故1CD ， 所以 222 2cos6ADACCDAC CDC， 所以6AD 故答案为：6 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作

27、答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 11 (1)(1)0 nnnn n na anana ，2n，nN （）求证：数列 1 (1) n na 为等差数列； （）设数列 2 (21) n na的前n项和. n S证明： 3 1 4 n S 【解答】证明： （） 1 1 (1) 1 n n n na na na ， 1 1 1 (1 1)a ， 1 11 111 1 (1) n nnn na nanana ， 1 11 1 (1) nn nana ， 数列 1 (1) n na 是首项为 1，公

28、差为 1 的等差数列；（6 分） 第 12 页（共 18 页） （）由（）知： 1 (1) n n na ， 1 (1) n a n n ， 22 2 222222 21(1)11 (21) (1)(1)(1) n nnn na nnnnnn ， 2222222 1111111 ()()()1 1223(1)(1) n S nnn 所以 3 1 4 n S （12 分） 18（12 分） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 底面ABC是正三角形， 1 O是其中心， 侧面 11 BCC B 是正方形， 2 O是其中心 （）判断直线 12 O O与直线 1 AA的位置关系，并说明理由； （）

29、若四面体 1 A ABC是正四面体，求平面 11 BCC B与平面ABC所成锐二面角的余弦值 【解答】 （）证明：如图 1，取BC的中点D， 11 BC的中点 1 D，连接AD， 11 AD， 1 DD， 根据棱柱的性质可得， 11 / /DDBB， 11 / /AABB，所以 11 / /AADD， 所以四边形 11 ADD A是平行四边形， 所以 12 OO 平面 11 ADD A 因为 12 O O与 1 DD相交， 所以 12 O O与 1 AA相交（5 分） （）解：因为四面体 1 A ABC是正四面体， 1 O是ABC的中心，所以 11 AO 平面ABC， 1 AOBC 所以以 1

30、 O为坐标原点， 1 O A， 11 O A方向分别为x轴，z轴正方向，|AB为单位长度， 第 13 页（共 18 页） 建立空间直角坐标系 1 Oxyz 易 得 3 (, 0 , 0 ) 3 A， 3 1 (,0) 62 B ， 31 (,0) 62 C ， 1 6 (0,0,) 3 A， 1 3 16 (,) 223 B ， 1 316 (,) 223 C ， 2 36 (,0,) 36 O 所以 12 36 (,0,) 36 AO ，(0, 1,0)BC ， 1 36 (,0,) 33 BB ， 所以 12 0AOBC， 121 0AOBB，故 12 AO是平面 11 BCC B的法向量

31、 又 11 AO是平面ABC的法向量， 11 6 (0,0,) 3 AO ， 设平面 11 BCC B与平面ABC所成的锐二面角为， 则 1211 1211 22 66 3 63 cos| 3| 366 ()() 363 AOAO AOAO （12 分） 19 （12 分）某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔 赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题， 答题规则如下： 每次作答一题， 按问题A、 B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为 10 分，答对问题A、B、C、D分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，答错任一题减 2 分；每作答完一题，小程序自动累计分

32、数，当累计 分数小于 8 分时，答题结束；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，通过比赛；当作 答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答 正确的概率依次为 2 3 、 1 2 、 1 3 、 1 4 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （）求小强同学前三道题都答对的概率； （）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列； （）求小强同学能通过比赛的概率 【解答】解： （）小强同学前三道题都答对的概率 2111 3239 P （）X可能取 6，7，9，10，11，14，16，17，18，19 答题得分情况如下： 初 始 分 A B C D

33、累 计 得 分 能 否 通 过 第 14 页（共 18 页） 比 赛 对错 得分（1 分） 对错 得分（2 分） 对错 得分（3 分） 对错 得分（6 分） 10 11 13 16 16 能 10 11 13 11 17 17 能 10 11 13 11 9 9 否 10 11 9 12 18 18 能 10 11 9 12 10 10 否 10 11 9 7 7 否 10 8 10 13 19 19 能 10 8 10 13 11 11 否 10 8 10 8 14 14 能 10 8 10 8 6 6 否 10 8 6 6 否 随机变量X的分布列为： X 6 7 9 10 11 14 16

34、 17 18 19 P 1 4 2 9 1 6 1 12 1 24 1 36 1 9 1 18 1 36 1 72 （）小强同学能通过比赛的概率为： 211212121111111112117 323323432343234323472 P 20 （12 分）设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，P是椭圆C的短 轴的一个端点，已知 12 PFF的面积为2， 12 1 cos 3 FPF （）求椭圆C的标准方程； （）是否存在与 2 PF平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程

35、；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）设 12 | 2FFc，则 12 PFF的面积等于 12 1 | 2 FFOPcb，所以2cb 第 15 页（共 18 页） 由 212 1 cos2cos 3 OPFFPF ，即 2 2 1 2cos1 3 OPF ， 得 2 3 cos 3 OPF 因为在直角 2 OPF中，|OPb， 2 |OFc， 2222 22 |PFOPOFbca， 所以 2 cos b OPF a ，所以 3 3 b a 由及 222 abc，得3a ，1b ，2c ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y（5 分） （）因为直线 2 PF的斜率为 2 2 ，所

36、以可设直线l的方程为 2 2 yxm ，代入 2 2 1 3 x y， 整理得 22 5 210 6 xmxm 由 22 5 ( 2 )4(1)0 6 mm，得 2 5 2 m 设 11 2 ( ,) 2 M xxm， 22 2 (,) 2 N xxm， 则 12 6 2 5 m xx， 2 12 6(1) 5 m x x 若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则0OM ON， 即 1212 22 ()()0 22 x xxmxm ， 得 2 1212 32 ()0 22 x xm xxm， 所以 2 2 36(1)26 2 0 2525 mm mm ，得 2 9 8 m 因为 95 82 ，

37、所以 3 2 4 m 所以存在满足条件的直线l， 方程为 23 2 24 yx 或 23 2 24 yx （12 分） 21 （12 分）已知函数 2 ( )()f xxxln axb，aR，0a 第 16 页（共 18 页） （）当1a ，0b 时，求证： 5 ( ) 4 f x ； （）若 2 ( )f xx恒成立，求ab的最大值 【解答】解： （）证明：当1a ，0b 时， 2 ( )f xxxlnx， 所以 1(21)(1) ( )21 xx fxx xx ，0 x ， 所以当 1 2 x 时，( )0fx；当 1 0 2 x时，( )0fx， 所以当且仅当 1 2 x 时，( )f

38、x有最小值， 因为 13 ( )2 24 fln， 1511 ( )2(41)0 2422 flnln ， 所以 5 ( ) 4 f x ； （） 2 ( )f xx恒成立，即() 0 xln axb，且要求0axb， 所以 x eax b， 若0a ，对任意的实数b，当0 x 且 1b x a 时，由于01 x e，1axb， 故不等式 x eax b不成立 若0a ，设( ) x g xeax，则( ) x g xea 当(,)xlna ，( )0g x，当(,)xlna，( )0g x， 从而( ) x g xeax在(,)lna上单调递减，在(,)lna 单调递增， 故( ) x g

39、xeax有最小值()g lnaaalna， 因此b aalna，所以 22 ab aa lna， 设h（a） 22 (0)aa lna a，则h（a）(12)alna， 所以h（a） 22 aa lna在 1 2 (0,)e上单调递增，在 1 2 (,)e上单调递减， 从而h（a） 22 aa lna的最大值为 11 22 () 2 e h eeelne， 当 1 2 ae， 1 2 2 e b 时，取等号，故ab的最大值为 2 e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题

40、目计分第一题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 17 页（共 18 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 cos :( sin xr C yr 为参数，常数0)r 以坐标原点 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 并在两坐标系中取相同的长度单位 曲线 2 C的 极坐标方程为 2 8 sin150 （）若曲线 1 C与 2 C有公共点，求r的取值范围； （）若1r ，过曲线 1 C上任意一点P作曲线 2 C的切线，切点为Q，求|PQ的最小值 【解答】解： （）曲线 1 C的普通方程为 222( 0)xyr r， 曲线 2 C的普通方程为 22 (

41、4)1xy 若 1 C与 2 C有公共点，则 22 |1|(00)(40)1rr剟， 所以35r剟 （）设(cos ,sin)P，由 2222 222 |1PQPCC QPC， 得 222 |cos(sin4)1 168sin1688PQ 当且仅当sin1时取最大值， 故|PQ的最小值为2 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |31|2|f xxx （）解不等式：( )5f x ； （）若关于x的不等式 2 ( )f xxm在0，3上恒成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （）由|31|2| 5xx得， 1 3 3125 x xx 或 1 2 3 3125 x xx 或 2 3125 x xx ， 解得1x 或12x或2x， 故不等式( )5f x 的解集为(，1)(1，) （）由题意知，当0 x，3时， 2 |31|2|xxxm恒成立 若02x，则 2 312xx xm ，可得 2 (23)3 min mxx； 若23x剟，则 2 312xxxm ， 2 (41)2 min mxx 第 18 页（共 18 页） 综上可知，实数( )f x的取值范围是(，2