2021年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）.docx

1、第 1 页（共 24 页） 2021 年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）年福建省福州市高考数学质检试卷（一模） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合1A ，2，3，4，5， |21Bx xk，kA，则(AB ) A1，3 B2，4 C3，5 D1，3，5 2 （5 分）设复数(,)zabi aZ bZ，则满足|1| 1z 的复数z有( ) A7 个 B5 个 C4 个 D3 个 3 （5 分）

2、“5m”是“ 2 45 0mm ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）若抛物线 2 ymx上一点( ,2)t到其焦点的距离等于 3，则( ) A 1 ? 4 m B 1 ? 2 m C2m D4m 5 （5 分）已知函数( )f xlnx，则函数 1 (?) 1 yf x 的图象大致为( ) A B C D 6 （5 分）在ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F若 31 ? 77 AFABAC，则 AC AD 的值为( ) A2 B3 C4 D5 7（5 分） 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对

3、象的几何学 如图， 有一列曲线 0 P， 1 P， n P，已知 0 P是边长为 1 的等边三角形， 1k P 是对 k P进行如下操作而得到：将 k P的 每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉 第 2 页（共 24 页） (0k ，1，2，)记 n P的周长为 n L、所围成的面积为. n S对于nN ，下列结论正确的 是( ) A n n S L 为等差数列 B n n S L 为等比数列 C0M，使 n LM D0M，使 n SM 8 （5 分）已知函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 图象过(0,1)，在区间(,) 12 3 上为单

4、 调函数，把( )f x的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合设 1 x， 2 5 (,) 26 x 且 12 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 ()f xx的值为( ) A3 B1 C1 D3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分） “一粥一饭，当思来之不易” ，道理虽简单，但每年我国还是有 2

5、000 多亿元的餐 桌浪费， 被倒掉的食物相当于 2 亿多人一年的口粮 为营造 “节约光荣， 浪费可耻” 的氛围， 某市发起了“光盘行动” 某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中 随机调查了 90 位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到 2 K的观测值为 9已知 2 (6.635)0.010P K， 2 (10.828)0.001P K，则下列判断正确的是( ) 认可 不认可 40 岁以下 20 20 40 岁以上（含 40 岁） 40 10 A在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动” B在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”

6、C有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 D在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 10 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在 第 3 页（共 24 页） 棱的中点，则在这四个正方体中，直线/ /AB平面MNP的是( ) A B C D 11 （5 分）已知P是双曲线 22 :?1 45 xy E在第一象限上一点， 1 F， 2 F分别是E的左、右 焦点， 12 PFF的面积为15 2 则以下结论正确的是( ) A点P的横坐标为 5 2 B 12 32 FPF C 12 PFF的内切圆半径为 1 D

7、 12 F PF平分线所在的直线方程为3240 xy 12 （5 分）在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲 正弦函数sinh 2 xx ee x 和双曲余弦函数cosh 2 xx ee x 等双曲函数在物理及生活中有 着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的 作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻 画则下列结论正确的是( ) A 22 coshsinh1xx Bcoshyx为偶函数，且存在最小值 C 0 0 x，sinh( sinh x 00 )sinh x D 1 x， 2 xR，且

8、12 xx， 12 12 sinhsinh 1 xx xx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13 （5 分）设x，y满足约束条件 4 0, ? 26 0 0, xy xy y ，则2xy的取值范围为 14 （5 分） 5 1 ()x x 的展开式中， 1 x 的系数为 第 4 页（共 24 页） 15 （5 分） 在三棱锥PABC中， 侧面PAC与底面ABC垂直，90BAC，30PCA， 3AB ，2PA则三棱锥PABC的外接球的表面积为 16 （5 分）已知圆C的方程为 22

9、 (2)(1)4xy，过点(2,0)M的直线与圆C交于P，Q 两点（点Q在第四象限） 若2QMOQPO ，则点P的纵坐标为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在21 nn Sa； 1 1a ， 21 log ()21 nn a an ； 2 12nnn aa a ， 2 3S ， 3 4a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答 问题：已知单调数列 n a的前n项和为 n S，且满足 _ （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前n

10、项和 n T 18（12 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，coscosabcBbC （1）求角C的大小； （2）设CD是ABC的角平分线，求证： 111 ? CACBCD 19 （12 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中， 1111 1AAACCC，2AC ， 1 ACAB （1）求证：平面 11 ACC A 平面 11 ABB A； （2）若90BAC，1AB ，求二面角 1 ABBC的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :?1(0) xy Eab ab 的左、右顶点分别为 1( 2A ，0)， 2( 2 A， 0)，上、下顶点分别为 1 B，

11、 2 B，四边形 1221 A B A B的周长为4 3 （1）求E的方程； （2）设P为E上异于 1 A， 2 A的动点，直线 1 A P与y轴交于点C，过 1 A作 12 / /ADPA，与y 轴交于点D试探究在x轴上是否存在一定点Q，使得3QC QD，若存在，求出点Q坐 标；若不存在，说明理由 21 （12 分）从 2021 年 1 月 1 日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通 知存款、结构性存款及大额存单协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户账 第 5 页（共 24 页） 户余额须不少于 50 万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期

12、须超 过 7 天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单， 年利率为3.84%，起点金额 1000 万元 （注:月利率为年利率的十二分之一） 已知某公司现有 2020 年底结余资金 1050 万元 （1）若该公司有 5 个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能 选择一种产品且不能弃权，求恰有 3 个股东选择同一种产品的概率； （2） 公司决定将 550 万元作协定存款， 于 20211 月 1 日存入该银行账户， 规定从 2 月份起， 每月首日支取 50 万元作为公司的日常开销将余下 500 万元中的x万元作七天通知存款， 准备投资高新项

13、目，剩余(500) x万元作结构性存款 求 2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息； 假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出， 本金x万元用于投资高新项目， 据专业机构评估，该笔投资到 2021 年底将有60%的概率获得 3 2 (0.020.135 ) 30000 x xx万 元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本问：x为何值时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值 22 （12 分）已知 2 ( )1 x f xx e （1）判断( )f x的零点个数，并说明理由； （2）若( )(2)f xalnxx，求

14、实数a的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2021 年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）年福建省福州市高考数学质检试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合1A ，2，3，4，5， |21Bx xk，kA，则(AB ) A1，3 B2，4 C3，5 D1，3，5 【解答】解：集合1A ，2，3，4，5， |21Bx xk，3kA，5，7，9，11，

15、 则3AB ，5 故选：C 2 （5 分）设复数(,)zabi aZ bZ，则满足|1| 1z 的复数z有( ) A7 个 B5 个 C4 个 D3 个 【解答】解：zabi，1(1)zabi ， 22 |1|(1)zab ， |1| 1z ， 22 (1)1ab， 22 (1)1ab，而aZ，bZ， 1b 或 0， 1b 时，1a ， 0b 时，0a ，1，2， 综上：1zi ，1zi ，0z ，1z ，2z ， 故选：B 3 （5 分） “5m”是“ 2 45 0mm ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 2 45 0m

16、m 得(1)(5) 0mm，得15m 剟， 则“5m”是“ 2 45 0mm ”的必要不充分条件， 故选：B 4 （5 分）若抛物线 2 ymx上一点( ,2)t到其焦点的距离等于 3，则( ) 第 7 页（共 24 页） A 1 ? 4 m B 1 ? 2 m C2m D4m 【解答】解：抛物线 2 ymx上一点( ,2)t，所以0m ， 抛物线的准线方程为： 1 4 y m ， 抛物线 2 ymx上一点( ,2)t到其焦点的距离等于 3， 可得： 1 23 4m ，解得 1 4 m 故选：A 5 （5 分）已知函数( )f xlnx，则函数 1 (?) 1 yf x 的图象大致为( ) A

17、 B C D 【解答】解：( )f xlnx， 11 (?)?(1) 11 yflnlnx xx ， 10 x，1x，即该函数的定义域为(,1)，排除选项A和B， 当1x 时，20yln ，排除选项C， 故选：D 6 （5 分）在ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F若 31 ? 77 AFABAC，则 AC AD 的值为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：设ACAD， 因为 31 ? 77 AFABAC， 所以 31 77 AFABAD， 因为B，F，D三点在同一条直线上， 第 8 页（共 24 页） 所以 31 1 77 ，所以4， 所以4 AC AD 故

18、选：C 7（5 分） 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学 如图， 有一列曲线 0 P， 1 P， n P，已知 0 P是边长为 1 的等边三角形， 1k P 是对 k P进行如下操作而得到：将 k P的 每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉 (0k ，1，2，)记 n P的周长为 n L、所围成的面积为. n S对于nN ，下列结论正确的 是( ) A n n S L 为等差数列 B n n S L 为等比数列 C0M，使 n LM D0M，使 n SM 【解答】解：根据题意可知，封闭曲线的周长数列 n L是首项为 0 3L ，公比为

19、 4 3 的等比数 列，所以 1 4 3( ) 3 n n L ， 由图可知， k P边数为34k，边长为 1 3k ， 所以 1k P 比 k P的面积增加了 2 1 314 34 3 4()( ) 4339 kk k ， 所以 1 4 34 ( ) 39 k kk SS ，(0k ，1，2，)， 即 0 10 4 34 ( ) 39 SS， 1 21 4 34 ( ) 39 SS， 1 1 4 34 ( ) 39 n nn SS ， 累计相加可得 2 33 34 ( ) 5209 n n S ， 第 9 页（共 24 页） 所以 2 33 34 ( ) 2 3331 5209 ( ) 4

20、154203 3 ( ) 3 n nn n n n S L ， 根据等差数列以及等比数列的定义可知， n n S L 既不是等差数列， 也不是等比数列， 故选项A， B错误； 当n时， 1 4 3 ( ) 3 n n L ，故选项C错误； 因为 2 33 342 3 ( ) 52095 n n S ，故0M，使 n SM，故选项D正确 故选：D 8 （5 分）已知函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 图象过(0,1)，在区间(,) 12 3 上为单 调函数，把( )f x的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合设 1 x， 2 5 (,) 26 x 且 12 xx，若 12 ()(

21、)f xf x，则 12 ()f xx的值为( ) A3 B1 C1 D3 【解答】解：函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 图象过(0,1)， 故有2sin1， 6 ，( )2sin() 6 f xx ( )f x在区间(,) 12 3 上为单调函数， 1 2 2312 ，4 把( )f x的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合， 2 k ，kZ，2 或4 当2，( )2sin(2) 6 f xx ，不满足在区间(,) 12 3 上为单调函数 当4，( )2sin(4) 6 f xx ，满足在区间(,) 12 3 上为单调函数 设 1 x，2 5 (,) 26 x 且 12 x

22、x， 则 1 4( 6 x 2 6 ， 3 2) 2 ， 2 4( 6 x 2 6 ， 3 2) 2 ， 若 12 ()()f xf x，则 12 44 66 2 22 xx ， 12 7 6 xx ， 则 12 729 ()()2sin1 66 f xxf 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 第 10 页（共 24 页） 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0

23、分分. 9 （5 分） “一粥一饭，当思来之不易” ，道理虽简单，但每年我国还是有 2000 多亿元的餐 桌浪费， 被倒掉的食物相当于 2 亿多人一年的口粮 为营造 “节约光荣， 浪费可耻” 的氛围， 某市发起了“光盘行动” 某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中 随机调查了 90 位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到 2 K的观测值为 9已知 2 (6.635)0.010P K， 2 (10.828)0.001P K，则下列判断正确的是( ) 认可 不认可 40 岁以下 20 20 40 岁以上（含 40 岁） 40 10 A在该餐厅用餐的客人中大约有66.

24、7%的客人认可“光盘行动” B在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动” C有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 D在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 【解答】解： 2 K的观测值为 9，且 2 (6.635)0.010P K， 2 (10.828)0.001P K， 又96.635，但910.828， 有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关， 或者说， 在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下， 认为 “光盘行动” 的认可情况与年龄有关， 所以选项C正确，选项D错误， 由表可知认可“光盘行动”的人数为 60

25、 人， 所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为 60 100%66.7% 90 ， 故选项A正确，选项B错误， 故选：AC 10 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线/ /AB平面MNP的是( ) A B 第 11 页（共 24 页） C D 【解答】解：对于选项A，连结AE，BE，如图所示， 因为M，N，P为所在棱的中点，由中位线定理可得，/ /AEMN，/ /EBNP， 且AEBEE，MNNPN，AE，BE 平面AEB， MN，NP 平面MNP，所以平面/ /MNP平面AEB， 因为AB平面AEB，所以

26、/ /AB平面MNP，故选项A正确； 对于选项B，如图所示，因为M，N，P为所在棱的中点， 所以/ /ANPB，且ANPB，故四边形ANPB为平行四边形，故/ /ABPN， 因为AB平面MNP，PN 平面MNP，所以/ /AB平面MNP，故选项B正确； 对于选项C，连结上底面的对角线交于点O，连结OP，如图所示， 因为M，N，P为所在棱的中点，由中位线定理可得，/ /ONAB， 因为ON与平面MNP相交，故AB与平面NMP不平行，故选项C不正确； 第 12 页（共 24 页） 对于选项D，连结上底面的对角线AE，如图所示， 因为M，N，P为所在棱的中点，所以/ /AEMN，/ /BEPN， 又

27、因为AEBEE，MNPNN，AE，BE 平面ABE， PN，MN 平面NMP，所以平面/ /ABE平面MNP， 又AB平面ABE，所以/ /AB平面MNP，故选项D正确 故选：ABD 11 （5 分）已知P是双曲线 22 :?1 45 xy E在第一象限上一点， 1 F， 2 F分别是E的左、右 焦点， 12 PFF的面积为15 2 则以下结论正确的是( ) A点P的横坐标为 5 2 B 12 32 FPF C 12 PFF的内切圆半径为 1 D 12 F PF平分线所在的直线方程为3240 xy 【解答】解：双曲线 22 :?1 45 xy E中的2a ，5b ，3c ， 不妨设( , )P

28、 m n，0m ，0n ， 由 12 PFF的面积为15 2 ，可得 12 115 |3 22 FFncnn，即 5 2 n ， 第 13 页（共 24 页） 由 22 1 45 mn ，可得3m ，故A不正确； 由 5 (3, ) 2 P，且 1( 3,0) F ， 2(3,0) F， 可得 1 5 12 PF k， 则 12 12 tan( 3 5 FPF，)，即 12 32 FPF ， 故B正确； 由 12 255 |369 42 PFPF， 则 12 PFF的周长为9615， 设 12 PFF的内切圆半径为r， 可得 121212 115 (|)| 222 rPFPFFFFF， 可得1

29、515r ，解得1r ，故C正确 设 12 F PF平分线所在的直线的斜率为k，0k ， 可得 12 2 1 2 12 tan 1 5 1 k FPF k ，解得 3 2 k （负的舍去） ， 则 12 F PF平分线所在的直线的方程为 53 (3) 22 yx，化为3240 xy，故D正确 故选：BCD 12 （5 分）在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲 正弦函数sinh 2 xx ee x 和双曲余弦函数cosh 2 xx ee x 等双曲函数在物理及生活中有 着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的 作用下自然下垂，那

30、么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻 画则下列结论正确的是( ) A 22 coshsinh1xx Bcoshyx为偶函数，且存在最小值 C 0 0 x，sinh( sinh x 00 )sinh x D 1 x， 2 xR，且 12 xx， 12 12 sinhsinh 1 xx xx 【解答】解：对于A：双曲正弦函数sinh 2 xx ee x 和双曲余弦函数cosh 2 xx ee x 满足 第 14 页（共 24 页） 22 2222 coshsinh()() 222 xxxxxx eeeeee xx ， 只有当0 x 时， 22 1 2 xx ee ，但是对于

31、其他的值不一定成立，故A错误； 对于: cosh()cosh 2 xx ee Bxx ，故函数为偶函数，由于 1 2 xxx x eee e ，故 cosh1 2 xx ee x ， （当且仅当0 x 时，等号成立） ，故B正确； 对于C：函数 x ye和函数 x ye都为单调递增函数， 所以sinhyx也为增函数，当 0 0 x 时， 0 sinhsinh00 x ， 令 0 sinh0tx，令( )sinh 2 tt ee g tttt ， 则 2 ( )110 22 tttt eeee g t ， 所以( )g t在(0,)单调递增， 所以( )(0)0g tg， 所以sinh(0)tt

32、 t，即 00 sinh(sinh)sinhxx，故C正确； 对于D：不妨设 12 xx， 所以 12 0 xx， 则 12 12 sinhsinh 1 xx xx ，即 1212 sinhsinhxxxx， 由选项C得：( )sing ttt在(0,)上单调递增， 由于()( )gtg t 所以函数( )g t为奇函数， 所以函数的图像关于原点对称，在(,0)上单调递增， 故 1 x， 2 xR，且 12 xx， 12 12 sinhsinh 1 xx xx ，故D正确 故选：BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案

33、填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13 （5 分）设x，y满足约束条件 4 0, ? 26 0 0, xy xy y ，则2xy的取值范围为 2，4 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 15 页（共 24 页） 由图可知，(4,0)A， 联立 40 260 xy xy ，解得(2,2)A， 作出直线20 xy，由图可知，平移直线至A时，2xy有最大值为 4； 至B时，2xy有最小值为22 22 2xy 的取值范围为 2，4 故答案为： 2，4 14 （5 分） 5 1 ()x x 的展开式中， 1 x 的系数为 5 【解答】解： 5 1 ()x x 的展开式的通项公式为： 3

34、5 5 2 155 1 () r rrrr r TCxCx x ， 令 3 51 2 r ，解得4r ， 所以 1 x 的系数为 4 5 5C 故答案为：5 15 （5 分） 在三棱锥PABC中， 侧面PAC与底面ABC垂直，90BAC，30PCA， 3AB ，2PA则三棱锥PABC的外接球的表面积为 25 【解答】解：在三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，90BAC， BA平面PAC，30PCA，2PA 设PAC的外接圆的半径为r，外接圆圆心为Q， 则2 sin30 PA r ，解得2r ， 过Q作OQ 平面PAC，则 /1 2 QOAB， 第 16 页（共 24 页） 外接球的半

35、径为R，球心为O， 2222 135 ()(2)( ) 222 RrAB， 外接球的表面积为 2 425R 故答案为：25 16 （5 分）已知圆C的方程为 22 (2)(1)4xy，过点(2,0)M的直线与圆C交于P，Q 两点（点Q在第四象限） 若2QMOQPO ，则点P的纵坐标为 1 2 【解答】解：圆C的方程为 22 (2)(1)4xy， 因为2QMOQPO ，由三角形的补角可知，QMOQPOMOP， 所以QPOMOP，故OMP为等腰三角形，所以2OMMP， 设( , )P x y，则 22 22 (2)4 (2)(1)4 yx xy ，解得 1 2 y ， 所以点P的纵坐标为 1 2

36、故答案为： 1 2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在21 nn Sa； 1 1a ， 21 log ()21 nn a an ； 2 12nnn aa a ， 2 3S ， 3 4a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答 问题：已知单调数列 n a的前n项和为 n S，且满足 _ （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前n项和 n T 【解答】解：方案一：选条件 （1）由题意，当1n 时， 111 21aSa，解得 1 1a

37、 ， 当2n时， 11 2121 nnnnn aSSaa ， 第 17 页（共 24 页） 化简整理，得 1 2 nn aa ， 数列 n a是以1为首项，2 为公比的等比数列， 11 1 22 nn n a ，*nN （2）由（1）知， 11 ( 2)2 nn n nann ， 则 121 1 1 2 23 22n n Tn ， 121 21 22 2(1) 22 nn n Tnn ， 两式相减， 可得 121 12222 nn n Tn 12 2 12 n n n (1) 21 n n， (1) 21 n n Tn 方案二：选条件 （1）依题意，由 21 log ()21 nn a an

38、， 可得 21 1 2 n nn a a ， 则 21 12 2 n nn aa ， 两式相比，可得 2 4 n n a a ， 1 1a ， 数列 n a的奇数项是以1为首项，4 为公比的等比数列， 又 2 1 2 2aa ， 2 2a ， 数列 n a的偶数项是以2为首项，4 为公比的等比数列， 综合可得，数列 n a是以1为首项，2 为公比的等比数列， 11 1 22 nn n a ，*nN （2）由（1）知， 11 ( 2)2 nn n nann ， 则 121 1 1 2 23 22n n Tn ， 第 18 页（共 24 页） 121 21 22 2(1) 22 nn n Tnn

39、， 两式相减， 可得 121 12222 nn n Tn 12 2 12 n n n (1) 21 n n， (1) 21 n n Tn 方案三：选条件 （1）依题意，由 2 12nnn aa a ， 可知数列 n a为等比数列， 设等比数列 n a的公比为q， 则 21 2 31 (1)3 4 Saq aa q ， 化简整理，得 2 3440qq， 解得 2 3 q （舍去） ，或2q ， 1 2 4 1a q ， 11 1 22 nn n a ，*nN （2）由（1）知， 11 ( 2)2 nn n nann ， 则 121 1 1 2 23 22n n Tn ， 121 21 22 2(

40、1) 22 nn n Tnn ， 两式相减， 可得 121 12222 nn n Tn 12 2 12 n n n (1) 21 n n， (1) 21 n n Tn 第 19 页（共 24 页） 18（12 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，coscosabcBbC （1）求角C的大小； （2）设CD是ABC的角平分线，求证： 111 ? CACBCD 【解答】解： （1）因为coscosabcBbC， 所以由余弦定理可得 222222 22 acbabc abcb acab ，整理可得 222 abcab ， 所以 222 1 cos 222 abcab C ab

41、ab ， 因为(0, )C， 所以 2 3 C （2）证明：根据题意作/ /DEAC，交BC于点E，如图所示： 2 3 C ，CD是ABC的角平分线， 3 ACDBCD ， 又因为/ /DEAC， 所以 3 CDEACD ， 所以 3 DCECDE ，可得CDE为等边三角形， 所以CDDECE， 又因为/ /DEAC， 所以 BEBD CEAD ，即 BCCEBD CEAD ， 又因为CD为角平分线， 所以 BCBD ACAD ，可得1 BCCEBCBC CECDAC ， 两边同时除BC，可得 111CBBC CD BCBCACBC ，则 111 ACBCAC ， 所以： 111 ? CACB

42、CD ，得证 19 （12 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中， 1111 1AAACCC，2AC ， 1 ACAB 第 20 页（共 24 页） （1）求证：平面 11 ACC A 平面 11 ABB A； （2）若90BAC，1AB ，求二面角 1 ABBC的正弦值 【解答】 （1）证明：由题意可知，四边形 11 AAC C是等腰梯形， 过点 1 A作 1 ADAC于点D，过 1 C作 1 C EAC于点E， 则 11 11 () 22 ADECACAC， 所以 1 1 1 cos 2 AD A AD AA ，所以 1 60A AD， 则 111 3 sin 2 ADAAA AD，

43、 所以 22222 11 33 ()( )3 22 ACADCD， 则 1 AAC中， 222 11 4AAACAC，所以 1 AAC为直角三角形，且 1 90AAC， 所以 11 ACAA，因为 1 ACAB， 1 AAABA， 1 AA，AB平面 11 ABB A， 所以 1 AC 平面 11 ABB A，因为 1 AC 平面 11 ACC A， 所以平面 11 ACC A 平面 11 ABB A； （2）解：因为ABAC， 1 ABAC， 1 ACACC， 1 AC，AC 平面 11 ACC A， 所以AB 平面 11 ACC A，又 1 AD 平面 11 ACC A，所以 1 ABA

44、D， 过点A作直线 1 / / A D，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则 11 1333 (1,0,0),(0,2,0),(0,),(0,) 2222 BCAC， 所以 1 13 ( 1,2,0),(0,) 22 BCC C ， 设平面 11 BBC C的一个法向量为( , , )mx y z， 则有 1 0 0 m BC m C C ，即 20 13 0 22 xy yz ， 令1z ，则3y ，2 3x ，所以(2 3, 3,1)m ， 第 21 页（共 24 页） 由（1）可知， 1 AC 平面 11 ABB A， 取 1 2(0,3,3)nAC为平面 11 ABB A的

45、一个法向量， 所以 3 331 cos, |442 3 m n m n m n ， 所以二面角 1 ABBC的余弦值为 1 4 ， 故二面角 1 ABBC的正弦值为 2 115 1( ) 44 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :?1(0) xy Eab ab 的左、右顶点分别为 1( 2A ，0)， 2( 2 A， 0)，上、下顶点分别为 1 B， 2 B，四边形 1221 A B A B的周长为4 3 （1）求E的方程； （2）设P为E上异于 1 A， 2 A的动点，直线 1 A P与y轴交于点C，过 1 A作 12 / /ADPA，与y 轴交于点D试探究在x轴上是否存在一定点Q，使

46、得3QC QD，若存在，求出点Q坐 标；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由已知可得2a ，且 1(0, ) Bb， 则四边形 1221 A B A B的周长为 22 44 3ab，所以1b ， 所以E的方程为： 2 2 1 2 x y； （2）设点( , )P m n，则有 22 22mn， 则 1 2 A P n k m ，所以直线 1 A P的方程为：(2) 2 n yx m ， 令0 x ，解得 2 2 n y m ，即 2 (0,) 2 n C m ， 2 2 A P n k m ，所以直线 2 A P的方程为：(2) 2 n yx m ， 第 22 页（共 24 页） 令0

47、x ，解得 2 2 n y m ，即 2 (0,) 2 n D m ，所以 2 (0,) 2 n D m ， 设点( ,0)Q s，则 2 (,) 2 n QCs m ， 2 (,) 2 n QDs m ， 所以 2 2 2 2 3 2 n QC QDs m ， 所以 22 2 22 22 333 14 22 nm s mm ， 所以2s ， 故存在点Q满足题意，此时点Q的坐标为(2,0)或( 2,0) 21 （12 分）从 2021 年 1 月 1 日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通 知存款、结构性存款及大额存单协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户账 户余额

48、须不少于 50 万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超 过 7 天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单， 年利率为3.84%，起点金额 1000 万元 （注:月利率为年利率的十二分之一） 已知某公司现有 2020 年底结余资金 1050 万元 （1）若该公司有 5 个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能 选择一种产品且不能弃权，求恰有 3 个股东选择同一种产品的概率； （2） 公司决定将 550 万元作协定存款， 于 20211 月 1 日存入该银行账户， 规定从 2 月份起， 每月首日支取 50 万元作

49、为公司的日常开销将余下 500 万元中的x万元作七天通知存款， 准备投资高新项目，剩余(500) x万元作结构性存款 求 2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息； 假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出， 本金x万元用于投资高新项目， 据专业机构评估，该笔投资到 2021 年底将有60%的概率获得 3 2 (0.020.135 ) 30000 x xx万 元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本问：x为何值时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值 【解答】解： （1）设恰有 3 个股东选择同一种产品的事件为A， 由题意可知，5 个股东共有 5 4种选择， 而恰好由 3 个股东同时选择同一种产品的可能情况为 323 544 ()CAA种， 所以 323 544 5 ()45 ( ) 4128 CAA P A ； （2）2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息为： 第 23 页（共 24 页） 0.016855050 (55050010050)50(1150)0.00144.69 122 （万元） ； 由条件可知，高新项目投资可得收益频率分布表为： 投资收益t 3 2 0.020.135 30000 x xx 0 0.27x P 0.6 0.2 0.2 所以高新项目投资所得收益的期望为