2021年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模）.docx

1、第 1 页（共 24 页） 2021 年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模）年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。有一项符合题目要求。 1 （5 分）已知集合 2 |20Axxx， |1Bx x，则( R AB ) A(0,1) B(0，1 C(,0) D(1,2) 2 （5 分）已知i为虚数单位，若复数 3 1 i z i ，则| | (z ) A5 B5 C3 D3 3 （5 分） 26 (1)(2)

2、xx展开式中含 2 x项的系数为( ) A240 B240 C176 D176 4 （5 分）已知F为抛物线 2 :8C yx的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB中点的 横坐标为 4，则| (AFBF ) A8 B10 C12 D16 5（5 分） 某工厂产生的废气经过滤后排放， 过滤过程中废气的污染物含量P（单位：/ )mg L 与时间t（单位：) h间的关系式为 0 kt PPe，其中 0 P，k为正的常数如果一定量的废气在 前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过 多长时间？( )（结果四舍五入取整数，参考数据：20.693ln，5 1.6

3、09)ln A11h B21h C31h D41h 6 （5 分）平行四边形ABCD中，4AB ，3AD ，60BAD，Q为CD中点，点P在 对角线BD上，且BPBD，若APBQ，则( ) A 1 4 B 1 2 C 2 3 D 3 4 7 （5 分） 已知( )f x是定义在R上的奇函数，(2)( )fxf x， 当0 x，1时， 3 ( )f xx， 则( ) A(2021)0f B2 是( )f x的一个周期 第 2 页（共 24 页） C当(1,3)x时， 3 ( )(1)f xx D( )0f x 的解集为(4k，42)()kkZ 8 （5 分）某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如

4、下：在水平直线l上取长度为 2 的线 段AB，并作等边三角形ABC，第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交 线段CB的延长线于点D；第二次画线：以点C为圆心、CD为半径逆时针画圆弧，交线段 AC的延长线于点E；以此类推，得到的螺线如图所示，则( ) A第二次画线的圆弧长度为 4 3 B前三次画线的圆弧总长度为4 C在螺线与直线l恰有 4 个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为30 D在螺线与直线l恰有 6 个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为60 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题

5、给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）若01ab，1c ，则( ) A ab cc B cc baab C bab cac Dloglog ab cc 10 （5 分）已知双曲线 22 :1() 7 xy CmR mm 的一条渐近线方程为430 xy，则( ) A( 7，0)为C的一个焦点 B双曲线C的离心率为 5 3 C过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，则满足| 15AB 的直线有且只有两条 D设A，B，M为C上三点且

6、A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积 为 16 9 11 （5 分）已知函数( )2|sin |cos | 1f xxx，则( ) 第 3 页（共 24 页） A( )f x在0， 2 上单调递增 B直线 2 x 是( )f x图象的一条对称轴 C方程( ) 1f x 在0，上有三个实根 D( )f x的最小值为1 12 （5 分）骰子通常作为桌上游戏的小道具最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀 的正方体，六个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6现有一款闯关游戏，共有 4 关，规 则如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷 所出现的点数之和

7、大于2 n n， 则算闯过第n关，1n ， 2， 3， 4 假定每次闯关互不影响， 则( ) A直接挑战第 2 关并过关的概率为 7 12 B连续挑战前两关并过关的概率为 5 24 C若直接挑战第 3 关，设A “三个点数之和等于 15” ， B “至少出现一个 5 点” ， 则 1 (|) 13 P A B D若直接挑战第 4 关，则过关的概率是 35 1296 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知(0,) 2 ，若 1 sin(2 ) 23 ，则tan的值为 14 （5 分）2021 年 2 月 25 日

8、，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严 宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利已知在党委政府精准扶贫政策下，自 2017 年起某地 区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表： 年份 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 年人均收入y 0.6 0.8 1.1 1.5 根据如表可得回归方程 ybxa中的 b为 0.3，据此模型预报该地区贫困户 2021 年的年人 均收入为 （单位：万元） 15 （5 分）已知点A为直线:3l yx上一点，且A位于第一象限，点(10,0)B，以AB为直 第 4 页（共 24 页） 径的圆与l交于点C（异于) A

9、，若60CBA，则点A的横坐标的取值范围为 16（5 分） 已知正三棱锥PABC的底面边长为 2， 侧棱长为13， 其内切球与两侧面PAB， PBC分别切于点M，N，则MN的长度为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 35 14aa， 4 28S ， 8 a是 5 a与 13 a的等比中项，三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并给出解答 问题：已知 n a为公差不为零的等差数列，其前n项和为 n S， n b为等比数列，其前n项 和2n n T，为常

10、数， 11 ab，_ （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）令 nn clga，其中 x表示不超过x的最大整数，求 123100 cccc的值 18 （12 分）将函数( )sin3cosf xxx图象上所有点向右平移 6 个单位长度，然后横坐标 缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，得到函数( )g x的图象 （1）求函数( )g x的解析式及单调递增区间； （2） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 1 s i n ()c o s () 364 BB ， () 6 cg ，2 3b ，求ABC的面积 19 （12 分）如图，四边形ABCD是边长为 2 的

11、正方形，APPD，将三角形PAD沿AD折 起使平面PAD 平面ABCD （1）若M为PC上一点，且满足BMPD，求证：PDAM； （2）若二面角BPCD的余弦值为 10 5 ，求AP的长 20 （12 分）某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求、丰富产品花色、提高企业竞争力，研发 了一款新产品该产品每份成本 60 元，售价 80 元，产品保质期为两天，若两天内未售出， 第 5 页（共 24 页） 则产品过期报废由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产、集中 配送一次该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续 30 天的日销量（单位：百份） ，假定该款新产

12、品每口销量相互独立，得到如图的柱状图 （1）记两天中销售该新产品的总份数为（单位：百份） ，求的分布列和数学期望； （2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送 27 百份、28 百份两 种方案中应选择哪种？ 21 （12 分）已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，A为椭圆的上 顶点， 12 AFF是面积为 4 的直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）设圆 22 8 : 3 O xy上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N，问：PM PN是否 为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 22 （12 分）已知函数 2

13、1 ( )cos 2 f xxx，( )f x为( )f x的导函数 （1）求函数( )f x的极值； （2） 设函数 2 3 sincos1 ( )()(sin) 226 x xxx g xxeaxxx ，aR， 讨论( )g x的单调性； （3）当0 x时，( )1 x f xebx，求实数b的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2021 年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模）年山东省烟台市高考数学诊断性试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只

14、分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。有一项符合题目要求。 1 （5 分）已知集合 2 |20Axxx， |1Bx x，则( R AB ) A(0,1) B(0，1 C(,0) D(1,2) 【解答】解： |02Axx， |1Bx x， |1 RB x x，(0 R AB ，1 故选：B 2 （5 分）已知i为虚数单位，若复数 3 1 i z i ，则| | (z ) A5 B5 C3 D3 【解答】解： 3(3)(1)42 2 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 则 22 |215z 故选：A 3 （5 分） 26 (1)(2)xx展开式中含 2 x项的系数为( )

15、 A240 B240 C176 D176 【解答】解： 26 (1)(2)xx展开式中含 2 x项有两部分组成， 第一个括号中提供常数 1 时， 6 (2)x应提供 2 x项； 第一个括号中提供常数 2 x时， 6 (2)x应提供常数项， 所以 26 (1)(2)xx展开式中含 2 x项的系数为： 2406 66 1( 2)( 2)24064176CC ， 故选：C 4 （5 分）已知F为抛物线 2 :8C yx的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB中点的 横坐标为 4，则| (AFBF ) A8 B10 C12 D16 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：F为抛物线 2 :8C yx的

16、焦点(2,0)，准线方程2x ， 由题设知知线段AB的中点到准线的距离为：426， 设A，B两点到准线的距离分别为 1 d， 2 d， 由抛物线的定义知： 12 | |2 612ABAFBFdd 故选：C 5（5 分） 某工厂产生的废气经过滤后排放， 过滤过程中废气的污染物含量P（单位：/ )mg L 与时间t（单位：) h间的关系式为 0 kt PPe，其中 0 P，k为正的常数如果一定量的废气在 前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过 多长时间？( )（结果四舍五入取整数，参考数据：20.693ln，5 1.609)ln A11h B21h C

17、31h D41h 【解答】解：令10t ，则 10 00 (1 20%) k PPPe， 所以 5 100.8 4 klnln ，所以 1511 ( 54)( 52 2)0.0233 1041010 klnlnlnlnln， 当 0 50%PP时，有 00 50% kt PPe， 所以 0.0233 00 50% t PPe，即0.50.0233lnt ， 所以20.0233lnt ，则 2 31 0.0233 ln th， 故选：C 6 （5 分）平行四边形ABCD中，4AB ，3AD ，60BAD，Q为CD中点，点P在 对角线BD上，且BPBD，若APBQ，则( ) A 1 4 B 1 2

18、 C 2 3 D 3 4 【解答】解：根据题意，如图： ()(1)APABBPABBDABADABABAD， 11 22 BQBCCQBCCDADAB， 若APBQ，则 第 8 页（共 24 页） 22113 (1) ()(1)0 222 AP BQABADADABABADAB AD ， 变形可得：820， 解可得： 1 4 ， 故选：A 7 （5 分） 已知( )f x是定义在R上的奇函数，(2)( )fxf x， 当0 x，1时， 3 ( )f xx， 则( ) A(2021)0f B2 是( )f x的一个周期 C当(1,3)x时， 3 ( )(1)f xx D( )0f x 的解集为(

19、4k，42)()kkZ 【解答】解：根据题意，( )f x是定义在R上的奇函数，则( )()f xfx， 又由(2)( )fxf x，则(2)()fxfx，变形可得(2)( )f xf x， 则有(4)(2)( )f xf xf x，即( )f x是周期为 4 的周期函数，B错误， 又由0 x，1时， 3 ( )f xx，则(2021)(1 4 505)fff （1）1，A错误， 当 1x ，0时，0 x ，1，则有 33 ()()fxxx ， 又由( )f x为奇函数，则 3 ( )()f xfxx， 则在区间 1，1上， 3 ( )f xx， 当1x，3时，2 1x ，2，则 3 (2)(

20、2)fxx， 又由(2)( )fxf x，则 3 ( )(2)(2)f xfxx，C错误， 第 9 页（共 24 页） 综合可得： 3 3 , 1,1 ( ) (2) ,1,3 x x f x xx ， 在区间 1，3上，若( )0f x ，必有02x， 又由( )f x是周期为 4 的周期函数，则( )0f x 的解集为(4 ,42)kk ，D正确， 故选：D 8 （5 分）某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为 2 的线 段AB，并作等边三角形ABC，第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交 线段CB的延长线于点D；第二次画线：以点C为圆心、CD为半径

21、逆时针画圆弧，交线段 AC的延长线于点E；以此类推，得到的螺线如图所示，则( ) A第二次画线的圆弧长度为 4 3 B前三次画线的圆弧总长度为4 C在螺线与直线l恰有 4 个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为30 D在螺线与直线l恰有 6 个交点（不含A点）时停止画线，此时螺线的总长度为60 【解答】解：第 1 次画线：以点B为圆心，2r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 24 2 33 ； 第 2 次画线：以点C为圆心，4r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 28 4 33 ，故选项A错 误，交l累计 1 次； 第 3 次画线：以点A为圆心，6r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为

22、 212 64 33 ，故选 项B错误，交l累计 2 次； 第 4 次画线：以点B为圆心，8r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 216 8 33 ； 第 5 次画线：以点C为圆心，10r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 220 10 33 ，交l累计 3 次； 第 10 页（共 24 页） 前 5 次累计画线 48121620 20 33333 ， 第 6 次画线：以点A为圆心，12r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 224 128 33 ，交l 累计 4 次，累计画线20828，故选项C错误； 第 7 次画线：以点B为圆心，14r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 228 14 33

23、； 第 8 次画线：以点C为圆心，16r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 232 16 33 ，交l累计 5 次； 第 7 次画线：以点A为圆心，18r ，旋转 2 3 ，划过的圆弧长为 236 1812 33 ，交l 累计 6 次，累计画线 2832 281260 33 ，故选项D正确 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分

24、。分。 9 （5 分）若01ab，1c ，则( ) A ab cc B cc baab C bab cac Dloglog ab cc 【解答】解：因为01ab，1c ，由指数函数的性质可得 ab cc，故A正确； 因为01ab，所以01 a b ， 因为1c ，所以10c ， 所以 1 ( )1 c a b ，所以1 c c ba ab ，即 cc baab，故B正确； () () baba bc cacc ca ，因为0bc，0ca，所以 () 0 () a bc c ca ， 所以 bab cac ，故C正确； 由01ab，1c ，可得loglog0 cc ab， 所以 11 0 ab

25、log clog c ，所以log log ba cc，故D错误； 故选：ABC 10 （5 分）已知双曲线 22 :1() 7 xy CmR mm 的一条渐近线方程为430 xy，则( ) A( 7，0)为C的一个焦点 第 11 页（共 24 页） B双曲线C的离心率为 5 3 C过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，则满足| 15AB 的直线有且只有两条 D设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积 为 16 9 【解答】解：双曲线 22 :1() 7 xy CmR mm 的一条渐近线方程为430 xy， 可得 716 9 m m ，解得9m ， 则双曲线的

26、方程为 22 1 916 xy ， 可得3a ，4b ，5c ，焦点为( 5,0)，故A错误； 双曲线的离心率为 5 3 c e a ，故B正确； 过右焦点(5,0)作直线与C交于A，B两点， 若A，B均在右支上，可得 2 232 | 3 b AB a ， 而 32 15 3 ，可得这样的直线有两条； 若A，B分别在双曲线的左、右支上，可得| 26ABa ， 而156，可得这样的直线有两条，则满足| 15AB 的直线共有 4 条，故C错误； 设( , )A m n，(,)Bmn，( , )M s t，可得 22 1 916 mn ， 22 1 916 st ， 两式相减可得 ()()()()

27、916 ms msnt nt ， 即有MA，MB斜率存在时其乘积为 16 9 ntnt ms ms ， 故D正确 故选：BD 11 （5 分）已知函数( )2|sin |cos | 1f xxx，则( ) A( )f x在0， 2 上单调递增 B直线 2 x 是( )f x图象的一条对称轴 C方程( ) 1f x 在0，上有三个实根 第 12 页（共 24 页） D( )f x的最小值为1 【解答】解：函数( )2|sin |cos | 1f xxx， 对于A：由于0 x， 2 时， 1 ( )2sincos15sin()1(tan) 2 f xxxx ， 当 2 x 时，函数达到最大值，故函

28、数在0， 2 上单调递增，故A错误； 对于:()2 | sin() | cos() |12 | sin() | cos() |1() 222222 Bfxxxxxfx ， 故函数的图象关于 2 x 对称，故B正确； 对于C：当0, 2 x 时，( )2sincos15sin()1f xxxx ， 令( ) 1f x ， 则( ) 2 0 1 1 2 f ，(0)0f， 由于函数在0， 2 内满足()511 2 f ， 所以在0 x， 2 满足一个 0 x，使得 0 ()1f x，故有一实根； 当, 2 x 时，( )2sincos15sin()1f xxxx ， 1 tan 2 ， 则函数(

29、)f x在, 2 2 上单调递增，在, 2 x 上单调递减， 且满足( ) 1 1 0f ，()1 2 f ，()51 1 2 f ， 所以存在一个实数，使得函数( )f x在0，上存在， 2 ，使得( ) 1f x ，故C 正确； 对于D： 函数的周期为， 故在(0)0f，()1 2 f ， 由于函数关于 2 x 对称，( )0f， 故不存在x，使得( )f x的最小值为1，故D错误 故选：BC 12 （5 分）骰子通常作为桌上游戏的小道具最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀 的正方体，六个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6现有一款闯关游戏，共有 4 关，规 则如下：在第n关要抛掷六

30、面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷 所出现的点数之和大于2 n n， 则算闯过第n关，1n ， 2， 3， 4 假定每次闯关互不影响， 则( ) A直接挑战第 2 关并过关的概率为 7 12 第 13 页（共 24 页） B连续挑战前两关并过关的概率为 5 24 C若直接挑战第 3 关，设A “三个点数之和等于 15” ， B “至少出现一个 5 点” ， 则 1 (|) 13 P A B D若直接挑战第 4 关，则过关的概率是 35 1296 【解答】解：对于A，直接挑战第 2 关，则 2 2226 n n， 所以投掷两次点数之和应大于 6， 故直接挑战第 2 关并过关的

31、概率为 1 1234567 6 612 P ，故选项A正确； 对于B，闯第 1 关时，22 1 3 n n ， 所以挑战第 1 关通过的概率为 2 1 2 P ， 则连续挑战前两关并过关的概率为 12 177 21224 PPP，故选项B错误； 对于C，由题意可知，抛掷 3 次的基本事件有 3 6216个， 抛掷 3 次至少出现一个 5 点的基本事件共有 33 65216 12591个， 故 91 ( ) 216 P B ， 而事件AB包括：含 5，5，5 的 1 个，含 4，5，6 的有 6 个，一共有 7 个， 故 7 () 216 P AB ，所以 ()72161 (|) ( )2169

32、113 P AB P A B P B ，故选C正确； 对于D，当4n 时， 4 22420 n n，基本事件共有 4 6个， “4 次点数之和大于 20”包含以下情况： 含 5，5，5，6 的有 4 个，含 5，5，6，6 的有 6 个，含 6，6，6，6 的有 1 个，含 4，6，6， 6 的有 4 个， 含 5，6，6，6 的有 1 个，含 4，5，6，6 的有 12 个，含 3，6，6，6 的有 4 个， 所以共有4614412435 个， 所以直接挑战第 4 关，则过关的概率是 4 3535 6 6 6 61296 P ，故选项D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共

33、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 14 页（共 24 页） 13 （5 分）已知(0,) 2 ，若 1 sin(2 ) 23 ，则tan的值为 2 2 【解答】解：因为 1 sin(2 ) 23 ， 所以 1 cos2 3 ， 因为 222 22 222 11 cos2cossin 13 cossintan cossintan ， 所以 2 1 tan 2 ， 因为(0,) 2 ，所以 2 tan 2 故答案为： 2 2 14 （5 分）2021 年 2 月 25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严 宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利已知

34、在党委政府精准扶贫政策下，自 2017 年起某地 区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表： 年份 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 年人均收入y 0.6 0.8 1.1 1.5 根据如表可得回归方程 ybxa中的 b为 0.3，据此模型预报该地区贫困户 2021 年的年人 均收入为 1.75 （单位：万元） 【解答】解： 1234 2.5 4 x ， 0.60.8 1.1 1.5 1 4 y ， 样本中心点的坐标为(2.5,1)，代入 0.3yxa 中， 可得10.32.50.25a ， 则0.30.25yx，把5x 代入，可得0.3 50.

35、25 1.75y （万元） 故答案为：1.75 15 （5 分）已知点A为直线:3l yx上一点，且A位于第一象限，点(10,0)B，以AB为直 径的圆与l交于点C（异于) A，若60CBA，则点A的横坐标的取值范围为 13 3， ) 【解答】解：设点A的坐标为( ,3 )a a，0a ，则|10AOa， 第 15 页（共 24 页） 如图所示，过点A作AHx轴， 由面积相等可得 11 | 22 OBAHOA BC， 即 11 10 310| 22 aaBC，所以| 3 10BC ， 所以在直角三角形ABC中， 222 |3 103 cos | (10)(3 )210 BC CBA AB aa

36、aa ， 因为60CBA，所以 1 cos 2 CBA， 即 2 31 2 210aa 化简可得 2 226 0aa，即 2 (1)27a， 所以3 31a或1 3 3a（舍去） ， 所以实数a的取值范围为3 31，)， 故答案为：3 31，) 16（5 分） 已知正三棱锥PABC的底面边长为 2， 侧棱长为13， 其内切球与两侧面PAB， PBC分别切于点M，N，则MN的长度为 5 6 【解答】解：设正三棱锥的内切球的半径为R，M为内切球与侧面PAB的切点，Q为侧面 上切点所在小圆的圆心，半径为r，如图所示， 因为ABC为等边三角形， 所以 22 3CDBCBD， 22 3 33 CHCD，

37、 13 33 DHCD， 22 12105 13 93 PHPCCH， 因为POMPDH， 第 16 页（共 24 页） 所以 OMPO DHPD ，即 3 3 RPHR PD ， 因为 22 13 12 3PDPBBD ， 所以 105 3 32 3 3 R R ，解得 105 21 R ， 因为 35 sinsin 6 PH OMQPDH PD ， 所以 35 cossinsin 6 rMQROMQRPMQRPDHR， 由正三棱锥的定义可知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故 120QMN， 由余弦定理可得 22222 35525 2cos12033 362136 MN

38、rrrr ， 所以 5 6 MN 故答案为： 5 6 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 35 14aa， 4 28S ， 8 a是 5 a与 13 a的等比中项，三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并给出解答 问题：已知 n a为公差不为零的等差数列，其前n项和为 n S， n b为等比数列，其前n项 和2n n T，为常数， 11 ab，_ （1）求数列 n a， n b的通项公式； 第 17 页（共 24 页） （2）令 nn clga，其中

39、x表示不超过x的最大整数，求 123100 cccc的值 【解答】解：选 35 14aa， （1）设 n a的公差为d，d不为零， n b的公比为q， 由已知可得 221 2bTT， 332 4bTT， 所以 3 2 2 b q b ，则 221 2 2 22 nnn n bb q ； 故 11 1ab， 则121414dd ，解得2d ，所以12(1)21 n ann ； （2）由 nn clga， 则 12345 0ccccc， 6750 1ccc， 5152100 2ccc， 所以 123100 1 452 50145cccc 选 4 28S （1）设 n a的公差为d，d不为零， n

40、b的公比为q， 由已知可得 221 2bTT， 332 4bTT， 所以 3 2 2 b q b ，则 221 2 2 22 nnn n bb q ； 故 11 1ab， 由 4 28S ，可得 4 3 4 128 2 d ，解得4d ， 所以43 n an； （2）由 nn clga， 则 123 0ccc， 4525 1ccc， 2627100 2ccc， 所以 123100 1 222 75172cccc 选 8 a是 5 a与 13 a的等比中项， （1）设 n a的公差为d，d不为零， n b的公比为q， 由已知可得 221 2bTT， 332 4bTT， 第 18 页（共 24 页

41、） 所以 3 2 2 b q b ，则 221 2 2 22 nnn n bb q ； 故 11 1ab， 由 8 a是 5 a与 13 a的等比中项，可得 2 85 13 aa a， 即 2 (1 7 )(1 4 )(1 12 )ddd， 解得2d ，则12(1)21 n ann ； （2）由 nn clga， 则 12345 0ccccc， 6750 1ccc， 5152100 2ccc， 所以 123100 1 452 50145cccc 18 （12 分）将函数( )sin3cosf xxx图象上所有点向右平移 6 个单位长度，然后横坐标 缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，得到函

42、数( )g x的图象 （1）求函数( )g x的解析式及单调递增区间； （2） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 1 s i n ()c o s () 364 BB ， () 6 cg ，2 3b ，求ABC的面积 【解答】解： （1）函数( )sin3cos2sin() 3 f xxxx 图象， 函数( )f x上所有点向右平移 6 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变） ， 得到函数( )2sin(2) 6 g xx 的图象 令：222() 262 kxkkZ 剟， 整理得：() 36 kx kkZ 剟， 故函数的单调递增区间为：,() 36 k

43、kkZ （2）由( )2sin()2 636 cg ， 故2c ， 1 sin()cos() 364 BB ， 第 19 页（共 24 页） 整理得 1 cos() 62 B ， 由于(0, )B， 所以 7 (,) 666 B ， 当 1 cos() 62 B ，解得 6 B ， 由余弦定理： 222 2cosbacacB， 解得：311a ， 所以： 1311 2( 311) 22 ABC S 当 1 cos() 62 B 时，解得 2 B 由勾股定理：解得1242 2a ， 所以 1 22 22 2 2 ABC S 19 （12 分）如图，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，APPD，

44、将三角形PAD沿AD折 起使平面PAD 平面ABCD （1）若M为PC上一点，且满足BMPD，求证：PDAM； （2）若二面角BPCD的余弦值为 10 5 ，求AP的长 【解答】 （1）证明：因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB 平 面ABCD，ABAD， 所以AB 平面PAD，又PD平面PAD，所以PDAB， 又PDBM，ABBMB，AB，BM 平面ABM， 所以PD 平面ABM，又AM 平面ABM， 所以PDAM； （2）解：取AD的中点O，以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设OPa， 第 20 页（共 24 页） 则(1B，2，0)，( 1C ，2，0)

45、，( 1D ，0，0)，(0P，0，) a， 所以(2,0,0),(0, 2,0),(1, 2, )CBCDCPa， 设平面PBC的法向量为( , , )mx y z， 则有 0 0 m CB m CP ，即 20 20 x xyaz ， 令ya，则0 x ，2z ，故(0, ,2)ma， 设平面PCD的法向量为( , , )np q r， 则有 0 0 n CD n CP ，即 20 20 q pqar ， 令pa，则0q ，1r ，故( ,0, 1)na， 因为二面角BPCD的余弦值为 10 5 ， 所以 22 |210 |cos,| |5 41 m n m n m n aa ，解得1a

46、， 所以1 12AP 20 （12 分）某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求、丰富产品花色、提高企业竞争力，研发 了一款新产品该产品每份成本 60 元，售价 80 元，产品保质期为两天，若两天内未售出， 则产品过期报废由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产、集中 配送一次该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续 30 天的日销量（单位：百份） ，假定该款新产品每口销量相互独立，得到如图的柱状图 （1）记两天中销售该新产品的总份数为（单位：百份） ，求的分布列和数学期望； （2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送 27 百份、2

47、8 百份两 种方案中应选择哪种？ 第 21 页（共 24 页） 【解答】解： （1）根据题意可得： 的所有可能取值为 24，25，26，27，28，29，30， 111 (24) 1010100 P， 133 (25)2 101050 P， 123317 (26)2 1051010100 P， 11327 (27)22 10510525 P， 31227 (28)2 1055525 P， 214 (29)2 5525 P， 111 (30) 5525 P， 的分布列为： 24 25 26 27 28 29 30 P 1 100 3 50 17 100 7 25 7 25 4 25 1 25 1

48、3177741 ( )2425262728293027.4 1005010025252525 E （2）当每天生产配送 27 百份时，利润为： 13171317 (2420360)(2520260)(26201 60)2720(1)514.4 1005010010050100 （百元） ， 当每两天生产配送 28 百份时，利润为： 第 22 页（共 24 页） 1317712 (2420460)(25203 60)(2620260)(27201 60)2820492.8 100501002525 （百元） ， 514.4492.8，选择每天生产配送 27 百份 21 （12 分）已知 1 F，

49、 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，A为椭圆的上 顶点， 12 AFF是面积为 4 的直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）设圆 22 8 : 3 O xy上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N，问：PM PN是否 为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 【解答】解： （1）由A为椭圆的上顶点， 12 AFF是面积为 4 的直角三角形 可得： 1 24 2 c b，且bc， 解得：2bc，所以 22 28ab， 所以椭圆的方程为： 22 1 84 xy ； （2）当切线l的斜率不存在时，其方程 2 6 3 x ， 将 2 6 3 x 代入椭圆的方程： 22 1 84 xy 得 2 6 3 y ， 设 2 6 ( 3 M， 2 6 ) 3 ， 2 6 ( 3 N， 2 6 ) 3 ， 又 2 6 ( 3 P，0)，所以 8 3 PM PN ， 同理可得 2 6 3 x ，也有 8 3 PM PN ， 当切线l的斜率存在时，设方程为：ykxm，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 直线l与圆 22 8 : 3 O xy相切，所以 2 |2 6 3 1 m k ，即 22 38 8mk ，联立 22 1 84 ykxm xy ， 整理可得： 222 (1 2)4280kxkmxm ， 12 2 4 12 k