上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编（五）.doc

1、E E G G F F C C D D A A B B O O A A B B D D C C 上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编五上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编五 1. （复附）从（复附）从100321、中取两个不同的数，使两数之和大于中取两个不同的数，使两数之和大于100，则有，则有 种不同的取法。种不同的取法。 解：取一个解：取一个100，则，则991 中，任取一个数都能使两数之和大于中，任取一个数都能使两数之和大于100，共，共99种取法；种取法； 取一个取一个99，则，则982 中，任取一个数都能使两数之和大于中，任取一个数都能使两数之和大于100，共，共97种取法；种取

2、法； 取一个取一个51，则另一个数只能为，则另一个数只能为49，共，共1种取法；种取法； 共共250050 2 991 种。种。 2. （交附）平面上边长为（交附）平面上边长为1的正方形的正方形ABCD绕着其中心旋转绕着其中心旋转 45得到正方形得到正方形DCBA，那么这两，那么这两 个正方形重叠部分的面积为个正方形重叠部分的面积为 。 解：如图，正方形解：如图，正方形ABCD绕着其中心旋转绕着其中心旋转 45得到正方形得到正方形DCBA， 对应边的夹角都是对应边的夹角都是 45， 旁边的小三角形都是等腰直角三角形。旁边的小三角形都是等腰直角三角形。 易知易知 2 2 OA， 2 1 OE，

3、2 12 EA. . 4 223 2 2 1 2 1 2 EAEAEAEAGFS FGA 重叠部分的面积为重叠部分的面积为222 4 223 41 。 3. （建平）已知（建平）已知ba、是实数，若不等式是实数，若不等式043)2( baxba的解集是的解集是 9 4 x，则不等式，则不等式 032)4( baxba的解集是的解集是 。 解：不等式解：不等式043)2( baxba的解是的解是 9 4 x 9 4 2 34 02 ba ab ba ， ab ba 78 02 ， 7 8 02 b a ba ，代入解得，代入解得 0 0 b a 0 2 5 2 7 4 aaaba 4 1 4 2

4、3 ba ab x。 4. （交附）设（交附）设)2, 0( A，)2 , 4(B是平面直角坐标系中的两点，是平面直角坐标系中的两点，P是线段是线段AB垂直平分线上的点，如垂直平分线上的点，如 果点果点P与点与点C)5 , 1(的距离等于的距离等于22,则点则点P的坐标为的坐标为 。 解：线段解：线段AB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为2 xy 设设)2,( mmP，则，则 2222 )22()52()1( mmPC 整理得：整理得：81042 2 mm,解得：解得：1 m )3 , 1( P。 5. （华二）关于（华二）关于yx、的方程组的方程组 1xy yx yxyx 有有 组解组

5、解 解：由得：显然解：由得：显然0 x，0 y，1 2 xy， 2 yx， 代入得：代入得： yxyx yy )( 2 ， yxxy yy 22 1 y或或yxxy 22，xy3 ，代入，代入1 2 xy得得19 3 x， 3 3 9 1 3 3 x 方程组的解为方程组的解为 1 1 y x 或或 3 3 3 3 3 y x 。有。有2组解。组解。 6. （上中）设（上中）设 2121 qqpp、为实数，且为实数，且)(2 2121 qqpp ，若方程甲：，若方程甲：0 11 2 qxpx，乙：，乙： 0 22 2 qxpx，则（，则（ ） .A甲必要实根，乙也必有实根甲必要实根，乙也必有实根

6、 .B甲没有实根，乙也没有实根甲没有实根，乙也没有实根 .C甲、乙至少有一个有实根甲、乙至少有一个有实根 .D甲、乙是否总有一个有实根不能确定甲、乙是否总有一个有实根不能确定 解：一方面，假设甲、乙两个方程都没有实根；解：一方面，假设甲、乙两个方程都没有实根； 则则 04 04 2 2 2 1 2 1 qp qp ； 两式相加，得两式相加，得0)(4 21 2 2 2 1 qqpp； )(2 2121 qqpp ； 02 21 2 2 2 1 pppp； 即即0)( 2 21 pp； 这与这与0)( 2 21 pp矛盾；矛盾； 故原假设不成立，即甲、乙两个方程中至少有一个有实根；故原假设不成立

7、，即甲、乙两个方程中至少有一个有实根； 另一方面，令另一方面，令0 21 pp，1 1 q，1 2 q； 则甲方程没有实根，乙方程有实根；故选则甲方程没有实根，乙方程有实根；故选C。 7. （复附）如图，在正五边形（复附）如图，在正五边形ABCDE中，中，1 AG，求，求 DCJHFG。 I F H G J B CD E A 解：正五边形的每个内角都为解：正五边形的每个内角都为 108 36CABBCAEDAEAD 36EBDDAC， 72AGFAFG AFG为黄金三角形，为黄金三角形， AGFG 2 15 同理：同理：AHJH 2 15 ，ACDC 2 15 . . 易知易知1 HCBHBG

8、AG， 2 15 2 15 BGGH )( 2 15 ACAHAGDCJHFG )1 2 15 1 2 15 11( 2 15 15 。 8. （华二）某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：（华二）某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图： 单位（元）单位（元） 甲甲 乙乙 进价进价 4000 2500 售价售价 4300 3000 进货用了资金进货用了资金5 .15万元，获得毛利万元，获得毛利1 . 2万元。万元。 （1 1） 问该商场购进两种手机各多少台？问该商场购进两种手机各多少台？ （2 2） 若若现在进货资金不超过现在进货资金不超过

9、16万，且在（万，且在（1 1）的基础上购进乙种手机增加的数量是购进甲种手）的基础上购进乙种手机增加的数量是购进甲种手 机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？ 解：（解：（1 1）设购进甲、乙两种手机各）设购进甲、乙两种手机各ba、台。台。 则则 21000500300 15500025004000 ba ba ，解得，解得20 a，30 b。 （2 2）设甲种手机减少了）设甲种手机减少了x台，毛利为台，毛利为y， )230(500)20(300 160000)230(2500)20(4000 xxy xx 210007

10、00 5 xy x 当当5 x时，时，24500 max y。 答：略。答：略。 9. （建平）如图，已知直线（建平）如图，已知直线PA交交O于于BA、两点，两点，AE是是O的直径，点的直径，点C为为O上一点，上一点， 且且AC平分平分PAE ，过点，过点C作作PACD ，垂足为，垂足为D. （1）CD是是O的切的切线吗？说明理由。线吗？说明理由。 （2）若）若6 DADC，O的直径为的直径为10，求，求AB的长度。的长度。 P P G G D D C C E EB B O O A A P P D D C C E EB B O O A A 解： （解： （1）CD是是O的切线。理由如下：的切线

11、。理由如下： 连结连结OC，OCOA ，OACOCA AC平分平分PAE CADOAC CADOCA OCAD/ PACD CDOC CD是是O的切线。的切线。 （2）连结）连结CE 易知易知DACCAE AE AC AC DA AEADAC 2 设设aAD ，则，则aCD 6， 222 )6(aaAC aaa10)6( 22 解得：解得：2 a或或9 a（6 舍）舍） 4 CD 4 OG 5 OA 3 AG 62 AGAB. . 10. （上中）是否存在（上中）是否存在m个不全相等的正数个不全相等的正数 m aaa、 21 （7 m） ，使得它们能全部被摆放在） ，使得它们能全部被摆放在 一

12、个圆周上，每个数都等于其相邻两数的一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的乘积？若存在，求出所有这样的m的值；若不存在，说的值；若不存在，说 明理由。明理由。 解：设解：设xa 1 ，ya 2 ，则，则 x y a 3 ， x a 1 4 ， y a 1 5 ， y x a 6 ，xa 7 ，ya 8 ，；，； 显然这是一个最小正周期显然这是一个最小正周期为为6的周期数列，即的周期数列，即 nln aa 6 （ln、为正整数） ；为正整数） ； 若若xam ，由，由 12 11 aaa aaa m mm ，得，得 xyx xx y x ，解得，解得 1 1 y x ，这

13、与，这与 m aaa、 21 不全相等不全相等 矛盾；矛盾； 若若yam ，由，由 12 11 aaa aaa m mm ，得，得 xyy yxx ，解得，解得 1 1 y x ，这与，这与 m aaa、 21 不全相等不全相等 矛盾；矛盾； 若若 x y am ，由，由 12 11 aaa aaa m mm ，得，得 xy x y x y xy ，解得，解得 1 1 y x ，这与，这与 m aaa、 21 不全相等不全相等 矛盾；矛盾； 若若 x am 1 ，由，由 12 11 aaa aaa m mm ，得，得 xy x x x x y 1 1 ，解得，解得 1 1 y x ，这与，这与

14、 m aaa、 21 不全相等不全相等 矛盾；矛盾； 若若 y am 1 ，由，由 12 11 aaa aaa m mm ，得，得 xy y y x x 1 11 ，解得，解得 1 1 y x ，这与，这与 m aaa、 21 不全相等不全相等 矛盾；矛盾； 若若 y x am ，由，由 12 11 aaa aaa m mm ，得，得 xy y x y x x y 1 ，解得，解得 Ry Rx ； 综上所述，当且仅当综上所述，当且仅当 y x am 时，存在时，存在m个不全相等的正数个不全相等的正数 m aaa、 21 （7 m） ，使得它们能） ，使得它们能 全部被摆放在一个圆周上，每个数都

15、等于其相邻两数的乘积；全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积； 即存在这样的即存在这样的km6 （2 k，k为正整数） 。为正整数） 。 【备用】【备用】 1. 如 果如 果nm、都 是 质 数 ， 方 程都 是 质 数 ， 方 程0 2 nmxx有 正 整 数 根有 正 整 数 根k和和t， 则， 则 ktmn tknm 。 解：由韦达定理得：解：由韦达定理得： nkt mtk ， nm、中至少有一个为偶数，中至少有一个为偶数， nm、都是质数都是质数 nm、中至少有一个中至少有一个2 显然，当显然，当2 m时，不符合题意，时，不符合题意， 于是于是2 n，2 k，1 t（或（

16、或1 k，2 t） ，） ，3 m 202198 ktmn tknm。 2. 设 三 个 实 数设 三 个 实 数zyx,满 足 条 件 ：满 足 条 件 ：10 x、10 y、10 z。 求 证 ：。 求 证 ： 1)1()1()1( xzzyyx。 证明：设证明：设)1()1()1(1)(xzzyyxxf )1()1(zyyzxzy 10 y 10 z 0)1)(1(1)0( zyzyyzf 0)1()1()1( yzzyyzzyf )(xf的图像是一条直线的图像是一条直线 当当10 x时，时，0)( xf恒成立，即原不等式成立恒成立，即原不等式成立 法二：法二：10 x、10 y、10 z 0)1)(1)(1( zyx，且，且0 x y z 01 zyxyzxzxyxyz 11 x y zyzxzxyzyx 1)1()1()1( xzzyyx