2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第八章第五讲　椭圆 （含解析）.doc

1、第五讲第五讲 椭圆椭圆 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F2的_距离的和等于常数(大于|F1F2|)_的点的轨迹叫做椭圆，这 两个定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_ 注：若集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a、c 为常数， 则有如下结论： (1)若 ac，则集合 P 为_椭圆_； (2)若 ac，则集合 P 为_线段 F1F2_； (3)若 ac，则集合 P 为_空集_ 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0

2、) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为_2a_； 短轴 B1B2的长为_2b_ 焦距 |F1F2|_2c_ 离心率 e_c a_(0,1) a、b、c 的关系 _c2a2b2_ 归 纳 拓 展 1ac 与 ac 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值 2过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|2b 2 a ，称为通径 3若过焦点 F1的弦为 AB，则ABF2的周长为 4a 4e1b

3、 2 a2 5椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中 x2项的分母较大，椭圆的焦点在 y 轴上标准方程 中 y2项的分母较大 6AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 (1)弦长 l 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|； (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0 7若 M、N 为椭圆x 2 a2 y2 b21 长轴端点，P 是椭圆上不与 M、N 重合的点，则 KPM KPN b 2 a2 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1

4、，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( ) (3)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆( ) (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P42T4)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m 等于( C ) A4 B8 C4 或 8 D12 解析 当焦点在 x 轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4 当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8 m4 或 8 3 (必修 2P68A组 T3)过点 A(3，

5、 2)且与椭圆x 2 9 y2 41 有相同焦点的椭圆的方程为( A ) Ax 2 15 y2 101 Bx 2 25 y2 201 Cx 2 10 y2 151 Dx 2 20 y2 151 题组三 走向高考 4(2018 课标全国)已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2， 且PF2F160 ，则 C 的离心率为( D ) A1 3 2 B2 3 C 31 2 D 31 解析 设|PF2|x，则|PF1| 3x，|F1F2|2x，故 2a|PF1|PF2|(1 3)x,2c|F1F2| 2x，于是离心率 ec a 2c 2a 2x 1 3x 31 5(

6、2019 课标，10)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A， B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( B ) Ax 2 2y 21 Bx 2 3 y2 21 Cx 2 4 y2 31 Dx 2 5 y2 41 解析 设|F2B|x(x0)， 则|AF2|2x，|AB|3x， |BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x， 由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x， 所以|AF1|2x 在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B| |F1F2|cosBF2F1，即 9

7、x2x2 224x cosBF2F1， 在AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2| |F1F2|cosAF2F1，即 4x2 4x2228x cosBF2F1， 由得 x 3 2 ，所以 2a4x2 3，a 3， 所以 b2a2c22 所以椭圆的方程为x 2 3 y2 21故选 B 考点突破 互动探究 考点一 椭圆的定义及应用自主练透 例 1 (1)(2021 泉州模拟)已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果 M 是线段 F1P 的中点，那么动点 M 的轨迹是( B ) A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 (2)已知 F 是椭圆 5

8、x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点则|PA| |PF|的最大值和最小值分别为_6 2，6 2_ (3)已知 F1， F2是椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且F1PF2 60 若PF1F2的面积为 3 3，则 b_3_ 解析 (1)如图所示， 由题知|PF1|PF2|2a， 设椭圆方程： x2 a2 y2 b21(其中 ab0) 连 接 MO，由三角形的中位线可得：|F1M|MO|a(a|F1O|)，则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点 的椭圆 (2)如下图所示，设椭圆右焦点为 F1，则|PF|PF1|6

9、|PA|PF|PA|PF1|6 由椭圆方程x 2 9 y2 51 知 c 952， F1(2,0)，|AF1| 2 利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P、A、F1共线时等号成立) |PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2 故|PA|PF|的最大值为 6 2，最小值为 6 2 (3)|PF1|PF2|2a，又F1PF260 ， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2， 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2， 所以|PF1|PF2|4 3b 2， 又因为 SPF1F21 2|PF1|PF

10、2|sin 60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3，所以 b3故填 3 引申本例(2)中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF|PA|的最大值为_4_，|PF|PA|的 最大值为_8_ 解析 设椭圆的右焦点为F1， 则|PF1|PA|AF1|2(P在线段AF1上时取等号)， |PF| |PA|6(|PF1|PA|)4，|PA|PF1|AF1|2，(当 P 在 AF1延长线上时取等号)，|PF| |PA|6|PA|PF1|8 名师点拨 (1)椭圆定义的应用范围： 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆 解决与焦点有关的距离问题 (2)焦点三角形的应用： 椭圆上一点

11、P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其 周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等 变式训练 1 (1)(2021 大庆模拟)已知点 M( 3，0)，椭圆x 2 4y 21 与直线 yk(x 3)交于点 A、B，则 ABM 的周长为_8_ (2)(2019 课标，15)设 F1，F2为椭圆 C：x 2 36 y2 201 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第 一象限若MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_(3， 15)_ (3)(2021 河北衡水调研)设 F1、F2分别是椭圆x 2 25 y2 161 的左、右焦点，P 为椭圆上

12、任意 一点，点 M 的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_5_ 解析 (1)直线 yk(x 3)过定点 N( 3，0) 而 M、N 恰为椭圆x 2 4y 21 的两个焦点， 由椭圆定义知ABM 的周长为 4a428 (2)因为 F1， F2分别是椭圆 C 的左， 右焦点， 由 M 点在第一象限， MF1F2是等腰三角形， 知|F1M|F1F2|，又由椭圆方程x 2 36 y2 201，知|F1F2|8，|F1M|F2M|2612， 所以|F1M|F1F2|8，所以|F2M|4 设 M(x0，y0) (x00，y00)， 则 x042y2064， x042y2016， 解得 x03，

13、y0 15，即 M(3， 15) (3)由题意可知 F2(3,0)， 由椭圆定义可知|PF1|2a|PF2| |PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a， 当且仅当 M，P，F2三点共线时取得等号， 又|MF2|6324025,2a10， |PM|PF2|5105，即|PM|PF1|的最小值为5 考点二 椭圆的标准方程师生共研 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3； (3)经过点 P(2 3，1)，Q( 3，2)两点； (4)与椭圆

14、x 2 4 y2 31 有相同离心率，且经过点(2， 3) 解析 (1)若焦点在 x 轴上，设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 椭圆过点 A(3,0)， 9 a21，a32a32b， b1方程为x 2 9y 21 若焦点在 y 轴上，设方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 椭圆过点 A(3,0)， 9 b21，b3 又 2a32b，a9方程为y 2 81 x2 91 综上所述，椭圆方程为x 2 9y 21 或y 2 81 x2 91 (2)由已知，有 a2c， ac 3， 解得 a2 3， c 3. 从而 b2a2c29 所求椭圆方程为x 2 12 y2 91 或 x2 9 y

15、2 121 (3)设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)， 点 P(2 3，1)，Q( 3，2)在椭圆上， 12mn1， 3m4n1， 解得 m 1 15，n 1 5 故椭圆方程为x 2 15 y2 51 (4)若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x 2 4 y2 3t(t0)，将点(2， 3)代入，得 t 22 4 32 3 2 故所求方程为x 2 8 y2 61 若焦点在 y 轴上，设方程为y 2 4 x2 3(0)代入点(2， 3)，得 25 12，所求方程为 y2 25 3 x 2 25 4 1 综上可知椭圆方程为x 2 8 y2 61 或 y2 25 3 x 2 25 4

16、1 名师点拨 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常 数 2a|F1F2|这一条件 (2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： 作判断：根据条件判断焦点的位置； 设方程： 焦点不确定时， 要注意分类讨论， 或设方程为 mx2ny21(m0， n0， m0)； 找关系：根据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组； 求解，得方程 (3)椭圆的标准方程的两个应用 方程x 2 a2 y2 b21(ab0)与 x2 a2 y2 b2(0)有相同的离心率 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)共焦点的椭圆系方程为 x2 a2k y2 b2k1(

17、ab0， kb 20)， 恰当运用椭圆系方程，可使运算简便 变式训练 2 (1)“2m6”是“方程 x2 m2 y2 6m1 表示椭圆”的( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2021 广东深圳二模)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 31(a0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，C 上 有且只有一个点 P 满足|OF|FP|，则 C 的方程为( D ) Ax 2 12 y2 31 Bx 2 8 y2 31 Cx 2 6 y2 31 Dx 2 4 y2 31 解析 (1) x2 m2 y2 6m1 表示椭圆 m20 6m0 m26m 2m6 且

18、 m4， “2m6”是方程“ x2 m2 y2 6m1 表示椭圆”的必要不充分条件，故选 B (2)根据对称性知 P 在 x 轴上，|OF|FP|， 故 a2c，a23c2，解得 a2，c1， 故椭圆方程为：x 2 4 y2 31故选：D 考点三,椭圆的几何性质师生共研 例 3 (1)(2017 全国)椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，点 P 在 C 上，F2P2， F1F2P2 3 ，则 C 的长轴长为( D ) A2 B2 3 C2 3 D22 3 (2)(2021 河北省衡水中学调研)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 若椭圆中心到 l 的 距离为其短轴长的1 4

19、，则该椭圆的离心率为( B ) A1 3 B1 2 C2 3 D3 4 (3)(2021 广东省期末联考)设 F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，若在直 线 xa 2 c 上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是( D ) A 0， 2 2 B 0， 3 3 C 2 2 ，1 D 3 3 ，1 解析 (1)椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，则 c1， |PF2|2，|PF1|2a|PF2|2a2， 由余弦定理可得 |PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2| |PF2| cos 2 3 ， 即(2a2)

20、244222 1 2 ， 解得 a1 3，a1 3(舍去)， 2a22 3，故选 D (2)不妨设直线 l： x c y b1，即 bxcybc0椭圆中心到 l 的距离 |bc| b2c2 2b 4 ec a 1 2，故选 B (3)如图 F2HPF1，|F1F2|PF2|，由题意可知a 2 c c2c，e2c 2 a2 1 3，即 e 3 3 ，又 0 e1， 3 3 e1故选 D 名师点拨 椭圆离心率的求解方法 求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二 是由已知条件得出关于 a， c 的二元齐次方程， 然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；

21、 三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由 直线与椭圆方程联立所得方程判别式 的符号求解 求椭圆离心率的取值范围的方法 方法 解读 适合题型 几何法 利用椭圆的几何性质，如|x|a，|y|b,0e1， 建立不等关系， 或者根据几何图形的临界情况建立 不等关系 题设条件有明显的几何关系 直接法 根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有 a， b，c 的不等关系式 题设条件直接有不等关系 变式训练 3 (1)(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线 段 A

22、1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( A ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 (2)(2021 内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右顶点分别为 A1， A2，点 P 是椭圆上的动点，若A1PA2的最大可以取到 120 ，则椭圆 C 的离心率为( D ) A1 2 B 2 2 C 3 2 D 6 3 (3)已知 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使F1PF2 90 ，则椭圆的离心率的取值范围是_ 2 2 ，1 _ 解析 (1)由题意知以 A1A2为直径的

23、圆的圆心为(0,0)，半径为 a 又直线 bxay2ab0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2ab a2b2a，解得 a 3b， b a 1 3， ec a a2b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 故选 A (2)当 P 为短轴端点时A1PA2最大，由题意可知a btan 60 3， b2 a2 1 3，e 1b 2 a2 6 3 ，故选 D (3)由题意可知当 P 为椭圆短轴端点时OPF1OPF245 ，即 cb， c2a2c2，c 2 a2 1 2，即 e 2 2 ， 又 0e1， 2 2 e1 考点四,直线与椭圆多维探究 角度 1 直线与椭圆的位置关系 例 4 若直线 y

24、kx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是( D ) Am1 Bm0 C0m5 且 m1 Dm1 且 m5 解析 解法一：由于直线 ykx1 恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则 01 m1 且 m5， 故 m1 且 m5故选 D 解法二：由 ykx1， mx25y25m0， 消去 y 整理得(5k2m)x210kx5(1m)0 由题意知 100k220(1m)(5k2m)0 对一切 kR 恒成立， 即 5mk2m2m0 对一切 kR 恒成立， m0 1m0 ，即 m1， 又 m5，m1 且 m5故选 D 角度 2 中点弦问题 例 5 (1)

25、(2021 湖北省宜昌市调研)过点 P(3,1)且倾斜角为3 4 的直线与椭圆x 2 a2 y2 b2 1(ab0)相交于 A，B 两点，若AP PB，则该椭圆的离心率为( C ) A1 2 B 2 2 C 6 3 D 3 3 (2)已知椭圆x 2 2y 21，点 P 1 2， 1 2 ，则以 P 为中点的椭圆的弦所在直线的方程为_2x 4y30_ 解析 (1)由题意可知 P 为 AB 的中点，且 kAB1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 2 1 a2 y21 b2 1，x 2 2 a2 y22 b21，两式相减得 x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 ，kABy1y2

26、 x1x2 b2x1x2 a2y1y2 3b 2 a2 1，即b 2 a2 1 3，e 1b 2 a2 6 3 ，故选 C (2)设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 M(x0，y0)，则有x 2 1 2y 2 11，x 2 2 2y 2 21 两式作差，得x2x1x2x1 2 (y2y1)(y2y1)0 x1x22x0，y1y22y0，y2y1 x2x1kAB， 代入后求得 kAB x0 2y0 1 2， 其方程为 y1 2 1 2 x1 2 ，即 2x4y30 角度 3 弦长问题 例6 已知椭圆E： x2 a2 y2 b21(ab0)经过点P 3，1 2 ， 椭圆E的

27、一个焦点为( 3， 0) (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 l 过点 M(0， 2)且与椭圆 E 交于 A，B 两点，求|AB|的最大值 解析 (1)依题意，设椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1( 3，0)，F2( 3，0) 由椭圆 E 经过点 P 3，1 2 ，得|PF1|PF2|42a， a2，c 3，b2a2c21 椭圆 E 的方程为x 2 4y 21 (2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx 2，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 ykx 2， x2 4y 21 得(14k2)x28 2kx40 由 0 得(8 2k)24(14k2)40，4k21 由

28、x1x2 8 2k 14k2，x1x2 4 14k2 得|AB|1k2 x1x224x1x2 26 1 14k2 2 1 14k21 设 t 1 14k2，则 0t 1 2， |AB|26t2t126 t 1 12 225 24 5 6 6 ，当且仅当 t 1 12时等号成立 当直线 l 的斜率不存在时，|AB|25 6 6 综上，|AB|的最大值为5 6 6 名师点拨 直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)直线与椭圆位置关系的判断方法 联立方程，借助一元二次方程的判别式 来判断；借助几何性质来判断 (2)求椭圆方程或有关几何性质可依据条件寻找满足条件的关于 a，b，c 的等式，解方

29、程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质 (3)关于弦长问题一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解设直线与椭圆的交点坐 标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2x1x224x1x2 1 1 k2 y1y224y1y2(其 中 k 为直线斜率) 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判 别式 (4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交 点 A，B，一般地，首先设出 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出 x1x2， y1y2，x1x2，y1y2，从而建立中点坐标和斜率的关系注

30、意答题时不要忽视对判别式的讨 论 变式训练 4 (1)(角度 1)直线 ykxk1 与椭圆x 2 9 y2 41 的位置关系是_相交_ (2)(角度 2)(2021 广东珠海期末)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，离心率 2 2 ， 过点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 中点为(1,1)，则直线 l 的斜率为( D ) A2 B2 C1 2 D1 2 (3)(角度 3)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4y 21 相交于 A， B 两点， 则|AB|的最大值为( C ) A2 B4 5 5 C4 10 5 D8 10 5 解析 (1)由于直线 y

31、kxk1k(x1)1 过定点(1,1)， 而(1,1)在椭圆内， 故直线 与椭圆必相交 (2)因为c a 2 2 ，4c22a2，4(a2b2)2a2，a22b2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1 x22，y1y22， b2x21a2y21a2b2 b2x22a2y22a2b2 ，相减得 b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0，所 以 2b2(x1x2)2a2(y1y2)0，所以 2b24b2y1y2 x1x20，所以 12k0，k 1 2，选 D (3)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt， 由 x24y2

32、4， yxt 消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x28 5t，x1x2 4t21 5 |AB|1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 2 8 5t 244t 21 5 4 2 5 5t2， 当 t0 时，|AB|max4 10 5 故选 C 名师讲坛 素养提升 利用换元法求解与椭圆相关的最值问题 例 7 如图， 焦点在 x 轴上的椭圆x 2 4 y2 b21 的离心率 e 1 2， F， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，则PF PA的最大值为_4_ 解析 e2c 2 a21 b2 a21 b2 4 1 4，b 23， 椭圆方程为x 2 4 y

33、2 31，且 F(1,0)，A(2,0)，设 P(2sin ， 3cos )，则 PF PA(12sin ， 3cos ) (22sin ， 3cos )sin22sin 1(sin 1)24 当且仅当 sin 1 时取等号， 故PF PA的最大值为 4 另解：设 P(x，y)，由上述解法知PF PA(1x，y) (2x，y)x2y2x21 4(x 2)2(2x2)，显然当 x2 时，PF PA最大且最大值为 4 名师点拨 遇椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元 法求解，即令 xasin ，ybcos ，将其化为三角最值问题 变式训练 5 椭圆x 2 16 y2 41 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是( D ) A3 B 11 C2 2 D 10 解析 设椭圆x 2 16 y2 41 上的点 P(4cos ，2sin )，则点 P 到直线 x2y 20 的距离 为 d|4cos 4sin 2| 5 |4 2sin 4 2| 5 ，dmax|4 2 2| 5 10