2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第四章第三讲　平面向量的数量积 （含解析）.doc

1、第三讲第三讲 平面向量的数量积平面向量的数量积 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 向量的夹角 两个非零向量 a 与 b，过 O 点作OA a，OB b，则_AOB_叫做向量 a 与 b 的夹角； 范围是_0，_. a 与 b 的夹角为_ 2_时，则 a 与 b 垂直，记作 ab. 知识点二 平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量 积(或内积)，记作 a b，即 a b_|a|b|cos _，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a 0. (2)几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度|a|

2、与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 为向量 a，b 的夹角 数量积：a b|a|b|cos _x1x2y1y2_. 模：|a| a a_ x21y21_. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|AB | x1x22y1y22. 夹角：cos _ a b |a|b|_ x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 已知两非零向量 a 与 b，aba b0_x1x2y1y20_；aba b |a|b|.(或|a b| |a| |b|) |a b|a|b

3、|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2| x21y21 x22y22. (2)平面向量数量积的运算律 a bb a(交换律) a b(a b)a (b)(结合律) (ab) ca cb c(分配律) 归 纳 拓 展 1两个向量的数量积是一个实数0 a0 而 0 a0. 2数量积不满足结合律(a b) ca (b c) 3a b 中的“ ”不能省略a aa2|a|2. 4 两向量a与b的夹角为锐角a b0且a与b不共线； 两向量a与b的夹角为钝角a b0，则 a 与 b 的夹角为锐角；a b0，则 a 与 b 的夹角为钝角( ) (4)两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算

4、的运算结果是向量( ) (5)在等边三角形 ABC 中，向量AB 与BC的夹角为 60 .( ) (6)若 a b0，则 a0 或 b0.( ) (7)(a b) ca (b c)( ) (8)若 a ba c(a0)，则 bc.( ) 题组二 走进教材 2(必修 4P107T2 改编)向量 a(2，1)，b(1,2)，则(2ab) a( A ) A6 B5 C1 D6 解析 由题意知 2ab(3,0)，(2ab) a(3,0) (2，1)6，故选 A 3 (必修4P106T5改编)已知向量a与b的夹角为 3， |a| 2， 则a在b方向上的投影为( C ) A 3 B 2 C 2 2 D 3

5、 2 解析 a 在 b 方向上的投影为|a| cos a，b 2cos 3 2 2 .选 C 4(必修 4P108T4 改编)在圆 O 中，长度为 2的弦 AB 不经过圆心，则AO AB 的值为_1_. 解析 设向量AO ，AB 的夹角为 ，则AO AB |AO |AB | cos |AO |cos |AB |1 2|AB | |AB| 1 2( 2) 21. 题组三 走向高考 5(2020 课标，14,5 分)设向量 a(1，1)，b(m1,2m4)，若 ab，则 m_5_. 解析 由 ab 得 a b0，即 m1(2m4)0，解得 m5. 6(2020 课标，14,5 分)设 a，b 为单

6、位向量，且|ab|1，则|ab|_ 3_. 解析 由|ab|1，得|ab|21，即 a2b22a b1，而|a|b|1，故 a b1 2，|a b| |ab|2 a2b22a b 111 3. 7(2019 全国卷，5 分)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹 角为( B ) A 6 B 3 C2 3 D5 6 解析 解法一：由题意得，(ab) b0a b|b|2， |a|b| cos a，b|b|2， |a|2|b|， 2|b|2cos a，b|b|2cos a，b1 2， a，b 3，故选 B 解法二：如图所示，设OA a，OB b， 则BA ab，

7、B 2，|OA |2|OB |， AOB 3，即a，b 3. 考点突破 互动探究 考点一 平面向量数量积的运算师生共研 例1 (1)(2019 全国卷， 5分)已知AB (2,3)， AC(3， t)， |BC|1， 则AB BC( C ) A3 B2 C2 D3 (2)(2020 北京，13,5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP 1 2(AB AC)，则|PD |_ 5_；PB PD _1_. 解析 (1)因为BC ACAB(1，t3)，所以|BC| 1t321，解得 t3，所以BC (1,0)，所以AB BC21302，故选 C (2)如图， 在正方形 ABCD 中

8、， 由AP 1 2(AB AC)得点 P 为 BC 的中点， |PD | 5， PB PD PB (PCCD )PB PCPB CD PB PC11cos 180 1. 一题多解 AP 1 2(AB AC)，P 为 BC 的中点以 A 为原点，建立如图所示的平面 直角坐标系，由题意知 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，|PD | 202122 5，PB (0，1)，PD (2,1)，PB PD (0，1) (2,1)1. 名师点拨 向量数量积的四种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，即 a b|a|b|cos . (2)当已知向量的坐

9、标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2 y1y2. (3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积 的向量求解 (4)坐标法： 结合图形特征适当建立坐标系， 求出向量的坐标， 进而求其数量积(如本例(2) 变式训练 1 (1)(2021 江西名校高三质检)已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ，且 a(2，6)，|b| 10， 则 a b_10_. (2)在菱形 ABCD 中，对角线 AC4，E 为 CD 的中点，则AE AC( C ) A8 B10 C12 D14 解析 (1)因为 a(2，6)，所以|a|226

10、22 10，又|b| 10，向量 a 与 b 的夹角为 60 ，所以 a b|a|b|cos 60 2 10 101 210. (2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线 ACBD故用AC 、BD 表示AE ，由题意知AE AC CEAC1 2CD AC 1 4(BD AC )3 4AC 1 4BD ， AE AC 3 4AC 1 4BD AC 3 4|AC |21 4BD AC 3 4|AC| 212，故选 C 解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，C(2,0)，不妨设 D(0,2a)，则 E(1，a) AE (3，a)，AC(4,0) AE AC(3，a) (4,0)12

11、，故选 C 考点二 向量的模、夹角多维探究 角度 1 向量的模 例 2 (1)(2021 四川双流中学月考)若平面向量 a、b 的夹角为 60 ，且 a(1， 3)， |b|3，则|2ab|的值为( C ) A13 B 37 C 13 D1 (2)(2021 黄冈调研)已知平面向量 m，n 的夹角为 6，且|m| 3，|n|2，在ABC 中，AB 2m2n，AC 2m6n，D 为 BC 的中点，则|AD |_2_. 分析 (1)求出|a|，再由|2ab| 2ab2求解； 解析 (1)a(1， 3)，|a|2. a b|a|b|cos 60 3， |2ab| 2ab2 4a24a bb2 13.

12、故选 C (2)由题意知 m n 32cos 63. ABC 中，D 为 BC 的中点， AD 1 2(AB AC)1 2(2m2n2m6n)2m2n. |AD |2m2n|2 mn2 2 m22m nn22 32342. 名师点拨 平面向量的模的解题方法 (1)若向量 a 是以坐标(x，y)形式出现的，求向量 a 的模可直接利用|a| x2y2. (2)若向量 a，b 是非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2a2a a，或|a b|2 (a b)2a2 2a bb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解即“模的问题平方 求解” 角度 2 向量的夹角 例 3 (1)(20

13、21 新高考八省联考)已知单位向量 a， b 满足 a b0， 若向量 c 7a 2 b，则 sin( B ) A 7 3 B 2 3 C 7 9 D 2 9 (2)(2020 全国理，6)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6，则 cosa，ab ( D ) A31 35 B19 35 C17 35 D19 35 分析 (1)利用夹角公式求解 解析 (1)设 a(1,0)，b(0,1)，则 c( 7， 2)， cos a c |a|c| 7 13 7 3 ， sin 2 3 ，故选 B (2)|a|5，|b|6，a b6，a (ab)|a|2a b19.又|ab|a22a bb2

14、 2512367， cosa，aba ab |a|ab| 19 57 19 35.故选 D 名师点拨 求两向量夹角的方法及注意事项 (1)一般是利用夹角公式：cos a b |a|b|. (2)注意：数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的 夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 (3)a 在 b 方向上的投影等于|a|cos a b |b|；b 在 a 方向上的投影等于|b|cos a b |a|. 角度 3 平面向量的垂直 例 4 (1)(2020 全国，5)已知单位向量 a，b 的夹角为 60 ，则在下列向量中，与 b 垂直的是

15、( D ) Aa2b B2ab Ca2b D2ab (2)(2021 安徽宣城调研)已知在ABC 中， A120 ， 且 AB3， AC4， 若AP ABAC， 且AP BC，则实数 的值为( A ) A22 15 B10 3 C6 D12 7 解析 (1)本题考查向量的数量积由题意得 a b|a|b|cos 60 1 2，b 2|b|21.对于 A， (a2b) ba b2b21 22 5 20，故 A 错；对于 B，(2ab) b2a bb 21120，故 B 错；对于 C，(a2b) ba b2b21 22 3 20，故 C 错；对于 D，(2ab) b2a bb 2 110，所以(2a

16、b)b，故选 D (2)因为AP BC，所以AP BC(ABAC) (ACAB)AB2AC2(1)AC AB0， 因此3242(1)34cos 120 0， 所以 22 15.故选 A 名师点拨 平面向量垂直问题的解题思路 解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件 a b0 求解 变式训练 2 (1)(角度 3)(2020 全国，13)已知单位向量 a，b 的夹角为 45 ，kab 与 a 垂直，则 k _ 2 2 _. (2)(角度 1)(2021 山西康杰中学五校期中)已知向量 a、b 满足|b|2|a|2，a 与 b 的夹角为 120 ，则|a2b|( B ) A 13 B 21 C1

17、3 D21 (3)(角度 2)(2021 江西七校联考)已知向量 a(1， 3)，b(3，m)，且 b 在 a 上的投影为 3，则向量 a 与 b 的夹角为_2 3 _. 解析 (1)本题考查平面向量的数量积运算由题意知|a|b|1，所以 a b|a|b|cos 45 2 2 .因为 kab 与 a 垂直，所以(kab) a0，即 ka2a b0，即 k 2 2 0，得 k 2 2 . (2)|a|1，|b|2，a b1， |a2b|a2b2 |a|24a b4|b|2 21.故选 B (3)由题意可知a b |a|3， 3 3m 2 3. m3 3，|b|323 326，记 a 与 b 的夹

18、角为 ，则 cos a b |a|b| 3 |b| 1 2， 又 0，2 3 . 名师讲坛 素养提升 有关数量积的最值(范围)问题 例 5 (1)(2017 全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一 点，则PA (PBPC)的最小值是( B ) A2 B3 2 C4 3 D1 思维导引 思路一： 思路二： 解析 解法一：结合题意画出图形，如图所示，设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，连 接 AD， PE， PD， 则有PB PC2PD ， 则PA (PBPC)2PA PD 2(PE EA) (PEEA)2(PE 2EA2) 而EA 2 3 2 23 4，

19、 当点 P 与点 E 重合时，PE 2 有最小值 0，故此时PA (PBPC)取得最小值，最小值为2EA 223 4 3 2. 解法二：如下图所示，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以边 BC 的垂直平 分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则PA (x， 3y)，PB (1x，y)，PC(1x，y)，所以PA (PBPC)(x， 3y) (2x， 2y)2x22(y 3 2 )23 2，当 x0，y 3 2 时， PA (PBPC)取得最小值，最小值为3 2. 名师点拨 平面向量中有关最值(或取值范围)问题的

20、两种求解思路 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范 围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、 不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 变式训练 3 (2020 全国新高考，7)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB的取 值范围是( A ) A(2,6) B(6,2) C(2,4) D(4,6) 解析 本题考查平面向量数量积的取值范围如图，以正六边形的中心为坐标原点 O， 线段 FC 所在直线为 x 轴，线段 FC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 F(2,0)， C(2,0)，A(1， 3)，B(1， 3)设 P(x，y)，x(2,2)，则AP AB(x1，y 3) (2,0) 2x2(2,6)故选 A