2020-2021上海市杨浦区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc

1、 - - - 1 - A B C D A1 B1 C1 D1 杨浦区杨浦区 20202020- -20212021 学年度第二学期高三年级模拟质量调研学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷数学学科试卷 2021.4 考生注意：考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上并将核对后的条形码贴在指定位置上 2本试卷共有本试卷共有 21 道题，满分道题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 一一填空题（本大题满分填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6

2、每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分。分。考生应在答题纸相应编考生应在答题纸相应编 号的空格内直接填写结果号的空格内直接填写结果 1. 已知复数z满足2iz （i为虚数单位） ，则z z_ 2已知函数( )21f xx的反函数为 1( ) fx ，则 1(3) f _ 3在行列式 137 252 124 D 中，元素3的代数余子式的值为_ 4在 8 (2)x的二项展开式中， 6 x项的系数是_ 5已知, x y满足: 10 20 40 x y xy ，则2zxy的最大值为_. 6方程 55 log4111log23 xx 的解为x_ 7已知一组数据,3, 2,6a的中位数为 4，则

3、其总体方差为_ 8已知函数 ( ) |21|f xg xx为奇函数，若( 1)7g ，则(1)g_ 9直线l：(2)210nxyn （ * nN ）被圆C： 22 (1)16xy所截得的弦长为 n d，则 lim n n d _ 10非空集合A中所有元素乘积记为( )T A. 已知集合1,4,57,8M , ，从集合M的所有非空子集中任 选一个子集A，则( )T A为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 11. 函数( )sin()+ 3cos() (0)f xxx ，若有且仅有一个实数m满足： 0 2 m ；xm是 函数图像的对称轴，则的取值范围是 - - - 2 - 12如图，在棱长为 2

4、 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 P是平面 11 ACC A上一动点，且满足 1 0D P CP uuu r uur ，则满足 条件的所有点P所围成的平面区域的面积是_ 二、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，填上正确的答案，选对得号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13若 , Rm n，i是虚数单位,则 “mn”是“()() imnmn为纯虚数 ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分

5、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14已知数列 n a是无穷等比数列，若 12 0aa ，则数列 n a的前n项和 n S （ ） A无最大值，有最小值 B有最大值，有最小值 C有最大值，无最小值 D无最大值，无最小值 15在四边形ABCD中，(3, 3)ABDC uu u ruuu r ，且满足 | ABADAC ABADAC uu u ruuu ruuu r uu u ruuu ruuu r， 则| |AC uuu r （ ） A2 B6 C3 D 2 3 16已知函数( )f x的定义域为D，值域为A， 函数 ( )f x具有下列性质： （1）若 ,xyD ，则 ( ) ( )

6、f x A f y ； （2）若 ,xyD ，则( )( )f xf yA.下列结论正确是 （ ） 函数 ( )f x可能是奇函数； 函数 ( )f x可能是周期函数； 存在xD，使得 2021 ( ) 2020 f x ； 对任意xD，都有 2( ) fxA. A B C D - - - 3 - C1 B1 A1 C B A D O D C BA 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤要的步骤 . 17. （本题满分（本题满分 14

7、14 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分. . 如图，棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABBCAA， 1 BB 底面ABC，ABBC D是棱AB的中点 . （1）求证：直线BC与直线 1 DC为异面直线； （2）求直线 1 DC与平面 1 ABC所成角的大小. 18. （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分. . 已知 2 2 1 x f xax

8、x ，（a为实常数） （1）当1a 时，求不等式 1 ( )f xfx x 的解集； （2）若函数 f x在0,中有零点，求a的取值范围. 19. （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分. . 如图，, ,A B C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，30AB公里，10AC 公里，60BAC， D 是圆形区域外一景点，90DBC，60DCB. （1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位） （2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，

9、需要多少 小时？（精确到小数点后两位） - - - 4 - 2020（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，个小题，第第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分. . 焦点为F的抛物线 2 1: 4Cyx与圆 22 2:( 1)16Cxy交于 , AB两点，其中A点横坐标为 A x，方程 2 22 4 , (1)16, A A yxxx xyxx 的曲线记为，P是曲线上一动点. （1）若P在抛物线上且满足| 3PF ，求直线PF的斜率； （2）( ,0)T m是x轴

10、上一定点. 若动点P在上满足 A xx的范围内运动时，|PTAT恒成立， 求m的 取值范围； （3）Q是曲线上另一动点，且满足FPFQ，若PFQ的面积为 4 ，求线段PQ的长. - - - 5 - 21. 21. （本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，个小题，第第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 已知无穷数列 n a与无穷数列 n b满足下列条件： 0,1,2, n an * N； 1 1 11 ( 1) |, 24 n n nn n b aan b

11、 N. 记数列 n b的前n项积为 n T . （1）若 11234 1 ,0 ,2 ,1abaaa，求 4 T； （2）是否存在 1234 ,a a a a，使得 1234 ,b b b b成等差数列？若存在，请写出一组 1234 ,a a a a;若不存在，请 说明理由； （3）若 1 1b ，求 2021 T的最大值. - - - 6 - 评分参考评分参考 一一填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -1212 每题每题 5 5 分。考生应在答题纸相应分。考生应在答题纸相应 编

12、号的空格内直接填写结果编号的空格内直接填写结果 15 25 3 10 456 5 9 6 2 7 19 2 811 9 2 7 10 24 31 11 1 7 , 3 3 12 3 2 三、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，填上正确的答案，选对得号上，填上正确的答案，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13 B 14 C 15 D 16 B 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 7676 分）本大题共

13、分）本大题共 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤要的步骤 . . 17. （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分. . 【解】 （1）证明：假设直线BC与直线 1 DC共面 （2 分） 点, ,B C D 平面ABC 而过直线BC和直线BC外一点D有且只有一个平面 （2 分） 1 C 平面ABC，矛盾！ （1 分） 假设不成立 故直线BC与直线 1 DC为异面直线 （1

14、 分） （2）如图，以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 （1 分） 则(0,0,0)B，(2,0,0)C， 1(0,2,2) A， (2,0,0)BC uuu r ， 1 (0,2,2)BA uuu r （2 分） 设平面 1 ABC的一个法向量( , , )nu v w r 则 20 220 u vw ，取(0,1, 1)n r （2 分） z y x C1 B1A1 D C B A - - - 7 - O D C BA (0,1,0)D， 1(2,0,2) C， 1 (2, 1,2)DC uuur （1 分） 设直线 1 DC与平面 1 ABC所成角所成角为 则 1 1 32 si

15、n 23 2 DC n DCn uuur r uuurr （1 分） 所以45 （1 分） 18. （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分. . 【解】 （1）当1a 时， 11 ( )1f xfxx xx （2 分） 化简得： 1 0 x x （2 分） 解集为( 1,0) （2 分） （2）依题意 2 2 0 1 x ax x ，0,x有解 （2 分） 2 1 1 1 x a x x x （2 分） 1 x x 的取值范围是2,) （2 分） a的取值范围

16、是 1 ,0) 2 （2 分） 19. （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分. . 【解】 （1） 222 2cosBCABACAB ACCAB （2 分） 220 30102 30 10 cos60 =700 10 7BC （1 分） 1 2sin BC OA BAC （2 分） - - - 8 - 0 110 710 21 2sin603 15.28（公里） （1 分） 答：O、A相距约 15.28 公里 （2）Rt CBD中， 0 tan6010 73

17、10 21BDBC （2 分） ABC中， sinsin ACBC ABCBCA （1 分） 即 0 1010 7 sinsin60ABC 21 sin 14 ABC 21 coscos()sin 214 ABDABCABC （1 分） 222 2cosADABBDAB BDABD （1 分） 2 2 21 3010 212 30 10 21=3900 14 10 39AD （公里） （1 分） 所需时间为 10 3939 1.25 505 小时 （1 分） 答：从A行驶到D约需要 1.25 小时 （1 分） 2121（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，个

18、小题，第第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分. . 【解】 （1）(1,0)F，|13 p PFx，2 p x （2 分） (2, 2 2)P （1 分） 2 2 2 2 2 1 PF k （1 分） （2）由 2 22 4 (1)16 yx xy 得 2 2150 xx 3 A x （2 分） 设( , ),0,3P x y x，则 2 4yx， 22222 |()()4(42 ), 0,3PTxmyxmxxm xmx（2 分） 由题意3x 最大，所以对称轴 3 2 2 xm， 7 2 m

19、（2 分） - - - 9 - （3）(1,0)F是 22 2:( 1)16Cxy的圆心 。设 112212 ( ,) ,(,) , ,0,5P x yQ xyxx （i）若,P Q都位于 22 2:( 1)16Cxy上，则 2 1 484 2 PFQ S，(舍) （2 分） （ii）若,P Q都位于 2 1: 4Cyx上，则 1122 (1,) (1,)FPxyFQxy uuruuu r ， 1212121212 (1) (1)()140FP FQxxy yx xxxx x uur uuu r 121212 111 | |(1)(1)(1)4 222 PFQ SFPFQxxx xxx 将式代

20、入式，得： 2 12 14x x 12 9x x 或1 代入得： 12=9 1 4 9 20 xx 或 12=1 1+4 1 6xx （舍） （2 分） （iii）若,P Q分别位于 2 1: 4Cyx与 22 2:( 1)16Cxy上， 则 11 11 | |(1) 42(1)4 22 PFQ SFPFQxx ，得 1 1x （1 分） |=2FP， 22 |242 5PQ 综上：| | 2 5PQ （1 分） 21. （本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，个小题，第第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，

21、第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . （1） 12 21 1 ( 1) | 242 aa bb ， 2 32 32 1 ( 1) | 244 aa bb ， 3 34 43 3 ( 1) | 2416 aa bb （3 分） 4 3 128 T （1 分） （2）不存在，假设存在，设 1234 ,b b b b公差为d （2 分） 若 1 0b ，则 234 0,0,0bbb，公差 21 0dbb， 43 0dbb矛盾； （2 分） 若 1 0b ，则 234 0,0,0bbb，公差 21 0dbb， 43 0dbb矛盾. （2 分） 假设不成立，故不存在. （3）由题意 1

22、 10b ， 且 4342414 0,0,0,0, kkkk bbbb 设 1 11 | 24 nnn qaa ， 1 1 3 ,1 4 2 4 n q ， 1n n n b q b 得 1nnn bqb ，进一步得 21nnnn bqqb - - - 10 - 显然 1nn qq 的值从大到小依次为 391 1, 4 16 2 L （2 分） （）若 1 1 nn qq ，则 1 1 1 n n q q ，则 1 12 (,)(2,0) (,)(2,0) nn nn a a aa 不可能 （1 分） （）若 1 3 4 nn qq ，则 1 1 3 4 n n q q 或 1 3 4 1 n

23、 n q q ， 则 1 12 (,)(2,0) (,)(2,1) nn nn a a aa 或 1 12 (,)(2,1) (,)(2,0) nn nn a a aa 不可能 （1 分） （）若 1 9 16 nn qq ，则 1 3 4 3 4 n n q q ，则 1 12 (,)(2,1) (,)(2,1) nn nn a a aa 不可能 （1 分） 1 1 2 nn qq ，（当 1 12 (,)(2,0) (,)(0,2) nn nn a a aa 或 1 12 (,)(0,2) (,)(2,0) nn nn a a aa 取得） 从而 2 1 2 nn bb ， 11111 211221 11111 , 22222 nnnnn nn bbbbb . 2021123202113520212462020 | | |Tb b bbb b bbb b bbLLL （1 分） 2101021009 111111 11 222222 LL 1 2 31010 1009 10081 1 2 LL 2 10101020100 11 22 （当 n a：2,0,2,0,2,0,L L取得） （1 分） 又 2021 0T ， 1020100 2021 max 1 2 T （1 分）