2020-2021上海市长宁区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc

1、高三数学试卷 共 4 页 第 1 页 2020-2021 学年第二学年第二学期高三数学教学质量检测试卷学期高三数学教学质量检测试卷 考生注意：考生注意： 1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码 2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上 的答案一律不予评分的答案一律不予评分 3本试卷共有本试卷共有 21 道试题，满分道试题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟

2、一、一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 设集合1,3A ，0,4B ，则AB . 2. 复数z满足 1 1i z （i为虚数单位） ，则z . 3. 已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 . 4. 若向量1,0,1a ，0,1, 1b ，则向量a与b的夹角为_ 5. 若实数xy、满足 0 0 2 x xy xy ，则2zxy的最小值为 . 6. 函数 sin21 11

3、x f x 的最小正周期为_ 7. 在公差不为零的等差数列 n a中， 3 a是 1 a与 9 a的等比中项，则 129 9 aaa a 8. 在二项式 5 1x的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率 是 . 9. 设数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1nn aS ，则 12 111 lim() n n aaa . 10. 定义域为R的奇函数 yf x，在,0上单调递减. 设 g xxf x，若对于任意 1,2x ，都有2gxg ax，则实数a的取值范围为 . 11. 设 12 FF、分别为椭圆 2 2 :1 3 x y的左、右焦点，点AB、在椭圆上，且不

4、是椭圆的 顶点. 若 12 0FAF B，且0，则实数的值为 12. 在ABC中，2AC ， 21 1 tantanAB ，若ABC的面积为2，则AB . 高三数学试卷 共 4 页 第 2 页 二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应分）每题有且只有一个正确选项考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 设 f xx（ 1 1 2, 1,1,2 3 2 ） ， 则“ yf x图像经过点1,1”是“ yf x 是偶函数”的（ ）. A. 充分

5、非必要条件； B. 必要非充分条件 ； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 14. 直线l的参数方程是 1 2 2 xt t yt R，则l的方向向量d可以是（ ）. A(1,2)； B( 2,1)； C(2,1)； D(1, 2). 15. 设正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1， 高为 2， 平面经过顶点A， 且与棱AB、 AD、 1 AA所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个. A1； B2； C3； D4. 16. 已知函数 yf x与 yg x满足： 对任意 12 ,x x R，都有 1212 f xf xg xg x. 命题p：若 yf

6、x是增函数，则 yf xg x不是减函数； 命题q：若 yf x有最大值和最小值，则 yg x也有最大值和最小值. 则下列判断正确的是（ ）. A. p和q都是真命题 B. p和q都是假命题 C. p是真命题，q是假命题 D. p是假命题，q是真命题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 如图， 1 AA是圆柱的一条母线，AB是

7、圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是 线段 1 AC的中点. 已知 1 4AAAC，3BC . （1）求圆柱的侧面积； （2）求证：BCAM 高三数学试卷 共 4 页 第 3 页 18 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 8 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分）分） 设 sin2cos(2) 6 f xxx (0,) 2 x . （1）若 3 sin 5 x ，求 f x的值； （2）设0 2 ，若方程 1 2 f x有两个解，求的取值范围. 19 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分

8、8 分）分） 某种生物身体的长度 f x（单位：米）与其生长年限x（单位：年）大致关系如下： 4 10 1 x fx t （其中 0.5 te（e为自然对数的底 2.71828） ，该生物出生时0 x）. （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过 8 米（精确到 0.1） ； （2） 该生物出生x年后的一年里身长生长量 g x可以表示为 1g xf xf x， 求 g x的最大值（精确到 0.01）. 高三数学试卷 共 4 页 第 4 页 20 （本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6

9、分）分） 设双曲线 2 2 :1 3 x y的上焦点为F，M、N是双曲线上的两个不同的点 （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若2FM ，求点M纵坐标的值； （3） 设直线MN与y轴交于点0,Qq，M关于y轴的对称点为M. 若M、F、N三 点共线，求证：q为定值 21 （本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，分，第第 2 小题满小题满分分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 数列 n a满足： 1 1a ， n a * N，且对任意n * N，都有 1nn aa ， 212 4 nnn aaa . （1）求 2 a， 3 a， 4 a； （2）

10、设 1nnn daa ，求证：对任意 * nN，都有1 n d ； （3）求数列 n a的通项公式 n a. 高三数学试卷 共 4 页 第 5 页 2020-2021 学年学年第二第二学期高三数学质量检测学期高三数学质量检测试卷试卷 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一填空题（本大题共有一填空题（本大题共有 12 题题，满分，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果生应在答题纸的相应位置直接填写结果 11,4 2 2 2 3 15 3 4 2 3 52 6 2 75 8 3 5 93 102

11、,2 111 122 2 二二选择题选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分分)每每题有且只有一个正确选项题有且只有一个正确选项考生应在考生应在 答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. C 14. B 15. D 16 . C 三、解答题三、解答题（本大题共有（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 须的步骤须的步骤 17 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第

12、2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）因为ACBC，4AC ，3BC 所以5AB， .2 所以圆柱的侧面积为 1 20AAAB 6 (2)因为 1 AA 底面ABC，所以 1 AABC .3 又因为ACBC，所以BC 平面 1 AAC .6 因为AM 平面 1 AAC，所以BCAM. .8 18 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 8 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分）分） 解： （1）因为 3 sin,0, 52 xx ，所以 4 cos 5 x .2 31 sin2cos2sin2 22 f xxxx 4 2 3 sincos12sin 2

13、xxx .6 247 3 50 .8 高三数学试卷 共 4 页 第 6 页 （2） 13 sin2cos2sin(2) 223 f xxxx s i n ( 22) 3 fxx .2 由0, 2 x 及0 2 得 424 222 ,2 , 33333 x .3 因为 1 sin 2 x 在 24 , 33 内的解为 6 和 5 6 .4 所以 2 36 45 2 36 ，解得 124 .6 19 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）解不等式 4 10 8 1 x t ， 得 4 1 4 x t ， .

14、2 所以 1 4log42ln46.8 4 t x .5 所以需要经过6.8年 6 （2） 34 1010 1 11 xx g xf xf x tt 43 34 10 11 xx xx tt tt 43 3427 10 1 x xxx ttt ttt 43 347 10 xx tt tttt 3 因为 0.5 0,1te，所以 43 0tt ，5 又因为 73.5 2 xx ttt （当3.5x 时取等） ，6 所以 43 3.534 10 1.24 2 tt g x ttt 高三数学试卷 共 4 页 第 7 页 所以 g x最大为 1.24（当3.5x 时取得）. 8 20 （本题满分（本题

15、满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 解： （1）双曲线的渐近线方程为 3 3 yx ； 4 （2）点F的坐标为0,2， 1 设 11 ,M x y，则 2 2 11 24xy .2 因为点M在双曲线上，所以 22 11 33xy，代入上式， 得 2 1 214y ，解得 1 3 2 y 或 1 1 2 y .4 因为 1 1y ，所以 1 3 2 y . 6 （3）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，直线MN的方程为ykxq 1 则 11 ,Mx y .2 因为M、F、N三点共线

16、，所以 12 12 22yy xx .3 得 122112 2x yx yxx，因为 11 ykxq， 22 ykxq 所以 1 212 220kx xqxx * 4 将ykxq代入双曲线方程 得 222 316330kxkqxq 2 12 2 33 31 q x x k ， 12 2 6 31 kq xx k ，代入*式得 1 2 q .6 21 （本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1） 12 4aa，得 2 3a ； .1 由 34 12aa， 234 aaa，

17、得 3 36a； .2 当 3 4a 时， 4 8a ， 563 416aaa .3 又由 56 aa，得 5 8a ，与 54 aa矛盾，所以 3 5a ， 4 7a . .4 （2）假设存在 * kN，使得1 k d ，即 1 1 kk aa ，则 .1 高三数学试卷 共 4 页 第 8 页 由 212 4 kkk aaa ，及 212kk aa ，得 2 2 kk aa， 3 由 21221 444 kkkk aaaa ，及 2122kk aa ，得 21 22 kk aa 4 得 221 21 kkk aaa ，与 221kk aa 矛盾， 5 所以对任意 * nN，都有 1 n d . .6 （3）由（2）知 1 2 nnn daa .2 1212212 4 nnnnnn aaaaaa 2221212212221kkkkkkkk aaaaaaaa 所以对任意 * nN，都有 21221 42 nnnn dddd 4 当1n 时，得 3211 248dddd， 又由 2 2d 3 2d ，得 23 2dd， 6 设2 k d ，由 21221 248 kkkk dddd ，及 * 2 n dnN 得 21221 2 kkk aaa 7 所以对任意 * nN， 2 n d ，进而21 n an .8