2021年河南省信阳市高考数学第二次教学质量检测试卷（文科）.docx

1、第 1页（共 18页） 2021 年河南省信阳市高考数学第二次教学质量检测试卷年河南省信阳市高考数学第二次教学质量检测试卷（文科文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |65 0Ax xx ， |3Bx yx，(AB ) A1，)B1，3C(3，5D3，5 2 （5 分）已知复数 2020 zii ，则| (z ) A2B1C0D2 3 （5 分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图

2、 1 和图 2 所示为了了解该地区中 小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为() A200，20B100，20C200，10D100，10 4（5 分） 已知正项数列 n a满足 22 11 20 nnnn aaaa ， n a的前n项和为 n S， 则 5 3 ( S a ) A 31 4 B 31 2 C 15 4 D 15 2 5 （5 分）已知角的终边上有一点(2,2)P ，则 3 sin(2)( 2 ) A 1 3 B 7 9 C 1 3 D 7 9 6 （5 分）已知如图是下列四个函数之一的图象，这个函数是() 第 2

3、页（共 18页） A 1 ( )| 1 x f xln x B 1 ( )| 1 x f xln x C 11 ( ) 11 f x xx D 11 ( ) 11 f x xx 7 （5 分）对于a，b是任意非零实数，且ab又cR，则有() A()0lg abB 22 acbc C 11 ab D 11 ( )( ) 33 ab 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入10n ，则输出的结果是() A 1111 4(1) 35717 P B 1111 4(1) 35719 P C 1111 4(1) 35721 P D 1111 4(1) 35721 P 9 （5 分）已知sinyx，在区

4、间，上任取一个实数x，则 1 2 y的概率为() A 7 12 B 2 3 C 3 4 D 5 6 第 3页（共 18页） 10 （5 分）已知直线2y 与函数( )2sin() 3 f xx ， （其中0)w 的相邻两交点间的距 离为，则函数( )f x的单调递增区间为() A 5 , 66 kkkZ B 5 , 1212 kkkZ C 511 , 66 kkkZ D 511 , 612 kkkZ 11（5 分） 定义在R上的偶函数( )f x满足(1)(1)f xf x， 且当 1x ，0时， 2 ( )f xx， 函数( )g x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，( )g xlgx，则

5、函数( )( )( )h xf xg x的零点 的个数是() A9B10C11D12 12 （5 分）如图， 1 F、 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线与 双曲线C交于A、B两点若 11 |:|:| 3:4:5ABBFAF ，则双曲线的渐近线方程为() A2 3yx B2 2yx C3yx D2yx 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）已知向量(1, 3)a ，(3, 3)b ，则b 在a 方

6、向上的投影是 14 （5 分）已知4sin3cos0，则 2 sin23cos的值为 15 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且 | 6FA FB ，则|AB 16 （5 分）对于任意 1 x， 2 1x ，)，当 21 xx时，恒有 2121 ()2()a lnxlnxxx成立， 则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且()()3abc ab

7、cab 第 4页（共 18页） （）求角C的值； （）若2c ，且ABC为锐角三角形，求ab的取值范围 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为(0) nn SS ，满足 1 S， 2 S， 3 S成等差数列， 且 123 a aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 3 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷现从某市 使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间” 进行统计，得到频率分布直方图如下 （）已知抽取的 1

8、00 个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18 分 钟，现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家中随机抽取 3 个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率； （）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； （）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一 款订餐，你会选择哪款？ 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Nab ab 经过点(0,1)C，且离心率为 2 2 （1）求椭圆N的标准方程与焦距 （2）若直线 1 : 3 l ykx与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点

9、为M是否存在 常数，使AMCABC恒成立？请说明理由 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax，()aR （1）当1a 时，判断函数( )yf x的单调性； 第 5页（共 18页） （2）若关于x的方程 2 1 ( ) 2 f xax有两个不同实根 1 x， 2 x，求实数a的取值范围，并证明 2 12 x xe 请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 12 2 xt yt ，(t为参数） ，以坐标原点为极点，x正半 轴为极轴，建立

10、极坐标系，曲线C的极坐标方程是 2 sin 1sin （1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程 （2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标 23设函数( ) |2|2|f xxx （1）解不等式( ) 2f x ； （2）当xR，01y时，证明： 11 |2|2| 1 xx yy 第 6页（共 18页） 2021 年河南省信阳市高考数学第二次教学质量检测试卷年河南省信阳市高考数学第二次教学质量检测试卷（文科文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共

11、60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |65 0Ax xx ， |3Bx yx，(AB ) A1，)B1，3C(3，5D3，5 【解答】解：集合 2 |65 0 |15Ax xxxx ， |3 |3Bx yxx x， 3AB ，5， 故选：D 2 （5 分）已知复数 2020 zii ，则| (z ) A2B1C0D2 【解答】解： 20204 505 1ziiiii ， |2z 故选：A 3 （5 分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示为了了解该地区中 小学生

12、的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为() A200，20B100，20C200，10D100，10 【解答】解：由图 1 得样本容量为(350020004500)2%100002%200， 抽取的高中生人数为20002%40人， 第 7页（共 18页） 则近视人数为400.520人， 故选：A 4（5 分） 已知正项数列 n a满足 22 11 20 nnnn aaaa ， n a的前n项和为 n S， 则 5 3 ( S a ) A 31 4 B 31 2 C 15 4 D 15 2 【解答】解：依题意，由 22 11 20 nnn

13、n aaaa ，可得 11 (2)()0 nnnn aaaa ， 1 0 nn aa ， 1 20 nn aa ，即 1 2 nn aa ， 正项数列 n a是以 2 为公比的等比数列， 5 1 51 (12 ) 31 12 a Sa ， 2 311 24aaa， 51 31 3131 44 Sa aa 故选：A 5 （5 分）已知角的终边上有一点(2,2)P ，则 3 sin(2)( 2 ) A 1 3 B 7 9 C 1 3 D 7 9 【解答】解：角的终边上有一点(2,2)P ， 2 tan2 2 ， 则 222 222 3sincostan1211 sin(2)cos2 2sincos

14、tan1213 ， 故选：C 6 （5 分）已知如图是下列四个函数之一的图象，这个函数是() A 1 ( )| 1 x f xln x B 1 ( )| 1 x f xln x C 11 ( ) 11 f x xx D 11 ( ) 11 f x xx 第 8页（共 18页） 【解答】解：令2x 与 1 2 x 验证， A中，f（2） 21 |30 21 lnln ， 3 1 2 ( )|30 1 2 2 flnln，不符合； B中，f（2） 1 1 2 |0 3 3 2 lnln， 11 ( )0 23 fln，不符合； D中， 22 (1)(1)2 ( )0 11 xx f x xx ，函

15、数值恒小于 0，不符合； 故选：C 7 （5 分）对于a，b是任意非零实数，且ab又cR，则有() A()0lg abB 22 acbc C 11 ab D 11 ( )( ) 33 ab 【解答】解：根据a，b是任意非零实数，且ab，cR， 取0ac，1b ，则可排除ABC 故选：D 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入10n ，则输出的结果是() A 1111 4(1) 35717 P B 1111 4(1) 35719 P C 1111 4(1) 35721 P D 1111 4(1) 35721 P 第 9页（共 18页） 【解答】解：由题意知： 9 11( 1)111 11

16、352 1013519 S 故 111 44(1) 3519 PS 故选：B 9 （5 分）已知sinyx，在区间，上任取一个实数x，则 1 2 y的概率为() A 7 12 B 2 3 C 3 4 D 5 6 【解答】解：sinyx，由 1 2 y，得 1 sin 2 x x ，可得x ， 5 66 ， 满足 1 2 y的概率为 5 ()() 2 66 23 故选：B 10 （5 分）已知直线2y 与函数( )2sin() 3 f xx ， （其中0)w 的相邻两交点间的距 离为，则函数( )f x的单调递增区间为() A 5 , 66 kkkZ B 5 , 1212 kkkZ C 511

17、, 66 kkkZ D 511 , 612 kkkZ 【解答】 解：2y 与函数( )2sin() 3 f xx ， （其中0)w 的相邻两交点间的距离为， 函数的 周期2T ，即 2 2 ，得2， 则( )2sin(2) 3 f xx ， 由222 232 kxk ，kZ， 得 5 1212 kx k ，kZ， 即函数的单调递增区间为 12 k ， 5 12 k ，kZ， 故选：B 11（5 分） 定义在R上的偶函数( )f x满足(1)(1)f xf x， 且当 1x ，0时， 2 ( )f xx， 函数( )g x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，( )g xlgx，则函数( )( )

18、( )h xf xg x的零点 的个数是() 第 10页（共 18页） A9B10C11D12 【解答】解：(1)(1)f xf x， 即为(2)( )f xf x， 可得( )f x为周期为 2 的偶函数， 且当 1x ，1时， 2 ( )f xx， 画出函数( )yf x的图象； 函数( )g x是定义在R上的奇函数， 当0 x 时，( )g xlgx， 可得0 x 时，(0)0g，0 x 时，( )()g xlgx ， 作出( )yg x的图象， 由101lg，( )f x的最大值 1，可得0 x 时，( )yf x和( )yg x的图象有 9 个交点； 0 x 时，(0)(0)0fg；

19、 0 x 时，( )yf x和( )yg x的图象有 1 个交点； 综上可得( )yf x和( )yg x的图象共有 11 个交点， 即有( )( )( )h xf xg x的零点的个数是 11 故选：C 12 （5 分）如图， 1 F、 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线与 双曲线C交于A、B两点若 11 |:|:| 3:4:5ABBFAF ，则双曲线的渐近线方程为() 第 11页（共 18页） A2 3yx B2 2yx C3yx D2yx 【解答】解：设 2 |AFt，| 3ABx，则 1 |4BFx， 1 | 5AFx， 根据

20、双曲线的定义，得 1221 | | 2AFAFBFBFa， 即5(3)42xtxtxa ，解之得3tx，ax 11 |:|:| 3:4:5ABBFAF ，得 1 ABF是以B为直角的Rt， 1 1 |3 cos |5 AB BAF AF ，可得 21 3 cos 5 F AF ， 21 F AF中， 222 12121221 |2| |cosFFAFAFAFAFF AF 222 3 259253()52 5 xxxxx ，可得 12 | 2 13FFx， 即有ax，13cx，2 3bx， 则双曲线的渐近线方程为2 3yx 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个

21、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）已知向量(1, 3)a ，(3, 3)b ，则b 在a 方向上的投影是3 【解答】解：| 2,336aa b ； 第 12页（共 18页） b 在a 方向上的投影是：| cos,|3 | a ba b ba bb aa b 故答案为：3 14 （5 分）已知4sin3cos0，则 2 sin23cos的值为 24 25 【解答】解：因为4sin3cos0， 可得 3 tan 4 ， 则 2 2 222 2 3 2()3 2sincos32tan324 4 sin23cos 3 1

22、25 ()1 4 cos sincostan 故答案为： 24 25 15 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且 | 6FA FB ，则|AB 6 【解答】解：抛物线的焦点坐标为(1,0)F，设直线AB方程为(1)yk x， 联立方程组 2 (1) 4 yk x yx ，消去y得： 2222 (24)0k xkxk， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 1x x ， 抛物线的准线方程为1x ，故 1 |1FAx， 2 |1FBx， 12121212 |(1)(1)126FAFBxxxxx xxx， 12 | |26AB

23、FAFBxx 故答案为：6 16 （5 分）对于任意 1 x， 2 1x ，)，当 21 xx时，恒有 2121 ()2()a lnxlnxxx成立， 则实数a的取值范围是(，2 【解答】解： 2121 ()2()a lnxlnxxx，即为 2211 22alnxxalnxx， 设( )2f xalnxx，1x， 因为 21 1xx，所以( )f x在1，)递减， 则( )2 0 a fx x ，2ax在1x，)恒成立， 由22x， 可得2a， 第 13页（共 18页） 则a的取值范围是(，2 故答案为：(，2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写

24、出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且()()3abc abcab （）求角C的值； （）若2c ，且ABC为锐角三角形，求ab的取值范围 【解答】解： （）ABC中，()()3abc abcab， 222 abcab， 由余弦定理得， 222 1 cos 22 abc C ab ； 又(0, )C， 3 C ； （）由2c ， 3 C ，根据正弦定理得， 24 3 sinsinsin3 sin 3 abc ABC ， 4 3 (sinsin) 3 abAB 4 32 sinsin()

25、33 AA 2 3sin2cosAA 4sin() 6 A ； 又ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 A A ， 解得 62 A ； 2 363 A ， 2 34sin() 4 6 A ， 综上，ab的取值范围是(2 3，4 第 14页（共 18页） 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为(0) nn SS ，满足 1 S， 2 S， 3 S成等差数列， 且 123 a aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 3 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）等比数列 n a的前n项和为(0) nn SS ，

26、满足 1 S， 2 S， 3 S成等差数列， 且 123 a aa设公比为q， 则： 213 123 2SSS a aa ，整理得 2 320qq， 解得1q 或2， 当1q 时， 1 1a ，所以 2 1a ，故 2 0S ，与0 n S 相矛盾， 当2q 时， 1 2a ， 所以( 2)n n a （2） 由于( 2)n n a ， 所以 11 1 33( 2)11 (1)(1)( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1 n n n nnnn nn a b aa ， 所以 22311 1111111 1 ( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1 n nnn T

27、19 （12 分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷现从某市 使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间” 进行统计，得到频率分布直方图如下 （）已知抽取的 100 个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18 分 钟，现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家中随机抽取 3 个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率； 第 15页（共 18页） （）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； （）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选

28、择一 款订餐，你会选择哪款？ 【解答】解： （）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分种的商家共 有：1000.06 106个， 分别记为甲、a，b，c，d，e， 从中随机抽取 3 家的情况有 20 种，分别为： 甲，a，b，甲，a，c，甲，a，d，甲，a，e，甲，b，c， 甲，bd，甲，b，e，甲，c，d，甲，c，e，甲，d，e， a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，c，d，a，c，e， a，d，e，b，c，d，b，c，e，b，d，e，c，d，e， 甲商家被抽到的情况有 10 种，分别为： 甲，a，b，甲，a，c，甲，a，d，甲，a，e， 甲，b，c，甲，bd，甲，b，

29、e，甲，c，d，甲，c，e，甲，d，e， 甲商家被抽到的概率 101 202 p （）依题意，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55， 平均数为：150.06250.34350.12450.04550.4650.0440 （）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为： 150.04250.2350.56450.04550.4650.043540， 以“平均送达时间”的平均数作为决策依据， 从A和B两款订餐软件中选择B款订餐 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Nab ab 经过点(0,1)C，且离心率为 2 2 （1）求椭圆N的标准方程与焦距 （

30、2）若直线 1 : 3 l ykx与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M是否存在 常数，使AMCABC恒成立？请说明理由 【解答】解： （1）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Nab ab ，经过点(0,1)C，且离心率为 2 2 ， 所以1b ， 2 2 c a ，又因为 222 acb， 可得1c ，2a ，焦距22c ， 第 16页（共 18页） 所求椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y； （2）存在常数2，2AMCABC 恒成立， 证明如下： 2 2 1 3 1 2 ykx x y 可得 22 (918)12160kxkx，0， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B

31、 x， 2) y，则 12 2 12 918 k xx k ， 12 2 16 918 x x k ， 又因为 22 121212121212 22 444161641216 (1)(1)()()(1)()(1)0 333991839189 k CA CBx xyyx xkxkxkx xk xxkk kk ， 所以CACB ，因为线段AB的中点为M，所以| |MCMB， 所以2AMCABC ， 即存在常数2，使2AMCABC 恒成立 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax，()aR （1）当1a 时，判断函数( )yf x的单调性； （2）若关于x的方程 2

32、 1 ( ) 2 f xax有两个不同实根 1 x， 2 x，求实数a的取值范围，并证明 2 12 x xe 【解答】解： （1）1a 时， 2 1 ( )2 (0) 2 f xlnxxx x， 故 2 121 ( )20 xx fxx xx ， ( )f x在(0,)上单调递增 （2）由题意可知(1)lnxax有两解， 设直线ykx与ylnx相切，切点坐标为 0 (x， 0) y， 则 00 00 0 1 ykx ylnx k x ，解得 0 xe， 0 1y ， 1 k e ， 1 01a e ，即 1 11a e 第 17页（共 18页） 实数a的取值范围是 1 ( 1,1) e 不妨设

33、 21 0 xx，则 11 (1)lnxax， 22 (1)lnxax， 两式相加得： 1212 ()(1)()ln x xaxx， 两式相减得： 2 21 1 (1)() x lnaxx x ， 1212 2 21 1 ()ln x xxx x xx ln x ，故 122 12 211 () xxx ln x xln xxx ， 要证 2 12 x xe，只需证 122 211 2 xxx ln xxx ， 即证 2 2211 2 112 1 2(1) 2() 1 x xxxx ln x xxx x ， 令 2 1 1 x t x ，故只需证 2(1) 1 t lnt t 在(1,)恒成立

34、即可 令 2(1) ( )(1) 1 t g tlntt t ，则 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t ， ( )g t在(1,)上单调递增，( )g tg（1）0， 即 2(1) 1 t lnt t 在(1,)恒成立 2 12 x xe 请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 12 2 xt yt ，(t为参数） ，以坐标原点为极点，x正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 2 sin 1sin （1）写出直线l的极坐

35、标方程与曲线C的直角坐标方程 （2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标 【解答】解： （1） 12 , 2 xt t yt 为参数，消去参数可得1xy 直线l的极坐标方程为121 4 cossincos 即 （3 分） 由 2 sin 1sin 得 222 cossincossin 得 2( 0).yxx（5 分） 第 18页（共 18页） （2）设 0 (P x， 0) y，则 2 00 (0)yxx 点P到直线l的距离为 22 2 00 0000 1313 | ()|() |1|1| 2424 2222 xx xyxx d 当 0 3 211 1 ,

36、. 282 4 min xdP 时此时（8 分） 当 1 1 ( , ) 2 4 PP到直线l的距离最小，最小 3 2 8 min d （10 分） 23设函数( ) |2|2|f xxx （1）解不等式( ) 2f x ； （2）当xR，01y时，证明： 11 |2|2| 1 xx yy 【解答】解： （）由已知可得： 4,2 ( )2 , 22 4,2 x f xxx x ， 由2x时，42成立；22x 时，22x，即有1x，则为12x 故( ) 2f x 的解集为 |1x x （5 分） ()II由（）知， 11 |2|2| 1 xx yy ； 11111 ()(1)24 111 yy yy yyyyyy ， 11 |2|2| 1 xx yy （10 分）