2021年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（理科）（3月份）.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（理年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（理 科科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出四个选项中只有一项分。在每小题给出四个选项中只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合0B ，1，2， 1C ，0，1，非空集合A满足AB，AC， 则符合条件的集合A的个数为() A3B4C7D8 2 （5 分）已知复数z满足(2)|43 |(i zii为虚数单位） ，则(z ) A2iB2iC1

2、2iD12i 3 （5 分）某街道甲、乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如图的条形图所示该街道体协 为普及群众健身养生活动， 准备举行一个小型太极拳表演 若用分层抽样的方法从这三个小 区的太极拳爱好者中抽取 12 名参加太极拳表演，则丙小区应抽取的人数为() A2B3C4D6 4 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) 3 xy Cb bb 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P为椭圆C的上 顶点，若 12 3 FPF ，则(b ) A5B4C3D2 5 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)P和圆 22 :1O xy，在圆O上任取一点 Q，连接PQ，则直线PQ的斜率大于3的

3、概率是() A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 5 6 6 （5 分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这 个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷” 小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用 以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为 1 的正三角形ABC，分别记 第 2页（共 21页） 射线AC，BA，CB为 1 l， 2 l， 3 l，以C为圆心、CB为半径作劣弧 1 BC交 1 l于点 1 C；以A 为圆心、 1 AC为半径作劣弧 11 C A交 2 l于点 1 A；以B为圆心、 1 BA为半径作劣弧 11 AB交 3 l于 点 1 B， 依此

4、规律作下去， 就得到了一系列圆弧形成的螺旋线 记劣弧 1 BC的长， 劣弧 11 C A 的长，劣弧 11 AB的长，依次为 1 a， 2 a， 3 a，则 129 (aaa) A30B45C60D65 7 （5 分）已知ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点，点E在边AC上，且 (01)AEAC ，设AD与BE交于点P，当变化时，记mBP BC ，则下列说法正 确的是() Am随的增大而增大 Bm先随的增大而增大后随的增大而减少 Cm随的增大而减少 Dm为定值 8 （5 分）设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点有下列四个命题： 在内存在直线与直线AB异面； 在内存在直线与直线A

5、B相交； 存在过直线AB的平面与垂直； 存在过直线AB的平面与平行 其中，一定正确的是() ABCD 9 （5 分）快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位， 出现了大批快递员某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如表： 体积（立方分米/ 件） 重量（千克/件）快递员工资（元/ 件） 甲批快件20108 乙批快件102010 第 3页（共 21页） 快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为 350 立方分米，最大载重量为 250 千克，小马一次送货可获得的最大工资额为() A150 元B170 元C180 元D200 元 10（5 分） 已知函数 ,1

6、( ) (2),1 lnx x f x lnx x ， 则方程(1) ( )1xf x的所有实根之和为() A2B3C4D1 11 （5 分）已知函数( )cos()(0) 3 f xx ，若( )f x在区间( ,2 )上不存在零点，则 的取值范围是() A 7 (0, 12 B 117 (0, 126 12 C 117 (, )(,1 12 612 D 17 , 12 12 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作圆 222 :O xya的切线，切点为T，延长 2 F T交双曲线E的左支于点P若 22 |

7、2|PFTF， 则双曲线E的离心率的取值范围是() A(2,)B( 5，)C( 2, 5)D(2, 6) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 4 2 ()x x 的展开式中的常数项为（用数字作答） 14 （5 分）设 n S为等比数列 n a的前n项和，且 25 80aa， 2 5 m SS，则m的值是 15 （5 分）已知曲线:27C xy 和直线:340lxy，点M在曲线C上，点N在直线l上， 则|MN的最小值是 16 （5 分）已知四面体ABCD的棱长均为2 6，E，F分别为棱BC，BD上靠近点B的 三等

8、分点，过A，E，F三点的平面与四面体ABCD的外接球O的球面相交，得圆 O ，则 球O的半径为，圆 O 的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22 cosacbC （1）求角B的大小； 第 4页（共 21页） （2）设D为边AC上一

9、点，ABDCBD ，1BD ，求ABC面积的最小值 18 （12 分）张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题， 只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提 出的任何一个问题的概率为 2 3 ，假设回答各个问题正确与否互不干扰 （1）求张先生通过面试的概率； （2）记本次面试张先生回答问题的个数为X，求X的分布列及数学期望 19 （12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABCD，60D，2224CDABBCAD， E为CD的中点，F为AE的中点，沿AE将三角形ADE折起 （1）证明：在折起过程中，平面BDF 平面BCD； （2）当

10、折起到平面ADE 平面ABC时，求二面角ACDE的余弦值 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点为F，准线为l，以F为圆心的圆与l相 切，与抛物线E相交于M，N两点，且| 4MN （1）求抛物线E的方程； （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于P点，线段AB的垂 直平分线与x轴交于Q点，若| 2|ABPQ，求P点的坐标 21 （12 分）已知函数( )(0) x f xalnxxea 第 5页（共 21页） （1）当1a 时，判定( )f x有无极值，并说明理由； （2）若( ) a f xx对任意的(1,)x恒成立，求a的最小值 （二）选考题

11、：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） 以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2） 设射线(0,02 ) 与直线l和曲线C分别交于点M，N， 求 22 41 |OMON 的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 2

12、3已知函数( ) |1|1|f xxx （1）求不等式( )6f xx 的解集； （2）记( )f x的最小值为m，正实数a，b满足abm，证明： 11 1 m ambmm 第 6页（共 21页） 2021 年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（理年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（理 科科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出四个选项中只有一项分。在每小题给出四个选项中只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合

13、0B ，1，2， 1C ，0，1，非空集合A满足AB，AC， 则符合条件的集合A的个数为() A3B4C7D8 【解答】解：0BC ，1， 非空集合A满足AB，AC， 0A，1，0，1 符合条件的集合A的个数为 3 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足(2)|43 |(i zii为虚数单位） ，则(z ) A2iB2iC12iD12i 【解答】解：由 22 (2)|43 |4( 3)5i zi ， 得 22 55(2)5(2) 2 2(2)(2)21 ii zi iii ， 故选：B 3 （5 分）某街道甲、乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如图的条形图所示该街道体协 为普及群众健身养生活动，

14、 准备举行一个小型太极拳表演 若用分层抽样的方法从这三个小 区的太极拳爱好者中抽取 12 名参加太极拳表演，则丙小区应抽取的人数为() A2B3C4D6 【解答】解：由条形图中数据知，用分层抽样法共抽取 12 人，丙小区应抽取的人数为 第 7页（共 21页） 20 124 103020 （人) 故选：C 4 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) 3 xy Cb bb 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P为椭圆C的上 顶点，若 12 3 FPF ，则(b ) A5B4C3D2 【解答】解：由椭圆的方程可得： 22 33cbb 由 12 3 FPF ，则 2 6 F PO ， 所以 2

15、3 tan 3 c F PO b ， 所以可得3b ， 故选：C 5 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)P和圆 22 :1O xy，在圆O上任取一点 Q，连接PQ，则直线PQ的斜率大于3的概率是() A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：当直线PQ的倾斜角为120时，斜率3， 当Q沿着圆弧QP顺时针运动时，斜率小于3， 由60POQ得所求概率 3005 3606 P 故选：D 6 （5 分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这 第 8页（共 21页） 个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷” 小明对螺旋线有着浓厚的

16、兴趣，用 以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为 1 的正三角形ABC，分别记 射线AC，BA，CB为 1 l， 2 l， 3 l，以C为圆心、CB为半径作劣弧 1 BC交 1 l于点 1 C；以A 为圆心、 1 AC为半径作劣弧 11 C A交 2 l于点 1 A；以B为圆心、 1 BA为半径作劣弧 11 AB交 3 l于 点 1 B， 依此规律作下去， 就得到了一系列圆弧形成的螺旋线 记劣弧 1 BC的长， 劣弧 11 C A 的长，劣弧 11 AB的长，依次为 1 a， 2 a， 3 a，则 129 (aaa) A30B45C60D65 【解答】解：由题意可知，第n个劣弧的

17、半径为n，圆心角为 2 3 ， 所以第n个劣弧的弧长 22 33 n n an ， 所以 129 229 10 (129)30 332 aaa 故选：A 7 （5 分）已知ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点，点E在边AC上，且 (01)AEAC ，设AD与BE交于点P，当变化时，记mBP BC ，则下列说法正 确的是() Am随的增大而增大 Bm先随的增大而增大后随的增大而减少 Cm随的增大而减少 Dm为定值 【解答】解：因为ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点， 所以ADBC， 由向量数量积的几何意义可知： | | 248mBP BCBDBC 第 9页（共 21页）

18、 即m为定值 故选：D 8 （5 分）设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点有下列四个命题： 在内存在直线与直线AB异面； 在内存在直线与直线AB相交； 存在过直线AB的平面与垂直； 存在过直线AB的平面与平行 其中，一定正确的是() ABCD 【解答】解：对于，无论直线AB与平行，还是直线AB与相交， 都在内存在直线与直线AB异面，所以正确； 对于，当直线AB与平行时， 平面内不存在直线与直线AB相交，所以错误； 对于，无论直线AB与平行，还是直线AB与相交， 都存在过直线AB的平面与垂直，所以正确； 对于，若直线AB与相交， 则不存在过直线AB的平面与平行，所以错误； 综上知，正确的命题

19、序号是 故选：B 9 （5 分）快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位， 出现了大批快递员某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如表： 体积（立方分米/重量（千克/件）快递员工资（元/ 第 10页（共 21页） 件）件） 甲批快件20108 乙批快件102010 快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为 350 立方分米，最大载重量为 250 千克，小马一次送货可获得的最大工资额为() A150 元B170 元C180 元D200 元 【解答】解：设一次派送甲批快件x件，乙批快件y件， 则x，y满足 2010350 1020250 0,0, xy xy

20、 xyx yN 且 ，即 235 225 0,0, xy xy xyx yN 且 小马一次送货可获得的最大工资额为810zxy 由约束条件画出可行域如图： 联立 235 225 xy xy ，解得(15,5)A， 由810zxy，得 4 510 z yx ，由图可知，当直线 4 510 z yx 过A时， z有最大值为 170 故选：B 10（5 分） 已知函数 ,1 ( ) (2),1 lnx x f x lnx x ， 则方程(1) ( )1xf x的所有实根之和为() A2B3C4D1 【解答】解：当1x 时，21x，所以(2)2(2)( )fxlnxlnxf x ， 当1x 时，21x

21、，所以(2)(2)( )fxlnxf x ， 第 11页（共 21页） 当1x 时，( )0f x ，所以函数的图象关于点(1,0)对称， 显然1x 不是方程的根，当1x 时，则方程可转化为： 1 ( ) 1 f x x ， 画出函数( )yf x与 1 1 y x 的图象， （如图） ， 由图可得，二者有且仅有两个公共点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 因为两个函数的图象都关于(1,0)对称， 故A，B关于(1,0)对称， 所以： 12 1 2 xx ， 即 12 2xx， 故选：A 11 （5 分）已知函数( )cos()(0) 3 f xx ，若( )f x在区间

22、( ,2 )上不存在零点，则 的取值范围是() A 7 (0, 12 B 117 (0, 126 12 C 117 (, )(,1 12 612 D 17 , 12 12 【解答】解：函数( )cos() 3 f xx ， 若( )f x在区间( ,2 )上不存在零点， 故 32 2 32 0 或 32 3 2 32 0 ， 第 12页（共 21页） 解得 11 7 (0, 126 12 故选：B 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作圆 222 :O xya的切线，切点为T，延长 2 F T交双曲线E的左

23、支于点P若 22 |2|PFTF， 则双曲线E的离心率的取值范围是() A(2,)B( 5，)C( 2, 5)D(2, 6) 【解答】解：在 2 Rt OTF中，|OTa， 2 |OFc， 2 |TFb， 21 cos b PF F c ， 由双曲线的定义知， 21 |2PFPFa， 在 12 PF F中，由余弦定理知， 222 121221221 |2| | cosPFPFFFPFFFPF F， 222 222 (| 2 )|42| 2 b PFaPFcPFc c ， 解得 222 2 |0 cab PF baba ， ba， 22 | 2|PFTF， 2 2 b b ba ，即2ba， 1

24、2 b a ， 离心率 2 1( )( 2 cb e aa ，5) 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 4 2 ()x x 的展开式中的常数项为24（用数字作答） 第 13页（共 21页） 【解答】解：展开式的通项公式为 44 2 144 2 ()( 2) rrrrrr r TC xC x x 令420r得2r 得常数项为 22 4( 2) 24C 故答案为 24 14 （5 分）设 n S为等比数列 n a的前n项和，且 25 80aa， 2 5 m SS，则m的值是 4 【解答】解：等比数列 n

25、a中， 25 80aa， 所以 3 22 80aa q， 故2q ， 因为 2 5 m SS， 所以 2 11 (12 )(12 ) 5 1212 m aa ， 即216 m ， 即4m 故答案为：4 15 （5 分）已知曲线:27C xy 和直线:340lxy，点M在曲线C上，点N在直线l上， 则|MN的最小值是 36 5 【解答】解：由曲线C的方程27xy ，得 27 y x ，则 2 27 y x 由直线l的斜率为 3 4 ，可得 2 273 4x ，解得 2 36x ；因为曲线C关于坐标原点对称，不妨 取6x ，结合27xy ，解得 9 2 y ， 所以，在曲线C上与直线l平行的切线的

26、切点坐标为 9 (6, ) 2 ， 因此|MN的最小值即为该点到直线l的距离，即 9 |3 64| 36 2 55 ， 故答案为： 36 5 16 （5 分）已知四面体ABCD的棱长均为2 6，E，F分别为棱BC，BD上靠近点B的 三等分点，过A，E，F三点的平面与四面体ABCD的外接球O的球面相交，得圆 O ，则 球O的半径为3，圆 O 的面积为 第 14页（共 21页） 【解答】解：设点A在平面BCD上的射影为G，则G为BCD的中心， 所以 23 2 62 2 32 GB ， 22 2484AGABGB， 由于BCD为正三角形，故四面体外接球的球心O在线段AG上， 设球O的半径为R，则 2

27、22 OBOGGB，即 222 (|4|)(2 2)RR，解得3R ； 设O在平面AEF上的射影为 O ，则 O 即为过A，E，F三点的平面截球O所得截面圆的 圆心 设G在平面AEF上的射影为 G ，EF与BG交于点H 在Rt AGH中，4AG ，HG为BCD高的 1 3 ， 13 2 62 32 HG ， 所以1623 2AH ，所以 424 33 2 AG GH GG AH 由 OOAO GGAG ，得 34 1 43 OO ； 由球的截面性质得OO 平面AEF，所以截面圆 O 的半径 22 312 2r ， 所以圆 O 的面积为 2 8r 故答案为：3；8 三、解答题：共三、解答题：共

28、70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22 cosacbC （1）求角B的大小； （2）设D为边AC上一点，ABDCBD ，1BD ，求ABC面积的最小值 第 15页（共 21页） 【解答】解： （1）由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 22 cosa

29、cbC， 2sinsin2sincosACBC， 又sinsin()sincoscossinABCBCBC， 2cossinsin0BCC， sin0C ， 1 cos 2 B ， (0, )B， 2 3 B （2）由（1）知， 2 3 B ， 3 ABDCBD ， 在ABD中，由余弦定理知， 22222 1 2cos1211 2 ADABBDAB BDABDcccc ， 在BCD中，由余弦定理知， 22222 1 2cos1211 2 CDBCBDBC BDCBDaaaa ， 由角分线定理知， ADABc CDBCa ， 22 22 1 1 ccc aaa ，化简得()()0ac acac，

30、 当0ac，即ac时，ABC为等腰三角形，其面积为定值； 当0acac时，有2acacac ，4ac，当且仅当2ac时，等号成立， ABC的面积 112 sin4sin3 223 SacB ， ABC面积的最小值为3 18 （12 分）张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题， 只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提 出的任何一个问题的概率为 2 3 ，假设回答各个问题正确与否互不干扰 （1）求张先生通过面试的概率； （2）记本次面试张先生回答问题的个数为X，求X的分布列及数学期望 【解答】解： （1）记张先生第i次答对面试官提

31、出的问题为事件(1 i A i ，2，3，4，5)，则 第 16页（共 21页） 2 () 3 i P A ，张先生前三个问题均回答正确为事件B，前三个问题回答正确两个且第四个又 回答正确为事件C前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件D，张先生通过 面试为事件M，则MBCD 根据题意，得 3 28 ( )( ) 327 P B ， 22 3 21 28 ( )( ) 33 327 P CC， 222 4 21216 ()( )( ) 33381 P DC 因为事件B，C，D互斥，所以 881664 ()( )( )() 27278181 P MP BP CP D， 即张先生能够通过面试

32、的概率为 64 81 （2）根据题意，3X ，4，53X 表明前面三个问题均回答错误（淘汰）或均回答正确 （通过） ，所以 33 121 (3)( )( ) 333 P X ；4X 表明前面三个问题中有两个回答错误且第 四个问题又回答错误 （淘汰） 或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确 （通 过） ， 所以 1222 33 21121 210 (4)( )( ) 33333 327 P XCC；5X 表明前面四个问题中有两个回答错 误，两个回答正确，所以 222 4 218 (5)( )( ) 3327 P XC 所以X的分布列为： X345 P 1 3 10 27 8 27

33、故 1108107 ()345 3272727 E X 19 （12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABCD，60D，2224CDABBCAD， E为CD的中点，F为AE的中点，沿AE将三角形ADE折起 （1）证明：在折起过程中，平面BDF 平面BCD； （2）当折起到平面ADE 平面ABC时，求二面角ACDE的余弦值 【解答】 （1）证明：在平面图形中，因为E为CD的中点且2CDAD，所以DEADCE， 又60D，所以ADE为正三角形，所以ADAE， 又ABAD，所以ABAE，又/ /ABCD，所以60EABDEA ，所以ABE为等边 第 17页（共 21页） 三角形 在折起过程中，因为

34、F为AE的中点，所以AEDF，AEBF， 因为CEDEADAE，ADBCAB，所以ABBCCEAE，所以四边形ABCE为 菱形，所以/ /BCAE，所以BCBF，BCDF， 又BFDFF ，BF，DF 平面BDF，所以BC 平面BDF， 又BC 平面BCD，所以平面BDF 平面BCD （2）解：由（1）知DFAE，因为平面ADE 平面ABC，平面ADE平面ABCAE， DF 平面ADE， 所以DF 平面ABC， 从而DFBF， 又BFAF， 所以FA，FB，FD 两两垂直 以点F为坐标原点，FA ，FB ，FD 的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐 标系Fxyz（如图） ， 则(1

35、A， 0 ，0)，(0, 3,0)B，(0,0, 3)D，( 1E ， 0 ，0)，(0F， 0 ，0)， (0, 3,0)( 2,0,0)( 2, 3,0)FCFBBCFBAE ，即( 2, 3,0)C ， 所以( 3, 3,0)AC ，( 1,0, 3)AD ，(1,0, 3)ED ，( 1, 3,0)EC 设平面ACD的法向量为( , , )mx y z ，则 0, 0, m AC m AD 即 330, 30, xy xz 令3x ，可得平面ACD的一个法向量( 3,3,1)m ； 设平面CDE的法向量为( , , )na b c ，则 0, 0, n ED n EC 即 30, 30

36、, ac ab 令3a ，可得平面CDE的一个法向量( 3,1, 1)n ， 所以 565 cos, |13135 m n m n m n 由于二面角ACDE为锐二面角， 第 18页（共 21页） 故二面角ACDE的余弦值为 65 13 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点为F，准线为l，以F为圆心的圆与l相 切，与抛物线E相交于M，N两点，且| 4MN （1）求抛物线E的方程； （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于P点，线段AB的垂 直平分线与x轴交于Q点，若| 2|ABPQ，求P点的坐标 【解答】解： （1）抛物线 2 :2(0)E y

37、px p的焦点为( 2 p F，0)，准线为: 2 p l x ， 以F为圆心的圆与l相切，可得圆F的方程为 222 () 2 p xyp， 与抛物线 2 2ypx联立，可得 22 3 0 4 xpxp， 解得 3 ( 22 p xp舍去） ， 可设( 2 p M，)p，( 2 p N，)p，则| 24MNp， 解得2p ， 则抛物线的方程为 2 4yx； （2）设AB的方程为xmyn，可得( ,0)P n， 由 2 4yx xmyn ，可得 2 440ymyn， 设A，B的纵坐标分别为 1 y， 2 y，则 2 16160mn， 12 4yym， 12 4y yn ， 则 22222 121

38、212 |1|1()411616ABmyymyyy ymmn， 第 19页（共 21页） 又AB的中点为 2 (2nm，2 )m， 线段AB的垂直平分线的方程为 2 2(2)ymm xnm ， 则 2 (22Q nm，0)， 2 | 22PQm， 由| 2|ABPQ，可得 222 116164(1)mmnm， 化为 22 1mnm，解得1n ， 即(1,0)P 21 （12 分）已知函数( )(0) x f xalnxxea （1）当1a 时，判定( )f x有无极值，并说明理由； （2）若( ) a f xx对任意的(1,)x恒成立，求a的最小值 【解答】解： （1）当1a 时，( ) x

39、f xlnxxe ，(0,)x， 11 ( )1 x fx xe ， 令 11 ( )1 x g x xe ， 2 11 ( )0 x g x xe ， ( )g x即( )fx在(0,)x上单调递增，又f （1） 1 0 e ，f （2） 2 11 0 2e ， 0 (1,2)x使得 0 ()0fx，且函数( )f x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 函数( )f x存在唯一极小值，无极大值 （2）( ) a f xx，即 xa alnxxex ， 化为 xaaa xexalnxxlnx ，即 xxaa elnexlnx ，(1,)x 令( )(01)h ttlnt

40、t ， 11 ( )10 t h t tt ， 函数( )h t在(0,1)上单调递减， 不等式 xxaa elnexlnx ，即()() xa h eh x ， 又当1x 时， 1 0 x ee ，0a 时，01 a x， xa ex x alnx ，即 x a lnx ，(1,)x 令( ) x G x lnx ，(1,)x 则 2 1 ( ) () lnx G x lnx ， 可得函数( )G x在(1, ) e上单调递增，在( ,)e 单调递减 第 20页（共 21页） ( )maxG xG（e）e ，ae a的最小值为e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考

41、生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） 以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2） 设射线(0,02 ) 与直线l和曲线C分别交于点M，N， 求 22 41 |OMON 的最小值 【解答】解： （1）由cosx，siny， 222 xy， 可得直线l的极坐标方程为cossi

42、n40，即有 4 cossin ； 曲线C的参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） ， 可得 2 222 sincos1 2 y ttx， 则 2222 1 cossin1 2 ， 即为 2 222 22 21cossincos ； （2）设 1 (M，)， 2 (N，)，其中 3 0 4 或 7 2 4 ， 则 22 22 41(cossin)1 |42 cos OMON 12sincos3cos2sin2cos22 11sin(2) 44444 ， 由sin(2)1 4 即 5 8 或 13 8 时， 22 41 |OMON 取得最小值 2 1 4 选修选修 4-5：不

43、等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xxx （1）求不等式( )6f xx 的解集； （2）记( )f x的最小值为m，正实数a，b满足abm，证明： 11 1 m ambmm 第 21页（共 21页） 【解答】解： （1）|1|1|6xxx等价为 1 1 16 x xx x 或 11 1 16 x xx x 或 1 116 x xxx ， 解得21x 或11x 或16x ， 所以原不等式的解集为 2，6； （2）证明：由( ) |1|1|1 1| 2f xxxxx ，当11x 时，取得等号， 所以2m ，即有2ab，a，0b ， 则 11111 (22)() 22622 ab abab 12212 (1 1)(22) 62263 ba ab ， 当且仅当22ab，即1ab时，取得等号 所以 11 1 m ambmm