2021年湖南省高考数学联考试卷（3月份）.docx

1、第 1页（共 18页） 2021 年湖南省高考数学联考试卷（年湖南省高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax xx， |Bx xa，若 |1ABx axa ，则 (a ) A2B1C0D1 2 （5 分）若(1)(1)zii，则(z ) A 11 22 iB 11 22 iC 11 22 iD 11 22 i 3 （5 分） “a，b，c成等比数列”是“ 2 a， 2

2、 b， 2 c成等比数列”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）2019 年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成 了重要的防疫物资某口罩生产厂不断加大投入，提高产量现对其在 2020 年 2 月 1 日 2 月 9 日连续 9 天的日生产量 i y（单位：十万只，1i ，2，9)数据做了初步处理，得到 如图所示的散点图那么不可能作为y关于t的回归方程类型的是() Ayab tByablntC t yabeD 2 yabt 5 （5 分）若曲线sin(3)(2 )yx 关于直线 12 x 对称，则的最大值为() A

3、4 B 5 4 C 2 3 D 5 3 6 （5 分）用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取 1 个， 则该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为() A 1 15 B 1 10 C 1 5 D 1 6 7 （5 分）赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由 第 2页（共 18页） 匠师李春设计建造，距今已有 1400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米，拱矢（拱 顶至石拱两脚连线的高度）为 7.23 米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r 为R精确到整数部分的近似值已知双曲线 22 2 :1

4、(0) 192 xy Ca a 的焦距为r，则C的离心 率为()（参考数据： 22 7.2318.85407.6) A5B6C7D8 8 （5 分）在菱形ABCD中，60BAD，将ABD沿BD折起，使A到达 A 的位置，且 二面角ABDC为60，则A D与平面BCD所成角的正切值为() A 3 4 B 7 4 C 3 7 7 D 1 2 二二、选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的

5、得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）若 3 sin 23 ，(0, )，则() A 1 cos 3 B 2 sin 3 C 62 3 sin() 246 D 2 36 sin() 246 10 （5 分）设函数 2 ( )(1)f xlgxx ，则() A 8 7 ( )(log 5) 9 ffB 8 2 ()(log 5) 3 ff C 8 7 (log 5)( ) 9 ffD 27 ()( ) 39 ff 11 （5 分）设函数 2 ( )1 x f xmx e，若对任意a，b， 3c ，1，f（a） ，f（b） ，f（c） 都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值可能为() A 1

6、 2e B 1 3e C 1 e D 1 2e 12（5分） 已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，2ABBC，5PAPC， ABBC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，3PQ ，P与Q都在平面ABC的 同侧，则() 第 3页（共 18页） A三棱锥PABC的体积为 2 3 BPAAB C/ /PCBQD球O的表面积为9 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）已知(0,4)A，( 4,0)B ，(1,2)C，且0GAGBGC ，则点G的坐标为 14

7、（5 分）某公司有职工 800 人，其中不到 30 岁的有 120 人，30 岁到 40 岁的有 400 人， 40 岁以上的有 280 人为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是，40 岁以上的 职工应抽取名 15 （5 分）写出一个关于a与b的等式，使 22 19 ab 是一个变量，且它的最小值为 16，则该 等式为 16 （5 分）已知AB为抛物线 2 4xy的一条长度为 8 的弦，当弦AB的中点离x轴最近时， 直线AB的斜率为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解

8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n na的前n项和为21 n （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 2 n n a的前n项和 n S 18 （12 分）在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分 两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6，第二轮比赛乙 团体获胜的概率为 0.7，第一轮获胜团体有奖金 5000 元，第二轮获胜团体有奖金 8000 元， 未获胜团体每轮有 1000 元鼓励奖金 （1）求甲团体至少胜一轮的概率； （2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额

9、为X元，求X的分布列及其数学期望 19 （12 分）为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与 (D A，B，C，D四点共面） ， 测得1.6ACm，2CDm，1.8BDm， 已知 7 cos 4 BDC ， tan3 7ACD （1）求ACD的面积； （2）求A，B两点间的距离 第 4页（共 18页） 20 （12 分）如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为等边三 角形，点O为BE的中点，且22ACBCOA （1）证明：平面ABE 平面BCE （2）若ABAE，求二面角BCED的正弦值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(1) x

10、y Cab ab 长轴的顶点与双曲线 22 2 :1 4 xy D b 实轴的顶 点相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为 21 7 （1）求C与D的方程； （2）若直线l的倾斜角是直线( 52)yx的倾斜角的 2 倍，且l经过点F，l与C交于A， B两点，与D交于M，N两点，求 | | AB MN 22 （12 分）已知函数 32 31 ( )()3 (0) 2 f xxaxx a a （1）讨论( )f x的单调性 （2）若1a ，且 1 (x a ，)， 3 1 ( ) 2 f xa，求a的取值范围 （3）是否存在正数a，使得( )21f xx对(2,3)x恒成立？若存在，求a的取值范

11、围；若 不存在，请说明理由 第 5页（共 18页） 2021 年湖南省高考数学联考试卷（年湖南省高考数学联考试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax xx， |Bx xa，若 |1ABx axa ，则 (a ) A2B1C0D1 【解答】解： | 13Axx ， |Bx xa， |1ABx axa ， 13a ，解得2a 故选：A 2 （5

12、分）若(1)(1)zii，则(z ) A 11 22 iB 11 22 iC 11 22 iD 11 22 i 【解答】解：(1)(1)zii， 2 22 (1)11 1 1(1)(1)1122 iiiii zi iii ， 则 11 22 zi ，故 11 22 zi 故选：C 3 （5 分） “a，b，c成等比数列”是“ 2 a， 2 b， 2 c成等比数列”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：若a，b，c成等比数列，则 2 bac， 此时 2224 ()a cacb，则 2 a， 2 b， 2 c成等比数列，即充分性成立， 反之当1a

13、，1b ，1c 时满足 2 a， 2 b， 2 c成等比数列，但a，b，c不成等比数列， 即必要性不成立， 即“a，b，c成等比数列”是“ 2 a， 2 b， 2 c成等比数列”的充分不必要条件， 故选：A 4 （5 分）2019 年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成 了重要的防疫物资某口罩生产厂不断加大投入，提高产量现对其在 2020 年 2 月 1 日 2 月 9 日连续 9 天的日生产量 i y（单位：十万只，1i ，2，9)数据做了初步处理，得到 第 6页（共 18页） 如图所示的散点图那么不可能作为y关于t的回归方程类型的是() Ayab tByabln

14、tC t yabeD 2 yabt 【解答】解：由导数的几何意义可知，函数的导数表示该点处切线的斜率， 对于A，yab t，则 2 b y t ，若函数为增函数，则0b ，随着t的增大， y 减小， 故满足条件； 对于B，yablnt，则 b y t ，若函数为增函数，则0b ，随着t的增大， y 减小，故满 足条件； 对于C， t yabe，则 t ybe ，若函数为增函数，则0b ，随着t的增大， y 减小， 故满足条件； 对于D， 2 yabt，则2ybt ，若函数为增函数，则0b ，随着t的增大， y 增大，不 满足条件 故选：D 5 （5 分）若曲线sin(3)(2 )yx 关于直线

15、 12 x 对称，则的最大值为() A 4 B 5 4 C 2 3 D 5 3 【解答】解：sin(3)yx图象关于直线 12 x 对称， 3 122 k ，kZ， 4 k ，kZ， 2，的最大值为 5 4 故选：B 6 （5 分）用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取 1 个， 第 7页（共 18页） 则该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为() A 1 15 B 1 10 C 1 5 D 1 6 【解答】解：用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数， 从这些五位数中随机选取 1 个， 基本事件总数 5 5 120nA， 该五位数

16、满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位包含的基本事件个数： 23212 23222 20mA AA C A， 该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为 201 1206 m P n 故选：D 7 （5 分）赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由 匠师李春设计建造，距今已有 1400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米，拱矢（拱 顶至石拱两脚连线的高度）为 7.23 米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r 为R精确到整数部分的近似值已知双曲线 22 2 :1(0) 192 xy Ca a 的焦距为r，则C的离心 率为()（参考

17、数据： 22 7.2318.85407.6) A5B6C7D8 【解答】解：由题意知， 222 37.7 ()(7.23) 2 RR， 22 14.467.2318.85407.6R， 28.19R， 28r ， 222 192( )14196 2 r a ， 2a， 离心率 14 2 7 2 r e a 故选：C 第 8页（共 18页） 8 （5 分）在菱形ABCD中，60BAD，将ABD沿BD折起，使A到达 A 的位置，且 二面角ABDC为60，则A D与平面BCD所成角的正切值为() A 3 4 B 7 4 C 3 7 7 D 1 2 【解答】解：设AC于BD交于点O，设菱形的边长为 2

18、， 在ABD中，因为60A，2AB ，所以3AO ， 过点 A 作A E平面BCD，垂足为E，连结EO， 因为O为BD的中点，且A DA B，所以A OBD，故EOBD， 所以A OE即为二面角ABDC的平面角， 故60A OE， 连结ED，则A DE即为A D与平面BCD所成的角， 在RtA OE中， 33 sin603 22 A EA O ， 在RtA ED中，2A D， 3 2 A E，所以 22 7 2 DEA DA E， 故 3 3 7 2 tan 77 2 A E A DE DE 故选：C 二二、选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分

19、在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）若 3 sin 23 ，(0, )，则() A 1 cos 3 B 2 sin 3 C 62 3 sin() 246 D 2 36 sin() 246 【解答】解： 3 sin 23 ，(0, )， 第 9页（共 18页） (0,) 22 ， 2 6 cos1 223 sin 则 22 31 cos1212() 233 sin ，故A正确； 362 2 sin2sincos2 22333

20、 ，故B错误； sin()sincoscossin 242424 326262 3 32326 ，故C正确； sin()sincoscossin 242424 326262 3 32326 ，故D错误 故选：AC 10 （5 分）设函数 2 ( )(1)f xlgxx ，则() A 8 7 ( )(log 5) 9 ffB 8 2 ()(log 5) 3 ff C 8 7 (log 5)( ) 9 ffD 27 ()( ) 39 ff 【解答】解：函数 2 ( )(1)f xlgxx ，定义域为R， 22 2 1 ()(1)(1)( ) 1 fxlgxxlglgxxf x xx ， 所以( )

21、f x为奇函数，所以 22 ()( ) 33 ff， 当0 x，)时，由复合函数的单调性可知 2 ( )(1)f xlgxx 单调递增， 因为 37 88 399 25512527 log 4log 5 388229 lglglglg lglglglg ， 所以 8 27 ( )(log 5)( ) 39 fff， 结合选项可知A，B正确 故选：AB 11 （5 分）设函数 2 ( )1 x f xmx e，若对任意a，b， 3c ，1，f（a） ，f（b） ，f（c） 都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值可能为() A 1 2e B 1 3e C 1 e D 1 2e 【解答】解：设函数

22、 2 ( ) x g xx e， 3x ，1，则( )(2) x g xx xe，可得函数( )g x在 3， 第 10页（共 18页） 2)，(0，1上单调递增，在( 2,0)上单调递减 又 3 9 ( 3)g e ， 2 4 ( 2)g e ，(0)0g，g（1）e，可得函数( )g x的值域为0， e 根据f（a） ，f（b） ，f（c）都可以作为一个三角形的三边长， 当0m时，2 (0)ff（1） ，即2 11me ，解得 1 0 m e ； 当0m 时，2 f（1）(0)f，即2(1)1me ，解得 1 0 2 m e 综上可得： 11 2 m ee 故选：BD 12（5分） 已知三

23、棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，2ABBC，5PAPC， ABBC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，3PQ ，P与Q都在平面ABC的 同侧，则() A三棱锥PABC的体积为 2 3 BPAAB C/ /PCBQD球O的表面积为9 【解答】解：如图， 长方体的高为 1，底面是边长为 2 的正方形，满足2ABBC，5PAPC，ABBC， 三棱锥PABC的体积为 112 22 1 323 ，故A正确； 22222222 2213PBPDBDPDABAD， 满足 222 PAABPB，可得PAAB，故B正确； BQ 平面ABC，PD 平面ABC，则/ /BQPD， 假设/ /PCBQ，

24、则/ /PCPD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误； 三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R， 第 11页（共 18页） 则 222 22213R ，即 3 2 R ，可得球O的表面积为 2 3 4( )9 2 ，故D正确 故选：ABD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13（5 分） 已知(0,4)A，( 4,0)B ，(1,2)C， 且0GAGBGC ， 则点G的坐标为( 1,2) 【解答】解：设( , )G x y，因为(0,4)A，( 4,0)B

25、，(1,2)C， 则(,4),( 4,),(1,2)GAxy GBxy GCxy ， 又0GAGBGC ， 所以 410 420 xxx yyy ，解得 1 2 x y ， 所以点G的坐标为( 1,2) 故答案为：( 1,2) 14 （5 分）某公司有职工 800 人，其中不到 30 岁的有 120 人，30 岁到 40 岁的有 400 人， 40 岁以上的有 280 人为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是分层抽样，40 岁以上的职工应抽取名 【解答】解：为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标， 要从

26、中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关， 则应该选择的抽样方法是分层抽样， 40 岁以上的职工应抽取： 280 20070 800 名 故答案为：分层抽样，70 15 （5 分）写出一个关于a与b的等式，使 22 19 ab 是一个变量，且它的最小值为 16，则该 等式为 22 1ab 【解答】解：该等式为 22 1ab，下面证明该等式符合条件 2222 22 22222222 191999 ()()1910216 abab ab ababbaba ， 当且仅当 22 3ba时取等号， 所以 22 19 ab 是一个变量，且它的最小值为 16 第 12页（共 18页） 故答案为

27、： 22 1ab 16 （5 分）已知AB为抛物线 2 4xy的一条长度为 8 的弦，当弦AB的中点离x轴最近时， 直线AB的斜率为1 【解答】解：由题意得抛物线的准线方程为:1l y ，过A作 1 AAl于 1 A，过B作 1 BBl 于 1 B， 设弦AB的中点为M，过M作 1 MMl于 1 M，则 111 2| |MMAABB， 设抛物线的焦点为F，则|AFBFAB，即 11 | |8AABBAFBF（当且仅当 A，B，F三点共线时等号成立） ， 所以 111 | 2|8AABBMM，解得 1 |4MM， 即弦AB的中点到x轴的最短距离为：413 所以点M的纵坐标为 0 (x，3)， 1

28、 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，(0,1)F， 2 11 4xy， 2 22 4xy， 所以直线AB的斜率 01212 120 31 420 xyyxx k xxx ， 0 2x ，此时1k ， 当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为1， 故答案为：1 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n na的前n项和为21 n （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 2 n n a的前n项和 n S 【解答】解： （1）设数列

29、n na的前n项和为 n T，则21 n n T ， 当1n 时， 11 1aT， 第 13页（共 18页） 当2n时， 1 1 21 n n T ， 所以 11 1 21(21)2 nnn nnn naTT ， 1n 时， 1 1a 满足上式， 所以 1 2n n a n ，*nN （2） 21 2n n n an ， 所以 0121 1 2223 22n n Sn ， 123 21 222322n n Sn ， 得 0121 12 222222(1) 21 12 n nnnn n Snnn ， 所以(1) 21 n n Sn 18 （12 分）在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两

30、个团体进行比赛，比赛分 两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6，第二轮比赛乙 团体获胜的概率为 0.7，第一轮获胜团体有奖金 5000 元，第二轮获胜团体有奖金 8000 元， 未获胜团体每轮有 1000 元鼓励奖金 （1）求甲团体至少胜一轮的概率； （2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望 【解答】解： （1）第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为0.60.70.42P ， 第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为0.40.30.12P ， 第一轮甲胜第二轮甲胜的概率0.60.30.18P ， 故甲团体至少胜一轮的概率为0.420.120.180.72；

31、（2）由已知可得X的可能取值为 2000，6000，9000，13000， 则(2000)0.60.30.18P X ，(6000)0.40.30.12P X ， (9000)0.60.70.42P X ，(13000)0.40.70.28P X ， 所以X的分布列如下： X20006000900013000 P0.180.120.420.28 ()20000.1860000.1290000.42130000.288500E X 19 （12 分）为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与 第 14页（共 18页） (D A，B，C，D四点共面） ， 测得1.6ACm

32、，2CDm，1.8BDm， 已知 7 cos 4 BDC ， tan3 7ACD （1）求ACD的面积； （2）求A，B两点间的距离 【解答】解： （1）因为tan3 7ACD，可得 3 7 sin 8 ACD， 所以 2 13 7 sin 25 ACD SAC CDACDm （2）因为tan3 7ACD，所以 1 cos 8 ACD， 所以 222 1 1.622 1.625.76 8 AD ，则2.4AD ， 因为 222 3 cos 24 ADCDAC ADC AD CD ，所以 7 sin 4 ADC， 又 7 cos 4 BDC ， 所以 2 ADB ， 所以 2222 2 41 8

33、3ABADBDm 20 （12 分）如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为等边三 角形，点O为BE的中点，且22ACBCOA （1）证明：平面ABE 平面BCE （2）若ABAE，求二面角BCED的正弦值 第 15页（共 18页） 【解答】 （1）证明：连接OC，因为BCE为等边三角形，所以OCBE， 因为2AC ，1OA ， 3 23 2 OC ，所以 222 ACAOOC，所以OCOA， 又因为OABEO ，所以OC 平面ABE， 又因为OC 平面BCE，所以平面BCE 平面ABE， 故平面ABE 平面BCE （2）解：因为ABAE，所以OABE，所以OE、OC、

34、OA两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， (1E，0，0)，( 1B ，0，0)，(0A，0，1)，(0C，3，0)， ( 1EC ，3，0)，(1CDBA ，0，1)，设平面ECD的法向量为(mx ，y，) z， 30 0 EC mxy CD mxz ，令3x ，( 3m ，1，3)， 平面BEC的法向量为(0n ，0，1)， 设二面角BCED的大小为， 则 |33 |cos| | |77 1 m n mn ， 32 7 sin1 77 ， 所以二面角BCED的正弦值为 2 7 7 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(1) xy Cab ab 长轴的顶点与双曲线 22 2 :

35、1 4 xy D b 实轴的顶 点相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为 21 7 （1）求C与D的方程； 第 16页（共 18页） （2）若直线l的倾斜角是直线( 52)yx的倾斜角的 2 倍，且l经过点F，l与C交于A， B两点，与D交于M，N两点，求 | | AB MN 【解答】解： （1）因为椭圆C长轴的顶点与双曲线D实轴的顶点相同， 所以2a ， 双曲线D的渐近线为 2 b yx ，即20bxy， 所以右焦点( ,0)F c到渐近线20bxy的距离为 2 |21 7 4 bc b ， 又 222 abc， 由解得 2 3b ， 2 1c ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy

36、，双曲线的方程为 22 1 43 xy （2）设直线( 52)yx倾斜角为，则tan52， 所以 2 2 2tan2( 52)1 tan2 121( 52)tan ， 所以直线l的方程为 1 (1) 2 yx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (M x， 3) y， 4 (N x， 4) y， 联立 22 1 (1) 2 1 43 yx xy ，得 2 42110 xx， 所以 12 1 2 xx， 12 11 4 x x ， 所以 222 121212 1115 |1|1()4111 444 ABkxxkxxx x， 联立 22 1 (1) 2 1 43 yx

37、 xy ，得 2 22130 xx， 所以 34 1xx ， 34 13 2 x x ， 所以 222 343434 13 15 |1|1()41126 42 MNkxxkxxx x， 第 17页（共 18页） 所以 15 |15 4 |63 15 2 AB MN 22 （12 分）已知函数 32 31 ( )()3 (0) 2 f xxaxx a a （1）讨论( )f x的单调性 （2）若1a ，且 1 (x a ，)， 3 1 ( ) 2 f xa，求a的取值范围 （3）是否存在正数a，使得( )21f xx对(2,3)x恒成立？若存在，求a的取值范围；若 不存在，请说明理由 【解答】解

38、： （1） 2 1 ( )33()3fxxax a ， 令( )0fx，解得：xa或 1 x a ， 当1a 时，( ) 0fx，( )f x在R单调递增， 当01a时， 1 a a ， 由( )0fx，得 1 ( ,)xa a ，由( )0fx，得(x ， 1 )(a a ，)， 故( )f x在 1 ( ,)a a 上单调递减，在(, )a， 1 (a，)单调递增， 当1a 时， 1 a a ， 由( )0fx，得 1 (x a ，)a，由( )0fx，得：(x ， 1) (a a ，)， 故( )f x在 1 (a，)a上单调递减，在 1 (,) a ，( ,)a 单调递增， 综上：当1

39、a 时，( )f x在R单调递增， 当01a时，( )f x在 1 ( ,)a a 上单调递减，在(, )a， 1 (a，)单调递增， 当1a 时，( )f x在 1 (a，)a上单调递减，在 1 (,) a ，( ,)a 单调递增； （2）1a ，( )f x在 1 (a，)a单调递减，在( ,)a 单调递增， 故( )minf xf（a） 3 1 2 a，整理得： 3 3 2 aa，又1a ，故 6 1 2 a， 故a的取值范围是 6 (1,) 2 ； （3）( )21f xx， 3 2 311 () 2 xx a ax 在(2,3)x上恒成立， 第 18页（共 18页） 设 2 11 ( )g xx xx ， 3 233 122 ( )1 xx g x xxx ， 设 3 ( )2k xxx，则 2 ( )31k xx， 当(2,3)x时，( )0k x，故( )k x在(2,3)上单调递增，( )k xk（2）40， 故( )0g x在(2,3)恒成立，( )g x在(2,3)单调递增， 则( )g xg（2） 11 4 ，又 11 22aa aa ， （当且仅当1a 时“”成立） ， 故 3111 () 3 24 a a ， 故不存在正数a，使得( )21f xx对(2,3)x恒成立