2021年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |560Ax xx， |2Bx yx，则AB 等于() A(2,3)B2，3)C2，6)D( 1，2 2 （5 分）若复数z满足(1)1zii ，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为() A1B1CiDi 3（5 分） 设非零向量a ，b 满足| 4

2、|ab ，cosa ， 1 4 b ，()30aab ， 则| (b ) A2B3C2D5 4 （5 分）地铁某换乘站设有编号为 1 m， 2 m， 3 m， 4 m的四个安全出口，若同时开放其中 的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 1 m， 2 m 2 m， 3 m 3 m， 4 m 1 m， 3 m 疏散乘客时间( ) s120140190160 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是() A 1 mB 2 mC 3 mD 4 m 5 （5 分）函数 2 ( ) |1| x x f x e 的图象大致为() AB CD 6 （5 分）习近平同志提出：乡村振兴

3、，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人 返乡创业2020 年 1 月 8 日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发关于进 第 2页（共 22页） 一步推动返乡入乡创业工作的意见意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进 一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业促进农村一、二、三产业融合发 展，实现更充分、更高质量就业为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展 “创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差 数列 n a（单位：万元，*)nN，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资 金 1 a的 3 倍， 已知

4、22 12 72aa 则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为() A72 万元B96 万元C120 万元D144 万元 7 （5 分）设点( 3M，3)在圆 222( 0)xyrr外，若圆O上存在点N，使得 4 OMN ， 则实数r的取值范围是() A 3,2 2B2 2,2 3)C 6,2 2)D 6,2 3) 8 （5 分）已知4 3aln ，3 4bln ， 3 4cln，则a，b，c的大小关系是() AcbaBbcaCbacDabc 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中

5、，有有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）2.5PM是评估空气质量的一个重要指标，我国2.5PM标准采用世卫组织设定的 最宽限值，即2.5PM日均值在 3 35/g m以下空气质量为一级，在 3 35 75/g m之间空气质 量为二级，在 3 75/g m以上空气质量为超标如图为某地区 2021 年 2 月 1 日到 2 月 12 日 的2.5PM日均值（单位： 3 /)g m的统计图，则下列叙述正确的是() A该地区这 12 天中空气质量超标的日期为 2 月 6 日 B

6、该地区这 12 天2.5PM日均值的中位数为 3 51/g m 第 3页（共 22页） C该地区这 12 天2.5PM日均值的平均数为 3 53/g m D该地区从 2 月 6 日到 2 月 11 日的2.5PM日均值持续减少 10 （5 分）已知函数( )sincos(0f xxax a，0)的最大值为 2则使函数( )f x在 区间0，3上至少取得两次最大值的充分不必要条件是() A2B3C4D5 11 （5 分）如图，正方形ABCD的边长为 1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿 对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是() A异面直线AC与MN所成

7、的角为定值 B存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C三棱锥NACM与BACD体积之比值为定值 D四面体ABCD的外接球体积为 2 3 12 （5 分）已知函数 | | ( )sin x f xex，则下列结论正确的是() A( )f x是周期为的奇函数 B( )f x在 3 (,) 44 上为增函数 C( )f x在( 10 ,10 )内有 20 个极值点 D若( )f xax在0， 4 上恒成立，则 4 2 2e a 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45，侧面积为4

8、3，则该棱锥的体 积为 14 （5 分）若 6 2 1 ()x ax 的展开式中 3 x的系数是3，则它的展开式中的常数项为 15 （5 分） 已知直线ykx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两点A，B，F 为双曲线C的左焦点，且满足| 3|AFBF，|(OAb O为坐标原点） ，则双曲线C的离心 第 4页（共 22页） 率为 16 （5 分）托勒密()Ptolemy是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其 名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知 凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是

9、其两条对角线，ABAD， 120BAD，6AC ，则四边形ABCD的面积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在条件sincos() 6 aBbA ， 2 5 cos ()cos 24 AA ，sinsin 2 BC A 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3AB AC ，3a ，bc， _，求bc 18 （12 分）已知数列 n a的首项 1 1a ，前n项和为 n S，且数列 n S n 是以

10、 1 为公差的等差 数列 （1）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T； （2）设等比数列 n c的首项为 2，公比为(0)q q ，其前n项和为 n P，若存在正整数m，使 得 3 S是 m S与 3 P的等比中项，求q的值 19 （12 分） 如图所示， 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD， 1 2 ADABCD，60DAB， 点E，F分别为CD，AP的中点 （1）证明：/ /PC面BEF； （2）若PAPD，且PAPD，面PA 面ABCD，求二面角CBEF的余弦值 20 （12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” 某路 桥公司为掌握春节期

11、间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 9:20 10:40这一时间段内通过的车辆数， 统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费 点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20 9:40记作区 第 5页（共 22页） 20，40)，9:40 10:00记作40，60)，10:00 10:20记作60，80)，10:20 10:40记 作80，100)，例如 10 点 04 分，记作时刻 64 （1）估计这 600 辆车在9:20 10:40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数 据用该组区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分

12、析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在9:20 10:00之间通过的车辆数为X，求X的 分布列与数学期望； （3） 由大数据分析可知， 车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中 可用这 600 辆车在9:20 10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本 的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在9:46 10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数） 若 2 ( ,)TN 则()0.6827PT

13、，(22 )0.9545PT， (33 )0.9973PT 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是椭圆E上 的一动点，且 1 |PF的最小值是 1，当 1 PF垂直长轴时， 1 3 | 2 PF （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在斜率为1的直线l与以线段 12 F F为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相 交于C、D两点，且 24 2 | | 7 CDAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理 由 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )1 2 f xlnxax （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线与

14、直线0 xy垂直，求函数( )yf x在(0，1最大 值； 第 6页（共 22页） （2）当1a 时，设函数( )f x的两个零点为 1 x， 2 x，试证明： 12 2xx 第 7页（共 22页） 2021 年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |560Ax xx， |2Bx y

15、x，则AB 等于() A(2,3)B2，3)C2，6)D( 1，2 【解答】解： | 16Axx ， |2Bx x， 2AB ，6) 故选：C 2 （5 分）若复数z满足(1)1zii ，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为() A1B1CiDi 【解答】解：由(1)1zii ，得 22 22 1(1)122 1(1)(1)112 iiiii zi iii ， zi 故选：A 3（5 分） 设非零向量a ，b 满足| 4|ab ，cosa ， 1 4 b ，()30aab ， 则| (b ) A2B3C2D5 【解答】解：非零向量a ，b 满足| 4|ab ，cosa ， 1 4 b ，()30

16、aab ，可得 222 1630aa bbb ， 解得|2b 故选：A 4 （5 分）地铁某换乘站设有编号为 1 m， 2 m， 3 m， 4 m的四个安全出口，若同时开放其中 的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 1 m， 2 m 2 m， 3 m 3 m， 4 m 1 m， 3 m 疏散乘客时间( ) s120140190160 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是() A 1 mB 2 mC 3 mD 4 m 【解答】解：由同时开放 2 m， 3 m疏散 1000 名乘客所需的时间为140s，同时开放 3 m， 4 m疏 第 8页（共 22页） 散 100

17、0 名乘客所需的时间为190s，所以 2 m比 4 m疏散乘客快， 由同时开放 3 m， 4 m疏散 1000 名乘客所需的时间为190s，同时开放 1 m， 3 m疏散 1000 名乘 客所需的时间为160s，所以 1 m比 4 m疏散乘客快， 由同时开放 2 m， 3 m疏散 1000 名乘客所需的时间为140s，同时开放 1 m， 3 m疏散 1000 名乘 客所需的时间为160s，所以 2 m比 1 m疏散乘客快， 由同时开放 1 m， 2 m疏散 1000 名乘客所需的时间为120s，同时开放 2 m， 3 m疏散 1000 名乘 客所需的时间为140s，所以 1 m比 3 m疏散乘

18、客快， 综上所述： 21 mm， 13 mm， 14 mm， 23 mm， 所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是 2 m， 故选：B 5 （5 分）函数 2 ( ) |1| x x f x e 的图象大致为() AB CD 【解答】解：函数( )f x为非奇非偶函数，图象不对称，排除C， 当x ，( )0f x ，排除D， ( )0f x 恒成立，排除A， 故选：B 6 （5 分）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人 返乡创业2020 年 1 月 8 日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发关于进 一步推动返乡入乡创业工作的意见意见指出，要贯彻落实党中

19、央、国务院的决策部署，进 一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业促进农村一、二、三产业融合发 展，实现更充分、更高质量就业为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展 第 9页（共 22页） “创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差 数列 n a（单位：万元，*)nN，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资 金 1 a的 3 倍， 已知 22 12 72aa 则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为() A72 万元B96 万元C120 万元D144 万元 【解答】解：由题意，五年累计总投入资金为： 1234513131

20、12 535155(3)10()aaaaaaaaaaaa， 而 2222 12112212 10()10210 2()120aaaa aaaa， 当且仅当 12 aa时等号成立， 预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为 120 万元 故选：C 7 （5 分）设点( 3M，3)在圆 222( 0)xyrr外，若圆O上存在点N，使得 4 OMN ， 则实数r的取值范围是() A 3,2 2B2 2,2 3)C 6,2 2)D 6,2 3) 【解答】解：如图所示， 222( 0)xyrr上存在点N使得 4 OMN ， 则OMN的最大值大于或者等于 4 时，一定存在点N，使得 4 OMN ， 当

21、MN与圆相切时，OMN取得最大值， 此时， |2 sin |22 3 ONON OMN OM ， 解得：|6rON， 又( 3,3)M在圆外，2 3r， 第 10页（共 22页） 综上可得，62 3r 故选：D 8 （5 分）已知4 3aln ，3 4bln ， 3 4cln，则a，b，c的大小关系是() AcbaBbcaCbacDabc 【解答】解： 4 3aln ， 3 4bln ， 12 cln， 312 2 4(2 ) ，且 2 2， 1212 2 (2 ) ， 412 3 3(3 ) ，且 3 27， 1212 3 (3 ) ， 3124 43 ， bca 故选：B 二二、多项选择题

22、多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）2.5PM是评估空气质量的一个重要指标，我国2.5PM标准采用世卫组织设定的 最宽限值，即2.5PM日均值在 3 35/g m以下空气质量为一级，在 3 35 75/g m之间空气质 量为二级，在 3 75/g m以上空气质量为超标如图为某地区 2021 年 2 月 1 日到 2 月 12 日 的2.5

23、PM日均值（单位： 3 /)g m的统计图，则下列叙述正确的是() A该地区这 12 天中空气质量超标的日期为 2 月 6 日 第 11页（共 22页） B该地区这 12 天2.5PM日均值的中位数为 3 51/g m C该地区这 12 天2.5PM日均值的平均数为 3 53/g m D该地区从 2 月 6 日到 2 月 11 日的2.5PM日均值持续减少 【解答】解：对于A，这 12 天中只有 2 月 6 日的2.5PM日均值大于 3 75/ug m，所以 2 月 6 日空气质量超标，A正确； 对于B，这 12 天的2.5PM日均值按从小到大顺序排列后，位于第 6 和第 7 的日均值为 50

24、 和 53， 所以中位数是 3 5053 51.5(/) 2 ug m ，B错误； 对于C，计算平均数为 3 1 (554556656882534642363850)53(/) 12 ug m，所以C正确； 对于D，2 月 11 日的2.5PM日均值大于 2 月 10 日的2.5PM日均值，所以D错误 故选：AC 10 （5 分）已知函数( )sincos(0f xxax a，0)的最大值为 2则使函数( )f x在 区间0，3上至少取得两次最大值的充分不必要条件是() A2B3C4D5 【解答】解： 2 ( )sincos1sin()f xxaxax，tana，( )f x的最大值为 2，

25、2 12a， 解得3a 或3a （舍去） ， ( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ， 当2() 32 xkkZ 时，函数( )f x取得最大值， 当0 x 时，取得前两个最大值时，k分别为 0 和 1， 当1k 时，由2 32 xk ， 得 13 3 6 x ，所以 13 18 ， 故选：BCD 11 （5 分）如图，正方形ABCD的边长为 1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿 第 12页（共 22页） 对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是() A异面直线AC与MN所成的角为定值 B存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C三棱锥N

26、ACM与BACD体积之比值为定值 D四面体ABCD的外接球体积为 2 3 【解答】解：对于A，取AC中点O，连接OB，OD，则ACOB，且ACOD， AC平面OBD，ACBD，异面直线AC与BD所成的角为90， 又/ /MNBD，异面直线AC与MN所成的角为定值，故A正确； 对于B，若直线AD与直线BC垂直， 直线AB与直线BC也垂直，则直线BC 平面ABD， 直线BC 直线BD，又BDAC，BD平面ABC，BDOB， 而OBD是以OB和OD为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误； 对于C，M，N分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点， ACD与ACN面积比为2:1， B到面ACD的距离与

27、M到面ACN的距离之比为2:1， 三棱锥NACM与BACD体积之比值为定值 1 4 ，故C正确； 对于D，外接球球心O在AC中点，由题意解得外接球半径 2 2 R ， 四面体ABCD的外接球体积为 3 422 () 323 V ，故D正确 故选：ACD 12 （5 分）已知函数 | | ( )sin x f xex，则下列结论正确的是() 第 13页（共 22页） A( )f x是周期为的奇函数 B( )f x在 3 (,) 44 上为增函数 C( )f x在( 10 ,10 )内有 20 个极值点 D若( )f xax在0， 4 上恒成立，则 4 2 2e a 【解答】解：( )f x的定义

28、域是R， | ()sin()( ) x fxexf x ， ( )f x是奇函数，但 | ()sin()sin( ) xx f xexexf x ， ( )f x不是周期为的函数，故A错误； 当( 4 x ，0)时，( )sin x f xex ，( )(cossin )0 x fxexx ，( )f x单调递增， 当 3 (0,) 4 x 时，( )sin x f xex， ( )(sincos )0 x fxexx，( )f x单调递增， 且( )f x在( 4 ， 3 ) 4 连续，故( )f x在( 4 ， 3 ) 4 单调递增，故选项B正确； 当0 x，10 )时，( )sin x

29、f xex，( )(sincos ) x fxexx， 令( )0fx，得(1 4 xkk ，2，3，4，5，6，7，8，9，10)， 当( 10 ,0)x 时，( )sin x f xex ，( )(cossin ) x fxexx ， 令( )0fx，得(1 4 xkk ，2，3，4，5，6，7，8，9，10)， 故( )f x在( 10 ,10 )内有 20 个极值点，故选项C正确； 当0 x 时，( )0 0f xax，则aR， 当(0 x， 4 时， sin ( ) x ex f xaxa x ， 设 sin ( ) x ex g x x ，则 2 ( sincossin ) ( )

30、 x exxxxx g x x ， 令( )sincossinh xxxxxx，(0 x， 4 ， ( )sin(cossin )0h xxxxx ，( )h x单调递增， ( )(0)1h xh， ( )0g x ，( )g x在(0， 4 单调递增， 第 14页（共 22页） 4 4 2 2 2 2 ( )() 4 4 max e e g xg ，故选项D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45，侧面积为4 3，则该棱锥的体 积为 4 2 3 【解答】解

31、：设正四棱锥底面边长为2a，且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45，则四 棱锥的高为：2a，侧面积为4 3，所以每个侧面的面积为：3， 1 233 2 aa，所以1a ， 正四棱锥的高为：2，所以该棱锥的体积为： 2 14 2 22 33 故答案为： 4 2 3 14 （5 分）若 6 2 1 ()x ax 的展开式中 3 x的系数是3，则它的展开式中的常数项为 15 4 【解答】解：展开式的通项为 66 3 166 2 11 ()() rrrrrr r TC xCx axa ， 令633r，解得1r ， 所以 3 x的系数为 11 6 16 ()3C aa ，解得2a ， 所以二项式 6 2

32、1 () 2 x x 的常数项为 22 6 115 () 24 C， 故答案为： 15 4 第 15页（共 22页） 15 （5 分） 已知直线ykx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两点A，B，F 为双曲线C的左焦点，且满足| 3|AFBF，|(OAb O为坐标原点） ，则双曲线C的离心 率为3 【解答】解：设|BFm，则| 3| 3AFBFm， 取双曲线的右焦点 F ，连接 AF ， BF ， 可得四边形AF BF为平行四边形， 可得| |AFBFm ，设A在第一象限，可得32mma，即ma， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得 22

33、22 (2 )(2 )2(9)bcaa， 化为 22 3ca，则3 c e a 故答案为：3 16 （5 分）托勒密()Ptolemy是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其 名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知 凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，ABAD， 120BAD，6AC ，则四边形ABCD的面积为9 3 【解答】解：在ABD中，ABa，由余弦定理可得3BDa， 由托勒密定理可得()3a BDCDACa， 即3BCCDAC，又30ABDACDB ，30ABDACD ， 所以四边形ABCD的面积

34、 11 sin30sin30 22 SBC ACCD AC 第 16页（共 22页） 2 13 ()9 3 44 BCCDACAC 故答案为：9 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在条件sincos() 6 aBbA ， 2 5 cos ()cos 24 AA ，sinsin 2 BC A 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3AB AC ，3a ，bc， _，求bc 【解答】解：若选择条件，

35、因为sincos() 6 aBbA ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得sinsinsincos() 6 ABBA ， 因为sin0B ，所以 31 sincos()cossin 622 AAAA ，可得tan3A ， 因为0A，可得 3 A ， 因为3AB AC ，所以cos3bcA ， 所以6bc ， 又由余弦定理可得 2222 2cos()abcbcAbcbc，bc， 所以3bc 若选择条件，因为 2 5 cos ()cos 24 AA ， 所以 2 1 coscos0 4 AA，可得 1 cos 2 A ， 因为(0, )A，所以 3 A 下同选 若选择条件，sinsin

36、2 BC A ， 因为BCA，所以sinsin 2 A A ，所以cos2sincos 222 AAA ， 因为(0, )A，所以(0,) 22 A ，所以cos0 2 A ， 所以 1 sin 22 A ，所以 26 A ，所以 3 A 下同选 第 17页（共 22页） 18 （12 分）已知数列 n a的首项 1 1a ，前n项和为 n S，且数列 n S n 是以 1 为公差的等差 数列 （1）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T； （2）设等比数列 n c的首项为 2，公比为(0)q q ，其前n项和为 n P，若存在正整数m，使 得 3 S是 m S与 3 P的等比中项，

37、求q的值 【解答】解： （1）由题设可得： 1 1 1 n SS nn n ，即 2 n Sn， 又当2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 当1n 时， 1 1a 也适合上式， 21 n an， 1 11111 () (21)(21)2 2121 nn a annnn ， 11111111 (1)(1) 2335212122121 n n T nnnn ； （2）由（1）可知： 2 n Sn， 由 33m SSP得： 22 9(222)mqq， 2 2 9 222qq m ， 0q ， 2 9 2 m ， * mN，1m或 2， 当1m 时， 2 2229qq，解得： 11

38、5 2 q （舍负） ， 当2m 时， 2 9 222 4 qq，解得： 26 4 q （舍负） ， 151 2 q 或 62 4 19 （12 分） 如图所示， 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD， 1 2 ADABCD，60DAB， 点E，F分别为CD，AP的中点 （1）证明：/ /PC面BEF； （2）若PAPD，且PAPD，面PA 面ABCD，求二面角CBEF的余弦值 第 18页（共 22页） 【解答】解： （1）证明：连接AC，交BE于点H，连接FH， ABCE，HABHCE ，BHACHA ， ABHCEH ，AHCH，/ /FHPC， FH 面FBE，PC 平面FBE， / /

39、PC面FBE （2）取AD中点O，连接PO，OB， 由PAPD，POAD， 面PAD 面ABCD，PO面ABCD， 由60DAB，ADAB，OBAD， 以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设2AD ，则(1A，0，0)，(0B，3，0)，( 1D ，0，0)，(0P，0，1)， 11 ( ,0, ) 22 F， (2,0,0)EBDA ， 11 ( ,3, ) 22 BF ， (0n ，0，1)为面BEC的一个法向量， 设面FBE的法向量为(mx ，y，) z， 则 20 11 30 22 EB mx BF mxyz ，取3y ，得(0m ，3，6)， 62 39 co

40、s, | |1339 m n m n mn ， 第 19页（共 22页） 二面角CBEF为钝角， 二面角CBEF的余弦值为 2 39 13 20 （12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” 某路 桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 9:20 10:40这一时间段内通过的车辆数， 统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费 点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20 9:40记作区 20，40)，9:40 10:00记作40，60)，10:00 10:20记作60，80)，10:2

41、0 10:40记 作80，100)，例如 10 点 04 分，记作时刻 64 （1）估计这 600 辆车在9:20 10:40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数 据用该组区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在9:20 10:00之间通过的车辆数为X，求X的 分布列与数学期望； （3） 由大数据分析可知， 车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中 可用这 600 辆车在9:20 10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，

42、2 可用样本 的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在9:46 10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数） 若 2 ( ,)TN 则()0.6827PT，(22 )0.9545PT， (33 )0.9973PT 【解答】解： （1）这 600 辆车在9:20 10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为 (300.005500.015700.025900.010)2064，即10:04 （2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在10:00前通过的车 辆数就是位于时间分组中在20，60)这一

43、区间内的车辆数，即(0.0050.015)20 104， 第 20页（共 22页） 所以X的可能的取值为 0，1，2，3，4 所以 4 6 4 10 1 (0) 14 C P X C ， 13 46 4 10 8 (1) 21 C C P X C ， 22 46 4 10 3 (2) 7 C C P X C ， 31 46 4 10 4 (3) 35 C C P X C ， 4 4 4 10 1 (4) 210 C P X C ， 所以X的分布列为： X01234 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 所以 183418 ()01234 14217352105 E X （3）由

44、（1）得64， 22222 (3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324， 所以18，估计在9:46 10:40之间通过的车辆数也就是在46，100)通过的车辆数， 由(64TN， 2 18 )，得， ()(22 ) (6418642 18)0.8186 22 PTPT PT ， 所以估计在在9:46 10:40之间通过的车辆数为10000.8186819辆 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是椭圆E上 的一动点，且 1 |PF的最小值是 1，当 1 PF垂直长轴时， 1 3 | 2

45、 PF （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在斜率为1的直线l与以线段 12 F F为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相 交于C、D两点，且 24 2 | | 7 CDAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理 由 第 21页（共 22页） 【解答】解： （1）由题意，点P在椭圆上的一个动点，且 1 |PF的最小值为 1，得1ac， 因为当 1 PF垂直长轴时， 1 3 | 2 PF ，所以 2 3 2 b a ，即 2 23ba， 又由 222 abc，解得2a ，3b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （2）假设存在斜率为1的直线l，设为yxm ， 由（1）知， 1

46、( 1,0) F ， 2(1,0) F， 所以以线段 12 F F为直径的圆为 22 1xy， 由题意，圆心(0,0)到直线l的距离 | 1 2 m d ，得|2m ， 所以 2 22 | 2 12 122 2 m ABdm， 联立 22 1 43 xy yxm ，得 22 784120 xmxm， 由题意， 2222 ( 8 )4 7(412)3364848(7)0mmmm ， 解得 2 7m ，又|2m ，所以 2 2m ， 设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 则 12 8 7 m xx， 2 12 412 7 m x x ， 所以 22 211212 |1|2()

47、4CDkxxxxx x 22 2 84124 6 7 2()4 777 mmm ， 若 24 7 | 7 CDAB ， 则 22 4 624 2 227 77 mm， 所以 42 980mm，解得 2 1m ，或 2 8m ， 又 2 2m ，所以 2 1m ，即1m ， 故存在符合条件的直线l，其方程为1yx 或1yx 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )1 2 f xlnxax 第 22页（共 22页） （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线与直线0 xy垂直，求函数( )yf x在(0，1最大 值； （2）当1a 时，设函数( )f x的两个零点为 1 x， 2 x，试证明：

48、12 2xx 【解答】解： （1）函数 2 1 ( )1 2 f xlnxax的定义域为(0,)， 1 ( )fxax x ， ( )yf x在1x 处的切线与直线0 xy垂直， 112aa ， 由 1 ( )20fxx x ， 2 2 x （负值舍去） ， 所以函数( )f x在 2 (0,) 2 上单调递增，在 2 ( 2 ，1)单调递减， 故( )f x有最大值 221 ) 222 fln （2）当1a 时， 2 1 ( )1 2 f xlnxx 2 1 ( ) x fx x 函数( )f x在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减 且f（1）0，f（e）0， 1 ( )0f e ， 故函数( )f x的两个零点为 1 x， 2 x满足 12 01xx， 令( )( )(2)F xf xfx，01x， 222 11(2)2(1) ( )( )(2)0 2(2) xxx F xfxfx xxxx 在(0,1)恒成立， ( )F x在(0,1)递增，( )F xF（1）0在(0,)恒成立， 11 ()(2)f xfx，又 12 ()()f xf x， 21 ()(2)f xfx， 2 1x ， 1 21x，又(f x在(1,)单调递减， 21 2xx，即 12 2xx