2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一）（一模）.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一） （一模）（一模） 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若() R MN ，则下列结论错误 的是() AxN ，xMBxN ，xMCxM ，xNDxN ，xM 2 （5 分）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力 学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三

2、大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了 圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的 三分之二那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为() A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 3 4 3 （5 分）已知向量(1,1)a ，( 1,3)b ，(2,1)c ，且() / /abc ，则() A3B3C 1 7 D 1 7 4 （5 分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑 娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右支与直线0 x ，

3、4y ，2y 围成的曲边四边形ABMN绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 10 3 3 ，下底外直径为 2 39 3 ， 则双曲线C的离心率为() A2B2C3D3 5 （5 分）2021 年 2 月 25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习近平总 书记庄严宣告， 我国脱贫攻坚取得了全面胜利， 同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡 村振兴有效衔接各项工作某县扶贫办积极响应党的号召，准备对A乡镇的三个脱贫村进 第 2页（共 21页） 一步实施产业帮扶现有“特色种养” 、 “庭院经济” 、 “农产品加工”三类帮扶产业，每类产 业中都有两个不同的帮扶项目，

4、 若要求每个村庄任意选取一个帮扶项目 （不同村庄可选取同 一个项目） ，那么这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为() A 2 9 B 1 6 C 1 3 D 2 5 6 （5 分）若正实数a，b满足1ab，且ab，则下列结论正确的是() A()0ln abB ba abC2abD 11 4 ab 7 （5 分）已知圆 22 :1C xy，直线:20l xy，P为直线l上的动点，过点P作圆C 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点() A 11 (,) 22 B( 1, 1) C 1 1 (, ) 2 2 D 11 ( ,) 22 8 （5 分）已知函数 2 ,0, ( )

5、( ) |2| ,0, x x f xg xxx lnx x ，若方程( ( )( )0f g xg xm的所有 实根之和为 4，则实数m的取值范围为() A1m B1mC1m D1m 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）若mR，则复数 1 mi i 在复平面内所对应的点可能在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 10

6、 （5 分）某学校为了解高一、高二学生参加体育活动的时间情况，分别统计了这两个年 级学生某周的活动时间，并制成了如图所示的条形图进行比较则下列说法中正确的是( ) A高二年级学生周活动时间的众数比高一年级的大 B高二年级学生周活动时间的平均值比高一年级的小 C高二年级学生周活动时间的中位数比高一年级的大 D高二年级学生周活动时间的方差比高一年级的小 第 3页（共 21页） 11 （5 分）若函数 2100, 3 f xsinx 在上恰有三个零点，则() A的取值范围为 13 7 , ) 6 2 B( )f x在0，上恰有两个极大值点 C( )f x在(0,) 2 上无极小值点 D( )f x在

7、0， 4 上单调递增 12 （5 分）如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 11 3AC ，1BD ，直线 11 AC与BD所成 的角为60， 1 2 2AA ，三棱锥 11 ABC D的体积为 1 2 ，则() A四棱柱 1111 ABCDABC D的底面积为 3 4 B四棱柱 1111 ABCDABC D的体积为 3 2 C四棱柱 1111 ABCDABC D的侧棱与底面所成的角为45 D三棱锥 1 AABD的体积为 1 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 4 cos() 105 x ，则

8、3 sin(2) 10 x 14 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，A，B是抛物线C上的两点，O为 坐标原点，若A，F，B三点共线，且3OA OB ，则p 15 （5 分）已知数列 n a满足 12 2aa， 2 1cos nn aan ，则数列 n a的前 100 项的 和等于 16 （5 分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动（不与A，B重合） ，PA 平 面ABC，若2AB ，二面角ABCP等于60，则三棱锥PABC体积的最大值为 第 4页（共 21页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或

9、演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在4a ，ABC的周长为 9，ABC的外接圆直径为 16 15 15 ，这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边， 且 sin21 ,cos sin34 B A C ， _， 求ABC 的面积 18 （12 分）在数列 n a中， 11 1,(0) 1 n n n a aac ca ，且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （1）证明数列 1 n a 是等差数列，并求 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 2 1 (41) nnn bna a ，其前n项和

10、为 n S，证明：1 n Sn 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD 平面ABCD，M是 棱PC的中点，点N在棱PB上，且MNPB （1）求证：/ /PA平面BMD； （2）若2ADCD，直线PC与平面ABCD所成的角为60，求平面DMN与平面PAD所成 的锐二面角的余弦值 20 （12 分）为了对学生进行劳动技术教育，培养正确的劳动观点和态度，养成自立、自强、 艰苦奋斗的思想作风，加强理论联系实际，使学生掌握一定的生产知识和劳动技能，某学校 投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A，B，C三 个等级，其中A，B等级的产品为合格品，

11、C等级的产品为次品质监部门随机抽取了两 个工厂的产品各 100 件，检测结果为：甲厂合格品 75 件，甲、乙两厂次品共 60 件 第 5页（共 21页） （1）根据所提供的数据完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为产品的合格 率与生产厂家有关？ 合格品次品合计 甲厂 乙厂 合计200 （2）每件产品的生产成本为 30 元，每件A，B等级的产品出厂销售价格分别为 60 元，40 元，C等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件 4 元若甲、乙两厂抽到的产品中各有 10 件为A级产品，用样本的频率代替概率，分别说明甲，乙两厂是否盈利 附： 2 2 () ()()()() n adbc K a

12、b cdac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.1000.0500.0100.005 0 k2.7063.8416.6357.879 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点(0,3)M，离心率为 2 2 （1）求C的方程； （2）直线:1l ykx椭圆C相交于A，B两点，求| |MAMB的最大值 22 （12 分）已知函数 2 1 ( ) xaxlnx f x x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若2 ( )3 25f xln，求a的取值范围 第 6页（共 21页） 2021 年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一年山东省聊城市高

13、考数学模拟试卷（一） （一模）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若() R MN ，则下列结论错误 的是() AxN ，xMBxN ，xMCxM ，xNDxN ，xM 【解答】解：因为M，N为R的两个不相等的非空子集，且() R MN ， 所以MN，所以xN ，xM，选项A正确； 所以xN ，xM，选项B正确； 所以xM ，xN，选项

14、C正确； 由xN ，xM知，xN ，xM错误，选项D错误 故选：D 2 （5 分）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力 学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了 圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的 三分之二那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为() A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 3 4 【解答】解：设球的半径为R， 则圆柱的底面半径为R，高为2R， 则圆柱的表面积为 22 2226SRRRR， 球的表面积为 2 4SR 球 圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比

15、为 2 2 42 63 R R 故选：C 第 7页（共 21页） 3 （5 分）已知向量(1,1)a ，( 1,3)b ，(2,1)c ，且() / /abc ，则() A3B3C 1 7 D 1 7 【解答】解：因为(1,13 )ab ，又因为() / /abc ， 所以1 (1)2(13 )710 ，解得 1 7 ， 故选：C 4 （5 分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑 娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右支与直线0 x ，4y ，2y 围成的曲边四边形ABM

16、N绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 10 3 3 ，下底外直径为 2 39 3 ， 则双曲线C的离心率为() A2B2C3D3 【解答】解：由题意可知 5 3 (,4) 3 M， 39 (, 2) 3 N， 故双曲线C经过M，N两点， 则 2 22 2 22 5 3 () 16 3 1 39 () 4 3 1 ab ab ，解得3a ，3b ， 所以 22 2 3cab， 第 8页（共 21页） 则双曲线的离心率为 2 3 2 3 c e a ， 故选：B 5 （5 分）2021 年 2 月 25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习近平总 书记庄严宣

17、告， 我国脱贫攻坚取得了全面胜利， 同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡 村振兴有效衔接各项工作某县扶贫办积极响应党的号召，准备对A乡镇的三个脱贫村进 一步实施产业帮扶现有“特色种养” 、 “庭院经济” 、 “农产品加工”三类帮扶产业，每类产 业中都有两个不同的帮扶项目， 若要求每个村庄任意选取一个帮扶项目 （不同村庄可选取同 一个项目） ，那么这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为() A 2 9 B 1 6 C 1 3 D 2 5 【解答】解：设“特色种养”中的两个帮扶项目为A，B， “庭院经济”中的两个帮扶项目 为C，D， “农产品加工”中的两个帮扶项目为E，F， 所以三个

18、村庄总的方案为666216 种， 按照题目要求，每个项目仅有一个村庄，则共有8648种， 所以这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为 482 2169 故选：A 6 （5 分）若正实数a，b满足1ab，且ab，则下列结论正确的是() A()0ln abB ba abC2abD 11 4 ab 【解答】解：因为正实数a，b满足1ab，且ab，所以 1 1 2 a， 1 0 2 b， 所以01ab， 所以()0ln ab，故A错误； 由指数函数的性质可得 ba aa，由幂函数的性质可得 aa ab， 所以 ba ab，故B错误； 当1a 时，0b ，则12ab，故C错误； 第 9页（共

19、 21页） 1111 ()()2224 aba b ab ababbab a ，故D正确 故选：D 7 （5 分）已知圆 22 :1C xy，直线:20l xy，P为直线l上的动点，过点P作圆C 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点() A 11 (,) 22 B( 1, 1) C 1 1 (, ) 2 2 D 11 ( ,) 22 【解答】解：根据题意，P为直线:20l xy上的动点，设P的坐标为( , 2)tt ， 过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PAAC，PBBC， 则点A、B在以PC为直径的圆上， 又由(0,0)C，( , 2)P tt ，则以PC为直径的圆的方程

20、为()(2)0 x xty yt， 变形可得： 22 (2)0 xytxty， 则有 22 22 1 (2)0 xy xytxty ， 联立可得：1(2)0txty， 变形可得：12()0yt xy， 即直线AB的方程为12()0yt xy， 变形可得：12()0yt xy，则有 120 0 y xy ，解可得 1 2 1 2 x y ，故直线AB过定点 1 ( 2 ， 1) 2 ， 故选：A 8 （5 分）已知函数 2 ,0, ( )( ) |2| ,0, x x f xg xxx lnx x ，若方程( ( )( )0f g xg xm的所有 实根之和为 4，则实数m的取值范围为() A1

21、m B1mC1m D1m 【解答】解：令( )tg x，则0t， 当1m 时，方程即：( )10f tt ，即( )1(0)f tt t ， 由函数图像可得方程有一个根为1t ，另一个根为0t ， 第 10页（共 21页） 即：| (2)| 0 x x 或| (2)| 1x x 结合函数| (2)|yx x的图像可得所有根的和为 5，不合题意 选项BD错误 当0m 时，方程即：( )0f tt ，即( )(0)f tt t ， 由函数图像可得方程有一个根01t 第 11页（共 21页） 即：| (2)|(0 x xt 结合函数| (2)|yx x的图像可得所有根的和为 4，满足题意 选项A错误

22、 事实上，同理可得当1m 时方程的所有根的和为 2 故选：C 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）若mR，则复数 1 mi i 在复平面内所对应的点可能在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 第 12页（共 21页） 【解答】解：因为 ()(1)1(1) 1(1)(1)2 mimiimmi iii ， 当1m 时，复平

23、面内对应的点在第一象限， 当11m 时，复平面内对应的点在第二象限， 当1m 时，复平面内对应的点在第三象限， 故选：ABC 10 （5 分）某学校为了解高一、高二学生参加体育活动的时间情况，分别统计了这两个年 级学生某周的活动时间，并制成了如图所示的条形图进行比较则下列说法中正确的是( ) A高二年级学生周活动时间的众数比高一年级的大 B高二年级学生周活动时间的平均值比高一年级的小 C高二年级学生周活动时间的中位数比高一年级的大 D高二年级学生周活动时间的方差比高一年级的小 【解答】解：对于A，高二年级的学生周活动时间的众数为 5，高一年级的学生周活动时间 的众数为 4， 所以高二年级学生周

24、活动时间的众数比高一年级的大，故选项A正确； 对于B，高一年级学生周活动时间的平均值为：0.25 30.3040.2050.2564.45 ， 高二年级学生周活动时间的平均值为：0.1530.2540.3550.2564.7， 所以高二年级学生周活动时间的平均值比高一年级的大，故选项B错误； 对于C，高一年级学生周活动时间 3，4 对应的频率为0.250.300.5，故中位数为 4， 同理高二年级学生周活动时间的中位数为 5， 所以高二年级学生周活动时间的中位数比高一年级的大，故选项C正确； 对于D，方差表示数据离散程度，高一年级学生周活动时间的频率分布比较平均，数据比 较分散，故方差更大一点

25、， 故高二年级学生周活动时间的方差比高一年级的小，故选项D正确 故选：ACD 第 13页（共 21页） 11 （5 分）若函数 2100, 3 f xsinx 在上恰有三个零点，则() A的取值范围为 13 7 , ) 6 2 B( )f x在0，上恰有两个极大值点 C( )f x在(0,) 2 上无极小值点 D( )f x在0， 4 上单调递增 【解答】解：函数 2100, 3 f xsinx 在上恰有三个零点， 即 1 sin() 32 x ，在0，上恰有 3 个解 当0 x， 33 x ， 3 ， 23 636 ，求得 137 62 ，故A正确； ( )f x在0，上至少有一个极大值，至

26、多 2 个极大值，故B错误； 当(0,) 2 x ，( 33 x ， 1 ) 23 ，( )f x上无极小值，故C正确； 当0 x， 4 ，( 33 x ， 1 ) 43 ，( )f x不一定单调，故D不一定正确， 故选：AC 12 （5 分）如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 11 3AC ，1BD ，直线 11 AC与BD所成 的角为60， 1 2 2AA ，三棱锥 11 ABC D的体积为 1 2 ，则() A四棱柱 1111 ABCDABC D的底面积为 3 4 B四棱柱 1111 ABCDABC D的体积为 3 2 C四棱柱 1111 ABCDABC D的侧棱与底面所成

27、的角为45 D三棱锥 1 AABD的体积为 1 2 【解答】解：选项A：连接AC， 11 3ACAC，而 11 / /ACAC且 11 AC与BD的夹角为60， 第 14页（共 21页） 所以 13 60 24 ABCD SAC BD sin 四边形 ，故选项A正确； 选项B：因为四棱柱的体积与其内接四面体的体积比为3:1， 所以四棱柱 1111 ABCDABC D的体积为 111 3 3 2 ABC D V ，故选项B正确； 选项C： 设四棱柱的高为h， 由选项B可知四棱柱 1111 ABCDABC D的体积为 3 2 ABCD Sh 四边形 ， 所以2h ，设侧棱与底面夹角为，则 1 si

28、n2hAA，解得45，故选项C正确； 选项D：三棱锥 1 AABD的体积为 1 1131 2 3 2384 ABCD Sh，故选项D不正确 故选：ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 4 cos() 105 x ，则 3 sin(2) 10 x 7 25 【解答】解： 4 cos() 105 x ， 22 47 cos(2)2cos ()12()1 510525 xx ， 37 sin(2)sin(2)cos(2) 1052525 xxx 故答案为： 7 25 14 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C

29、 ypx p的焦点为F，A，B是抛物线C上的两点，O为 坐标原点，若A，F，B三点共线，且3OA OB ，则p 2 【解答】解：由题可知，直线AB的斜率不为 0， 故可设直线方程为 2 p xmy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 2 2 2 p xmy ypx ，可得 2 12 y yp ， 22 12 12 2 () 44 y yp x x p ， 因为3OA OB ，所以 1212 3x xy y ， 即 2 4p ，所以2p （负值舍去） 故答案为：2 15 （5 分）已知数列 n a满足 12 2aa， 2 1cos nn aan ，则数列 n a的前

30、 100 项的 和等于2550 第 15页（共 21页） 【解答】解： 2 1cos nn aan ， 12 2aa， 当 * 21()nkkN时，有 2121 1cos(21) 0 kk aak ； 当 * 2 ()nk kN时，有 222 1cos(2)2 kk aak ， 数列 21 n a 是每项均为 1 a的常数列，数列 2 n a是首项为 2 a，公差为 2 的等差数列， 1001212 5049 5050250()504910024502550 2 Saaaa ， 故答案为：2550 16 （5 分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动（不与A，B重合） ，PA 平 面AB

31、C， 若2AB ， 二面角ABCP等于60， 则三棱锥PABC体积的最大值为 8 9 【解答】解：因为C在半圆上，AB为直径，所以ACBC， 因为PA 平面ABC，所以PABC，PAAC， 又因ACPCC ，所以BC 面PAC， 所以BCPC，所以二面角ABCP的平面角为60PCA， 设AC的长度为(02)xx，则在直角三角形ABC中， 2 4BCx，同理可得3PAx， 所以三棱锥PABC体积 222 113 434 366 P ABCABC VSPAxxxx ， 令 2(0 4)axa，则 3 4 6 P ABC Vaa ， 令f（a） 2(4 )aa，(04)a， f （a） 2 83aa

32、，当 8 0 3 a时， f （a）0，f（a）单调递增； 当 8 4 3 a时， f （a）0，f（a）单调递减， 所以当 8 3 a 时，f（a）取最大值 256 27 ，即 3 4 6 aa取最大值 8 9 故答案为： 8 9 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 16页（共 21页） 17 （10 分）在4a ，ABC的周长为 9，ABC的外接圆直径为 16 15 15 ，这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边

33、， 且 sin21 ,cos sin34 B A C ， _， 求ABC 的面积 【解答】解：在ABC中，由 sin2 sin3 B C 及正弦定理，得 2 3 b c ， 设2bk，3ck，则 2222 2cos16abcbcAk，所以4ak 由 1 cos 4 A ，得 2 15 sin1cos 4 AA， 选：由4a ，得1k ，由此可得2b ，3c ， 所以ABC的面积 11153 15 sin23 2244 SbcA 选：由9abc，得99k ，解得1k ，由此可得2b ，3c ， 所以ABC的面积 11153 15 sin23 2244 SbcA 选：由ABC的外接圆直径为 16

34、15 15 ，得 16 1515 2 sin4 154 aRA， 由4a ，得1k ，由此可得2b ，3c ， 所以ABC的面积 11153 15 sin23 2244 SbcA 18 （12 分）在数列 n a中， 11 1,(0) 1 n n n a aac ca ，且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （1）证明数列 1 n a 是等差数列，并求 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 2 1 (41) nnn bna a ，其前n项和为 n S，证明：1 n Sn 【解答】证明： （1）由 1 1 11 , 1 n n nnn a ac caaa 得，即 1 11 nn c

35、aa ， 所以数列 1 n a 是等差数列，其公差为c，首项为 1，（2 分） 因此， 11 1(1) , 1(1) n n nc a anc ，（3 分） 由 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，得 2 215 aa a，即 2 11 ()1 141cc ， 解得2c 或0c （舍去） ， 故 1 21 n a n （6 分） 第 17页（共 21页） （2）因为 2 2 41211 11 41(21)(21)2121 n n b nnnnn ，（8 分） 所以 12 111111 (1)1 335212121 nn Sbbbnn nnn ，（11 分） 因为 1 0 21n ，所以1 n

36、 Sn（12 分） 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD 平面ABCD，M是 棱PC的中点，点N在棱PB上，且MNPB （1）求证：/ /PA平面BMD； （2）若2ADCD，直线PC与平面ABCD所成的角为60，求平面DMN与平面PAD所成 的锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：连结AC交BD于点O，连结OM，因为四边形ABCD是矩形，所以 AOOC， 又因为PMMC，所以/ /OMPA，（2 分） 又 因 为PA平 面BMD，OM 平 面BMD， 所 以/ /PA平 面 BMD（5 分） （2）解：由已知得DA，DC，DP两两垂直，以点D为原点建立如图

37、所示的坐标系，因为 PD 平面ABCD，所以PCD就是直线PC与平面ABCD所成的角，所以60PCD， 故3DPDC设1CD ，则(0,0,0), (0,1,0), (0,0, 3), (2,1,0)DCPB， 13 (0,) 22 M，于是 13 (0,),(0,0, 3),(2,1,3) 22 DMDPPB （6 分） 设 31 ,2 , , 33,2 ,3 22 PNPBDNDPPBMNDNDM 则， 由MNPB，得0MN PB ，即 13 43(3 )0 22 ， 解得 1 4 ，所以 1 1 3 3 ( ,) 2 44 DN （8 分） 第 18页（共 21页） 设平面DMN的一个法

38、向量为(mx ，y，) z， 则由 0, 0, m DM m DN 得 13 0, 22 113 3 0, 244 yz xyz 令1z ，得( 3, 3, 1)m ，（10 分） 又平面PDA的一个法向量为(0n ，1，0)，（11 分） 所以 321 cos, |77 m n m n m n 所以平面DMN与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为 21 7 （12 分） 20 （12 分）为了对学生进行劳动技术教育，培养正确的劳动观点和态度，养成自立、自强、 艰苦奋斗的思想作风，加强理论联系实际，使学生掌握一定的生产知识和劳动技能，某学校 投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产

39、品按质量分为A，B，C三 个等级，其中A，B等级的产品为合格品，C等级的产品为次品质监部门随机抽取了两 个工厂的产品各 100 件，检测结果为：甲厂合格品 75 件，甲、乙两厂次品共 60 件 （1）根据所提供的数据完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为产品的合格 率与生产厂家有关？ 合格品次品合计 甲厂 乙厂 合计200 （2）每件产品的生产成本为 30 元，每件A，B等级的产品出厂销售价格分别为 60 元，40 元，C等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件 4 元若甲、乙两厂抽到的产品中各有 10 件为A级产品，用样本的频率代替概率，分别说明甲，乙两厂是否盈利 附： 2 2 ()

40、 ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 第 19页（共 21页） 2 0 ()P Kk 0.1000.0500.0100.005 0 k2.7063.8416.6357.879 【解答】解： （1）22列联表如下： 合格品次品合计 甲厂7525100 乙厂6535100 合计14060200 （2 分） 因为 2 2 200(75 356525) 2.383.841 100 100 14060 K ，（4 分） 所以没有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关（6 分） （2）对于甲厂，抽到的 100 件产品中有A等级产品 10 件，B等级产品 65 件

41、，C等级产品 25 件， 设生产一件产品的利润为X元，则X可能取得的值为 30，10，34，X的分布列为： X301034 P0.10.650.25 因为()300.1 100.65( 34)0.2510E X ， 所以甲厂能盈利（9 分） 对于乙厂， 抽到的 100 件产品中有A等级产品 10 件，B等级产品 55 件，C等级产品 35 件， 设生产一件产品的利润为Y元，则Y可能取得的值为 30，10，34，Y的分布列为： Y301034 P0.10.550.35 因为( )300.1 100.55( 34)0.353.40E Y ， 所以乙厂不能盈利（12 分） 21 （12 分）已知椭圆

42、 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点(0,3)M，离心率为 2 2 （1）求C的方程； （2）直线:1l ykx椭圆C相交于A，B两点，求| |MAMB的最大值 第 20页（共 21页） 【解答】解： （1）由已知得 2 22 2 9 1, 1 , 2 b ab a 解得3 2,3ab， 因此椭圆C的方程为 22 1 189 xy （4 分） （2）由 22 22 1, 214160 189 1, xy kxkx ykx 得， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1212 22 416 , 2121 k xxx x kk （6 分） 因为 2 2 12

43、1212121212 22 16(1)4 (3)(3)(4)(4)(1)4 ()164160 2121 kk MA MBx xyyx xkxkxkx xk xxk kk ， 所以MAMB，三角形MAB为直角三角形， 设d为点M到直线l的距离，故| |MA MBAB d（8 分） 又因为 2 4 14 d ， 22 2222 1212 222 4 (1)(94)416 |(1)()4(1)()4 212121 kkk ABkxxx xk kkk ，所 以 2 2 16 94 | 21 k MA MB k ，（10 分） 设 2 21kt ，则 2 811 19 | 16() 822 MA MB

44、t ，由于 1 (0,1 t ， 所以|32MA MB ，当 1 1 t ，即0k 时，等号成立 因此，|MA MB的最大值为 32（12 分） 22 （12 分）已知函数 2 1 ( ) xaxlnx f x x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若2 ( )3 25f xln，求a的取值范围 【解答】解： （1） 1 ( ),( )f xxalnx f x x 的定义域为(0)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx ， 第 21页（共 21页） 令( )0fx，解得 2 4 2 aa x ，令( )0fx，解得 2 4 0 2 aa x ， 所以函数( )f x在

45、2 4 (0,) 2 aa 内单调递减，在 2 4 (,) 2 aa 内单调递增； （2）设 2 0 4 2 aa x ，则由（1）得 2 00 10 xax ，即 0 0 1 ax x ， 且( )f x在 0 (0,)x内单调递减，在 0 (x，)内单调递增， 因此， 0 000000000 00000 1111 ( )()() min lnx f xf xxalnxxxlnxxx lnx xxxxx ， 设 1 ( ) lnx g xxxlnx xx ，则由2 ( )3 25f xln，得 53 2 ( ) 2 ln f x ， 即 53 2 ( ) 2 min ln f x ，从而 0 53 2 () 2 ln g x ， 222 111 ( )1(1)(1) lnx g xlnxlnx xxx ， 令( )0g x，得1x ，因为当01x时，( )0g x，当1x 时，( )0g x， 所以( )g x在(0,1)内单调递增，在(1,)内单调递减， 又因为 153 2 (2)( ) 22 ln gg ，所以由 0 53 2 () 2 ln g x ，解得 0 1 2 2 x， 又因为 0 0 1 ax x ，所以 33 22 a