2021年山东省新高考高考数学二模试卷（一）.docx

1、第 1页（共 23页） 2021 年山东省新高考高考数学二模试卷（一）年山东省新高考高考数学二模试卷（一） 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1（5 分） 已知集合0A ，a， 2 |2 0BxZ xx ， 若0AB ，1， 则( BA ) A 1，1B1，2C 1，1，2D 1，2 2 （5 分）已知复数(3 )(32 )()zaii aR的实部与虚部的和为 7，则a的值为() A1B0C2D2 3 （5 分）某自来水厂一蓄水池可

2、以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需 15 小时注满，单 开乙泵需 18 小时注满，若要求 10 小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地 少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需() A4 小时B7 小时C6 小时D14 小时 4 （5 分） 3 3 x y 是 6 9 xy x y 成立的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5（5 分） 已知函数 |2|2 ( )34 x f xxx ， 且 2 (log)faf（3） ， 则实数a的取值范围为() A(，2)(8，)B(0,2) C(0，2)(8，)D(8,) 6 （5 分）已知数列 n a中， 1

3、 1a ， *1 1 1() nn nn aa nN aa ，若 1 10 m a ，则(m ) A8B9C10D11 7 （5 分）已知函数( )8sin()(0) 3 f xx 的最小正周期为，若( )f x在 24 ， 3 m 上 单调递增，在 2 m ， 2 3 上单调递减，则实数m的取值范围是() A， 3 2 B 5 6， 5 4 C 3 ， 2 D 8 ， 4 3 8 （5 分）若a ，b ，c 均为单位向量，且0a b ，() () 0acbc ，则|abc 的最大 值为() A21B1C2D2 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共

4、共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项 第 2页（共 23页） 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知正方体 1111 ABCA BC D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为ABCD所在平面 上一动点，则下列命题正确的是() A若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 B若4MN ，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2 C若点N到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N

5、的轨迹为双曲线 10 （5 分）将 4 男、4 女共 8 位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的 是() A4 位女同学分到同一组的概率为 1 35 B男生甲和女生乙分到甲组的概率为 3 14 C有且只有 3 位女同学分到同一组的概率为 32 35 D4 位男同学不同时分到甲组的概率为 34 35 11 （5 分）意大利画家列奥纳多达芬奇(1452.41519.5)的画作抱银貂的女人中，女 士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链 的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线 问题” ，后人给出了悬链线的

6、函数解析式：( )cosh x f xa a ，其中a为悬链线系数，cosh x称 为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2 xx ee x ，相应地双曲正弦函数的表达式为 sinh 2 xx ee x 若直线xm与双曲余弦函数 1 C与双曲正弦函数 2 C的图象分别相交于点 A，B，曲线 1 C在点A处的切线 1 l与曲线 2 C在点B处的切线 2 l相交于点P，则下列结论正 确的为() 第 3页（共 23页） Acosh()cosh coshsinh sinhxyxyxy Bsinh coshyxx是偶函数 C(cosh )sinhxx D若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数0m

7、 12 （5 分）关于函数 2 ( )f xlnx x ，下列判断正确的是() A2x 是( )f x的极大值点 B函数( )yf xx有且只有 1 个零点 C存在正实数k，使得( )f xkx成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 4xx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分） 6 ()xyz的展开式中 23 xy z的系数是 14 （5 分）如图，在平面四边形ABCD中，1AD ， 2 6 3 BD ，ABAC，2ACAB， 则CD的最小值为 15 （5 分）已知函数

8、2 cos, 11 ( )2 1,| 1 x x f x xx ，则关于x的方程 2( ) 3 ( )20fxf x的实根 的个数是 16 （5 分）已知圆 22 1:( 3)1Cxy， 22 2:( 3)81Cxy，动圆C与圆 1 C， 2 C都相切， 则动圆C的圆心轨迹E的方程为； 直线l与曲线E仅有三个公共点， 依次为P，Q，R， 则|PR的最大值为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 4页（共 23页） 17 （10 分）已知 n S为等差数列 n a的前n项

9、和， 63 21 9 S S ， 11 21a （）求数列 n a的通项公式； （）若 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）在 2 AC ；5415coscaA；ABC的面积3S 这三个条件中任 选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b ，且 _，_，求c 19（12 分） 已知四棱锥EABCD中， 四边形ABCD为等腰梯形，/ /ABDC，2ADDC， 4AB ，ADE为等边三角形，且平面ADE 平面ABCD （1）求证：AEBD； （2）是否存在一点F，满足(01)EFEB ，

10、且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面 角的余弦值为 65 13 若存在，求出的值，否则请说明理由 20 （12 分） 某医院为筛查某种疾病， 需要检验血液是否为阳性， 现有(*)n nN份血液样本， 有以下两种检验方式：逐份检验，需要检验n次；混合检验，将其(*)k kN且2)k份 血液样木分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为 阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k 次假设在接受检 验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份

11、样本是阳性结果 的概率为(01)pp （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经 过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中(*k kN且2)k份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数 为 1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 记( )E为随机变量的数学期望若 12 ()()EE，运用概率统计的知识，求出p关于k 第 5页（共 23页） 的函数关系式( )pf k，并写出定义域； 若 1 4 1pe ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验 的总次数期望值更少，求k的最大值

12、参考数据：20.6931ln ，31.0986ln ，51.6094ln 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 1 2 e ，且经过点 3 (1, ) 2 ，点 1 F， 2 F为 椭圆C的左、右焦点 （1）求椭圆C的方程； （2）过点 1 F分别作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，且 1 l与椭圆交于不同两点A，B， 2 l与直 线1x 交于点P若 11 AFFB ，且点Q满足QAQB ，求 1 PQF面积的最小值 22 （12 分）已知函数 2 ( ) x f xeaxx （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程

13、； （2）若函数( )( )F xf xx有两个极值点 1 x， 2 x，求证： 2 12 ( (2 )x xlna 第 6页（共 23页） 2021 年山东省新高考高考数学二模试卷（一）年山东省新高考高考数学二模试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1（5 分） 已知集合0A ，a， 2 |2 0BxZ xx ， 若0AB ，1， 则( BA ) A 1，1B1，2C 1，1，2D 1

14、，2 【解答】解：集合0A ，a， 2 |2 0| 12 1BxZ xxxZx ，0，1，2， 0AB ，1， 1a ， 1 BA ，2 故选：D 2 （5 分）已知复数(3 )(32 )()zaii aR的实部与虚部的和为 7，则a的值为() A1B0C2D2 【解答】解： 2 (3 )(32 )329636(29)zaiiaaiiiaai， 所以复数z的实部与虚部分别为36a ，29a ， 则36297aa，得2a 故选：C 3 （5 分）某自来水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需 15 小时注满，单 开乙泵需 18 小时注满，若要求 10 小时注满水池，并且使两泵同时开放的时

15、间尽可能地 少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需() A4 小时B7 小时C6 小时D14 小时 【解答】解： 11 (110) 1518 ， 2 (1) 18 3 ， 6（小时） 故选：C 第 7页（共 23页） 4 （5 分） 3 3 x y 是 6 9 xy x y 成立的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：当 3 3 x y 时， 6 9 xy x y 成立，即充分性成立， 当10 x ， 5 2 y ，满足 6 9 xy x y 成立但 3 3 x y 不成立，即必要性不成立 故 3 3 x y 是 6 9 xy x y 成立充分不

16、必要条件， 故选：A 5（5 分） 已知函数 |2|2 ( )34 x f xxx ， 且 2 (log)faf（3） ， 则实数a的取值范围为() A(，2)(8，)B(0,2) C(0，2)(8，)D(8,) 【解答】解： |2|2|2|2 (4)3(4)4(4)34( ) xx fxxxxxf x ， ( )f x关于2x 对称， |2| 3xy 和 2 4yxx都在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数， ( )f x在(,2)上为减函数，在(2,)上为增函数， 又 2 (log)faf（3） ， 2 |log2| |32|a， 即 2 log1a 或 2 log3a ，解得02a或

17、8a ， a的取值范围为(0，2)(8，) 故选：C 6 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ， *1 1 1() nn nn aa nN aa ，若 1 10 m a ，则(m ) A8B9C10D11 【解答】解： 1 1a ， *1 1 1() nn nn aa nN aa ， 1 11 1 nn aa ， 数列 1 n a 是首项、公差均为 1 的等差数列， 第 8页（共 23页） 1 11 n nn a ， 1 n a n ， 由 1 10 m a 可得： 11 10m ，解得10m ， 故选：C 7 （5 分）已知函数( )8sin()(0) 3 f xx 的最小正周期为，若

18、( )f x在 24 ， 3 m 上 单调递增，在 2 m ， 2 3 上单调递减，则实数m的取值范围是() A， 3 2 B 5 6， 5 4 C 3 ， 2 D 8 ， 4 3 【解答】解：T， 2 2 T ，( )8sin(2) 3 f xx ， 当 24 x ， 3 m 时， 5 2 312 x ， 2 3 m ， 52 1232 m ，解得 5 84 m ； 当 2 m x， 2 3 时，2 33 xm ， 23 m ，解得 54 63 m ， 综上所述： 55 64 m ， 故选：B 8 （5 分）若a ，b ，c 均为单位向量，且0a b ，() () 0acbc ，则|abc

19、的最大 值为() A21B1C2D2 【解答】 解：a ，b ，c 均为单位向量， 且0a b ，() () 0acbc ， 则 2 0a ba cb cc ， () 1c ab 而 2222 |22232() 321abcabca ba cb cc ab ， 故|abc 的最大值为 1， 故选：B 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）

20、已知正方体 1111 ABCA BC D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为ABCD所在平面 上一动点，则下列命题正确的是() 第 9页（共 23页） A若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 B若4MN ，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2 C若点N到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N的轨迹为双曲线 【解答】解：对于A，因为MN与平面ABCD所成的角为 4 ，即 4 MND ， 所以2DNDM，所以点N的轨迹是D为圆心，2 为半径的圆，故选项A正确； 对于B，若4MN ，因为MDDN，2MD ，所

21、以 2222 422 3NDMNMD， 所以点P到DM的中点Q的距离为 1 3 2 DN ， 又因为点P到平面ABCD的距离等于1DQ 为定值， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，3为半径的圆， 其面积为 2 ( 3)3，故选项B错误； 对于C，因为 1 BB 平面ABCD，所以点N到直线 1 BB的距离为NB，即点N到点B的距离 与到直线DC的距离相等， 又B不在直线DC上，所以点N的轨迹为以B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故选项C 正确； 对于D，以D为坐标原点，DA，DC， 1 DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图 所示， 第 10页（共 23页） 则(4A，0，0)，(4B，4，0

22、)， 1(0 D，0，4)，设(N x，y，0)， 则 1 (0,4,0),( , , 4)ABD Nx y ， 因为 1 D N与AB所成的角为 3 ， 所以 1 1 22 1 |040| |cos,|cos 3| 016016 AB D Ny AB D N AB D N xy ， 化简可得 22 316yx，所以点N的轨迹为双曲线，故选项D正确 故选：ACD 10 （5 分）将 4 男、4 女共 8 位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的 是() A4 位女同学分到同一组的概率为 1 35 B男生甲和女生乙分到甲组的概率为 3 14 C有且只有 3 位女同学分到同一组的概率

23、为 32 35 D4 位男同学不同时分到甲组的概率为 34 35 【解答】解：8 位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为 44 84 70C C ， A选项，4 位女同学分到同一组的不同分法只有 2 种，其概率为 21 7035 ，故A正确； B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为 24 64 15C C ，其概率为 153 7014 ，故B正确； C选项，有且只有 3 位女同学分到同一组不同分法为 31 44 232C C 种， 则有且只有 3 位女同学分到同一组的概率为 3216 7035 ，故C错误； D选项，4 位男同学同时分到甲组只有 1 种，其概率为 1 70 ， 第

24、 11页（共 23页） 则 4 位男同学不同时分到甲组的概率为 169 1 7070 ，故D错误， 故选：AB 11 （5 分）意大利画家列奥纳多达芬奇(1452.41519.5)的画作抱银貂的女人中，女 士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链 的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线 问题” ，后人给出了悬链线的函数解析式：( )cosh x f xa a ，其中a为悬链线系数，cosh x称 为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2 xx ee x ，相应地双曲正弦函数的表达式为 sinh 2 xx ee x

25、 若直线xm与双曲余弦函数 1 C与双曲正弦函数 2 C的图象分别相交于点 A，B，曲线 1 C在点A处的切线 1 l与曲线 2 C在点B处的切线 2 l相交于点P，则下列结论正 确的为() Acosh()cosh coshsinh sinhxyxyxy Bsinh coshyxx是偶函数 C(cosh )sinhxx D若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数0m 【解答】解：因为cosh() 2 x yy x ee xy ， 11 cosh coshsinh sinh(22)(2) 222242 xxyyxxyy x yy xx yy x eeeeeeee xyxyeee ， 即cos

26、h()cosh coshsinh sinhxyxyxy，故A正确； 22 sinh cosh 224 xxxxxx eeeeee yxx ，定义域为R， 22 ()( ) 4 xx ee fxf x ，则 ( )f x为奇函数，故B错误； (cosh )()sinh 22 xxxx eeee xx ，故C正确； 第 12页（共 23页） 由(cosh )() 22 xxxx eeee x ，(sinh )() 22 xxxx eeee x ， 可得 1 l的方程为() 22 mmmm eeee yxm ， 2 l的方程为() 22 mmmm eeee yxm ， 由解得(1,) m Pm e，

27、 又( ,) 2 mm ee A m ，( ,) 2 mm ee B m ， 由PAB是以A为直角顶点的直角三角形，可得0 AP k 即有 2 0 1 mm m ee e mm ，即 mm ee，解得0m 故D正确 故选：ACD 12 （5 分）关于函数 2 ( )f xlnx x ，下列判断正确的是() A2x 是( )f x的极大值点 B函数( )yf xx有且只有 1 个零点 C存在正实数k，使得( )f xkx成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 4xx 【解答】解：A函数的定义域为(0,)，函数的导数 22 212 (

28、) x fx xxx ， (0,2)上，( )0fx，函数单调递减，(2,)上，( )0fx，函数单调递增， 2x是( )f x的极小值点，即A错误； B 2 ( )yf xxlnxx x ， 2 2 2 0 xx y x ， 函数在(0,)上单调递减， 且f（1）121 110ln ，f（2）2122210lnln ， 函数( )yf xx有且只有 1 个零点，即B正确； C若( )f xkx，可得 2 2lnx k xx 令 2 2 ( ) lnx g x xx ，则 3 4 ( ) xxlnx g x x ， 令( )4h xxxlnx ，则( )h xlnx ， 在(0,1)x上，函数

29、( )h x单调递增，(1,)x上函数( )h x单调递减， ( )h xh（1）0，( )0g x ， 第 13页（共 23页） 2 2 ( ) lnx g x xx 在(0,)上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数k，使得( )f xkx恒成立，即C不正确； D令(0,2)t，则2(0,2)t ，22t ， 令 2 2242 ( )(2)(2)(2)(2) 2242 tt g tftftlntlntln tttt ， 则 2222 22222222 4(4)822241648 ( )0 (4)2(2)(4)4(4) ttttttt g t tttttt ， ( )g t在(0,2)上

30、单调递减，则( )(0)0g tg， 令 1 2xt，由 12 ()()f xf x，得 2 2xt，则 12 224xxtt ， 当 2 4x 时， 12 4xx显然成立，对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 21 xx， 若 12 ()()f xf x，则 12 4xx，故D正确 故选：BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分） 6 ()xyz的展开式中 23 xy z的系数是60 【解答】解： 6 ()xyz表示 6 个因式()xyz的乘积，故其中有一个因式取x， 其中 2 个因式取y，其余的因式都取z， 即可得到展开式中

31、23 xy z的项，故该项的系数为 1233 653 ( 1)60CCC ， 故答案为：60 14 （5 分）如图，在平面四边形ABCD中，1AD ， 2 6 3 BD ，ABAC，2ACAB， 则CD的最小值为 3 3 【解答】 解： 设ADB， 在ABD中， 由正弦定理得 sinsin ABBD BAD ， 即 2 6 3 sinsin AB BAD 整理得 2 6 sinsin 3 ABBAD 由余弦定理得 222 114 6 2coscos 33 ABADBDAD BD， 因为ABAC，所以 2 BADDAC 第 14页（共 23页） 在ACD中， 由余弦定理得 2222 2cos12

32、2 2sinCDADACAD ACDACABABBAD 258 68 325 cossin8sin() 3333 （其中tan2)， 所以当sin()1时， 3 3 min CD 故答案为： 3 3 15 （5 分）已知函数 2 cos, 11 ( )2 1,| 1 x x f x xx ，则关于x的方程 2( ) 3 ( )20fxf x的实根 的个数是5 【解答】解：方程 2( ) 3 ( )20fxf x等价于( )2f x 或( )1f x 函数 2 cos, 11 ( )2 1,| 1 x x f x xx ，11x ，( ) 1f x ，1，| 1x 时，f（1）0， ( )1f

33、x时，cos1 2 x 或 2 11x ，0 x或2x ， ( )2f x 时， 2 12x ，3x ， 综上知方程 2( ) 3 ( )20fxf x的实根的个数是 5 故答案为：5 16 （5 分）已知圆 22 1:( 3)1Cxy， 22 2:( 3)81Cxy，动圆C与圆 1 C， 2 C都相切， 则动圆C的圆心轨迹E的方程为 22 1 2516 xy 或 22 1 167 xy ；直线l与曲线E仅有三个公 共点，依次为P，Q，R，则|PR的最大值为 【解答】解：圆 22 1:( 3)1Cxy的圆心 1( 3,0) C ，半径为 1， 22 2:( 3)81Cxy的圆心 2(3,0)

34、C，半径为 9， 设动圆C的半径为r， 当圆C与圆 1 C外切时，可得 1 |1CCr，当圆C与圆 2 C内切时，可得 2 | 9CCr， 可得 12 | 10CCCC，而 12 10 |C C，可得C的轨迹为 1 C， 2 C为焦点的椭圆，且长轴长 为 10，焦距为 6，短轴长为 8， 可得方程为 22 1 2516 xy ； 第 15页（共 23页） 当圆C与圆 1 C内切时，可得 1 |1CCr，当圆C与圆 2 C内切时，可得 2 | 9CCr， 可得 12 | 8CCCC， 而 12 8 |C C， 可得C的轨迹为 1 C， 2 C为焦点的椭圆， 且长轴长为 8， 焦距为 6，短轴长为

35、2 7， 可得方程为 22 1 167 xy ； 由直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，可知直线l与椭圆 22 1 167 xy 相切， 当Q为椭圆 22 1 167 xy 的短轴的端点时，可设(0, 7)Q，可得直线:7l y ， 代入椭圆 22 1 2516 xy ， 解得 15 4 x ， 此时 15 | 2 PR ， 由图象观察可得此时|PR取得最大值 故答案为： 22 1 2516 xy 或 22 1 167 xy ， 15 2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明

36、过程或演算步骤 17 （10 分）已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 63 21 9 S S ， 11 21a （）求数列 n a的通项公式； （）若 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）设等差数列的公差为d， 163 633232 121 211111 63() 633 2 9 21() 21 2 aa Saa aa Saa ， 且 11 21a， 第 16页（共 23页） 32 63a， 3211 2 3211 aa d ， 111 101aad， 1 (1)21 n aandn （） 1 11111 () (21)(21)2 2121

37、 n nn b aannnn 111111 (1)()() 23352121 n T nn 11 (1) 22121 n nn 18 （12 分）在 2 AC ；5415coscaA；ABC的面积3S 这三个条件中任 选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b ，且 _，_，求c 【解答】解：选条件： 5415coscaA，3b ，545 coscabA， 由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 5sin4sin5sincosCABA， sinsin()sincoscossinCABABAB， 5cossin4s

38、inBAA， sin0A ， 4 cos 5 B， 2 3 sin1 5 Bcos B， 2 AC ，ABC，2 2 CB ， 3 cos2cos()sin 25 CBB ， 2 1cos21 sin 25 C C ， (0, )C， 5 sin 5 C， 由正弦定理得， 5 3 sin 5 5 3 sin 5 bC c B 选条件： 1 sin3 2 SabC，3b ，sin2aC， 第 17页（共 23页） 2 AC ，ABC，2 2 BC ， 由正弦定理得， 3sin() sin3cos2 2 sincos2sin sin(2 ) 2 C bAC a BCC C ， 3sincos2co

39、s2CCC，即3sin24cos2CC， 0 2 0 AC C ，0 2 C ，即02C， sin20C，cos20C， 又 22 sin 2cos 21CC， 3 cos2 5 C， 2 1cos21 sin 25 C C ， 5 sin 5 C， 由正弦定理得， 5 3 sinsinsin 5 5 3 sincos2 sin(2 ) 25 bCbCbC c BC C 选条件： 5415coscaA，3b ，545 coscabA， 由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 5sin4sin5sincosCABA， sinsin()sincoscossinCABABAB， 5c

40、ossin4sinBAA， sin0A ， 4 cos 5 B， 2 3 sin1 5 Bcos B， 1 sin3 2 SacB，10ac（1） ， 由余弦定理得 222 2cosbacacB，即 22 4 920 5 ac， 22 25ac（2） ， 由（1） （2）解得，5c 或2 5 19（12 分） 已知四棱锥EABCD中， 四边形ABCD为等腰梯形，/ /ABDC，2ADDC， 4AB ，ADE为等边三角形，且平面ADE 平面ABCD （1）求证：AEBD； 第 18页（共 23页） （2）是否存在一点F，满足(01)EFEB ，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面 角的余弦值为

41、 65 13 若存在，求出的值，否则请说明理由 【解答】 （1）证明：取AD的中点G，连结EG， 因为ADE为等边三角形，所以EGAD， 因为平面ADE平面ABCDAD，平面ADE 平面ABCD，所以EG 平面ABCD， 因为BD 平面ABCD，所以BDEG， 在等腰梯形ABCD中，AECDCB ， 因为/ /ABDC，所以DABADCDABDCB ， 所以DCBDAB，即coscosDCBDAB ， 在DCB中，由余弦定理可知， 2222 8 cos 28 DCBCBDBD DCB DC BC ， 在DAB中，由余弦定理可知， 2222 20 cos 216 DAABBDBD DAB DA

42、AB ， 所以 22 820 816 BDBD ，则 2 12BD ， 因为 222 ADBDAB，所以ADBD， 因为ADEGG ，AD，EG 平面ADE，所以BD 平面ADE， 又AE 平面ADE，所以AEBD； （2）解：存在点F满足条件， 则由（1）可知，ED 平面ABCD，且ADBD， 取AB的中点H，连结HG， 则/ /HGBD，所以GHAD， 不妨以G为坐标原点，以GA，GH，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系如图所示， 则(1,0,0),( 1,0,0), (0,0, 3), ( 1,2 3,0), ( 2, 3,0)ADEBC， 第 19页（共 23页）

43、所以( 2,0,0),( 1,3,0)ADBC ， 设( F x ， y ，) z ，则(,3),( 1,2 3,3)EFxy zEB ， 因为EFEB ，所以2 3 33 x y z ， 所以(1,2 3 ,33)AF ， 不妨设平面ADF的法向量为 122 (,)mx yz ， 则 1 111 20 (1)2 3(33)0 m ADx m AFxyz ，整理可得 1 11 0 1 2 x yz ， 取 1 2z，则(0,1,2 )m ， 设平面BCE的法向量为 222 (,)nxyz ， 则 222 22 2 330 30 n EBxyz n BCxy ，整理可得 22 22 3 3 zy

44、 xy ， 取 2 1y ，则(3,1,3)n ， 所 以 平 面ADF于 平 面BCE所 成 的 锐二 面 角 的 余 弦 值为 22 2222 |16 |71|65 |cos,| |13 (1)413(1)4(3)13 m n m n m n ， 整理可得(21)(31)0，解得 1 2 或 1 3 ， 因为01 ，所以 1 2 ， 故存在点F，满足EFEB 且 1 2 第 20页（共 23页） 20 （12 分） 某医院为筛查某种疾病， 需要检验血液是否为阳性， 现有(*)n nN份血液样本， 有以下两种检验方式：逐份检验，需要检验n次；混合检验，将其(*)k kN且2)k份 血液样木分

45、别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为 阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k 次假设在接受检 验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果 的概率为(01)pp （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经 过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中(*k kN且2)k份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数 为 1 ，采用混合检验方式，样

46、本需要检验的总次数为 2 记( )E为随机变量的数学期望若 12 ()()EE，运用概率统计的知识，求出p关于k 的函数关系式( )pf k，并写出定义域； 若 1 4 1pe ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验 的总次数期望值更少，求k的最大值 参考数据：20.6931ln ，31.0986ln ，51.6094ln 【解答】解： （1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件， 则 3121 3223 3 5 3 ( ) 10 AC A C P A A ； （2）根据题意，可知 1 ()Ek， 2 的可能值为 1，1k ， 则 2 (1)(1

47、)kPp， 2 (1)1(1)kPkp ， 第 21页（共 23页） 所以 2 ()(1)(1)1(1) 1(1) kkk Epkpkkp ， 由 12 ()()EE，得1(1)kkkkp ， 所以 1 1 1( ) (* k pkN k 且2)k； 由于 1 4 1pe ，则 1 4 2 ()1Ekke ， 所以 1 4 1kkek ，即0 4 k lnk ， 设( ) 4 x f xlnx，则 114 ( )(0) 44 x fxx xx ， 当(0,4)x时，( )0fx，( )f x在(0,4)上单调递增； 当(4,)x时，( )0fx，( )f x在(4,)上单调递减， 又f（8）8

48、23 220lnln，f（9） 99 92 30 44 lngln， 所以k的最大值为 8 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 1 2 e ，且经过点 3 (1, ) 2 ，点 1 F， 2 F为 椭圆C的左、右焦点 （1）求椭圆C的方程； （2）过点 1 F分别作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，且 1 l与椭圆交于不同两点A，B， 2 l与直 线1x 交于点P若 11 AFFB ，且点Q满足QAQB ，求 1 PQF面积的最小值 【解答】解： （1）由题意，得 2 2 2 22 1 1 4 9 1 4 1 b e a ab ，解得 2 4a

49、 ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy 第 22页（共 23页） （2）由（1）可得 1( 1,0) F ， 若直线 1 l的斜率为 0，则 2 l的方程为1x 与直线1x 无交点，不满足条件； 设直线 1: 1lxmy，若0m ，则1则不满足QAQB ，所以0m ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (Q x， 0) y， 由 22 3412 1 xy xmy ，得 22 (34)690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 因为 11 AFFB QAQB ，即 1122 10102020

50、( 1,)(1,) (,)(,) xyxy xxyyxxyy ， 则 12 yy， 1020 ()yyyy， 所以 101 220 yyy yyy ，解得 12 0 12 23y y y yym ， 于是 2 1 3 |1 | FQm m ，直线 2 l的方程为 1 1xy m ， 联立 1 1 1 xy m x ，解得(1, 2 )Pm，所以 2 1 | 2 1PFm 所以 1 2 11 13(1)1 | |3(|) 6 2| PDF m SFQFPm mm ， 当且仅当1m 时， 1 ()6 PQFmin S 22 （12 分）已知函数 2 ( ) x f xeaxx （1）当1a 时，求