2021年中考数学复习讲义：第四章 全等三角形 模型（十三）-倍长中线模型.doc

1、第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（十三）模型（十三）倍长中线模型倍长中线模型 【结论【结论 1 1】如图，】如图，ADAD 为为ABCABC 的中线，则的中线，则 ADAD 2 1 （AB+ACAB+AC） 【证明】【证明】 间接倍长间接倍长 模型讲解模型讲解 典例典例 1 1 如图，ABC 中，若 AB=8，AC=6，则 BC 边上的中线 AD 长度的取值范围为（） . A.6AD8B.6AD8C.1AD7D.1AD7 【答案】C 【解析】如图，延长 AD 至点 E，使 ED=AD，连接 BE， AD 是 BC 边上的中线，由倍长中线模型可知 BE= AC. AB-BEAEAB+

2、BE, AB-ACAEAB+AC. AB=8,AC=6, 8-6AE86, 2AE14. AD=ED,AE=AD+ED=AD+AD=2AD, 即 22AD14， 1AD7.故选 C 典例秒杀 典例典例 2 2 如图，AD 是ABC 的中线，E，F 分别在边 AB，AC 上（E，F 不与端点重合），且 DEDF，则（) A .BE+CFEFB.BECF=EF C. BECFEFD.BECF 与 EF 的长短关系不确定 【答案】A 【解析】如图，延长 ED 至点 G，使 DG=ED，连接 CG，FG. AD 是 BC 边上的中线，由倍长中线的拓展模型可得 CG= BE. 又DEDF，DG=ED，

3、FD 是 EG 的垂直平分线， FG=EF. GC+CFFG,BE+CFEF.故选 A. 典例典例 3 3 如图所示，E 是 BC 的中点，BAE= CDE.若 AB=6，则 CD= (). A .6B.3C.12D. 无法确定 【答案】A 【解析】如图，延长 DE 至点 G，使得 DE=EG，连接 BG.由模型知GBEDCE， 所以BAE=CDE=BGE，所以 BG=AB=DC=6. 故选 A. 1. （） 如图,在ABC 中,AB=5,AC=7,则中线 AD 长度的取值范围是 （) D A.1AD6B.2AD12C.5AD7D. 无法确定 2.（）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明

4、 小试牛刀小试牛刀 已知如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且BAE= CDE. 求证AB=CD. 分析分析证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判 定和性质.观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分 别所在的两个三角形也不全等.因此，要证 AB=CD，必须添加适当的辅助线，构 造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其 中一种，对原题进行证明. 1.问题探究问题探究狗蛋遇到这样一个问题如图 1，ABC 中，AB=6，AC=4，AD 是中 线，求 AD 的取值范围.他的做法是延长 AD 到 E，使 DE= A

5、D，连接 BE，证 明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决。请回答下列各题. （1）狗蛋证明BEDCAD 的判定理由是_。 （2）AD 的取值范围是_。 方法运用方法运用 （3）如图 2，AD 是ABC 的中线，在 AD 上取一点 F，连接 BF 并延长交 AC 于点 E，使 AE=EF，求证BF=AC. （4）如图 3，在矩形 ABCD 中， 2 1 BC AB ，在 BD 上取一点 F，以 BF 为斜边作 RtBEF，且 2 1 BE EF ，点 G 是 DF 的中点，连接 EG，CG，求证EG=CG. 在中考考试在中考考试中中，看到看到“中点中点”两字能想到的辅助线作法中两字能想到

6、的辅助线作法中，若若 “中位线、斜边中线、三线合一中位线、斜边中线、三线合一”中没找到答案，中没找到答案，想想倍长想想倍长 中线中线。 直击中考 第五章第五章. .全等三角形全等三角形 模型（十三）模型（十三）倍长中线模型倍长中线模型 答案：答案： 小试牛刀小试牛刀 1.答案答案A 解析解析：如图，延长 AD 至点 E，使 AD= ED，连接 CE. AD 是 BC 边上的中线， BD=CD. 根据倍长中线模型结论可知ABDECD，AB=EC AC -ECAEAC+EC，AC-ABAEAC+AB， AC=7，AB=5， 7-5AE7+5，2AE12， AD=ED，AE=AD+ED=AD+AD=

7、2AD， 22AD12，1AD6.故选 A. 2.解析解析方法一：作 BFDE 交长线于点 F，作 CGDE 于点 G， F=CGE=90. 又BEF=CEG，BE=CE，BFECGE（AAS），BF=CG. 在ABF 和DCG 中， F=DGC=90,BAE=CDE, BF=CG, ABFDCG(AAS), AB=CD. 方法二作 CF/AB，交 DE 的延长线于点 F，则F=BAE. 又BAE=D， F=D, CF=CD. F=BAE，AEB=FEC，BE= CE, ABEFCE（AAS），AB=CF. AB=CD. 方法三延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连接 BF. BE=CE,B

8、EF=CED,EF=DE, BEFCED（SAS）， BF=CD,D=F.又BAE=D，BAE=F AB=BF， AB=CD. 直击中考直击中考 1.解析解析 AD 是中线，BD=CD. 在BED 和CAD 中， ED=AD, EDB=ADC, BD=CD,BEDCAD(SAS).故答案为 SAS. （2）BEDCAD，AC=BE=4. 又AB=6，2AE10. AE=2AD, 1AD5. 故答案为 1AD5. （3）如图，延长 AD 至点 A，使 AD=AD. AD 是ABC 的中线， BD=CD. 在ADC 和ADB 中， AD=AD, ADC=ADB, CD=BD, ADCADB,CAD

9、=A,AC=AB ， 又AE=CF ，CAD=AFE，A=AFE， 又AFE=BFD， BFD=A， BF=AB. 又AB=AC，BF=AC. （4）如图，延长 CG 至点 H，使 HG=CG，连接 HF，HE，CE. G 为 FD 的中点， FG=DG. 在HGF 和CGD 中，HG=CG, HGF=CGD， FG=DG, HGF CGD，HF=CD,HFG=CDG. 在 RtBEF 中， 2 1 BE EF , tanEBF= 2 1 , 又在矩形 ABCD 中， 2 1 BC AB , 2 1 AD AB , tanADB=2 1 EBF=ADB. 又 ADBC， ADB=DBC, EB

10、F=ADB=DBC. EFD 为BEF 的外角， EFD=EBF+BEF，即EFH+HFD=EBF90. 又ADB+BDC=90，EFH+HFD=EBF+ADB+ BDC, EFH=2EBF,即EFH=EBC. 在EFH 和EBC 中， 2 1 BE EF , 2 1 BC CD BC HF , BC HF BE EF 又EBC=EFH， EFHEBC, FEH=BEC, 即HEC+CEF=BEF+CEF ,HEC=BEF=90, CEH 是直角三角形.G 为 CH 的中点， EG= 2 1 CH,即 EG=CG. 【小结】本题涉及三角形中线问题，可通过【小结】本题涉及三角形中线问题，可通过倍倍长中线，长中线， 构造构造 8 8 字模型，得到全等三角形，从而利用边字模型，得到全等三角形，从而利用边 角的转化来解题角的转化来解题. .