2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型（十八）-将军饮马模型.doc

1、第五章第五章. .轴对称轴对称 模型（十八）模型（十八）将军饮马模型将军饮马模型 一、（河）和两旁一、（河）和两旁 模型模型 1 1如图，定点如图，定点 A A，B B 分布在定直线分布在定直线 l l 的两侧，在直线的两侧，在直线 l l 上找一点上找一点 P P，使得，使得 P PA APBPB 的值最小的值最小. . 【作法】如图，连接作法】如图，连接 ABAB，与直线，与直线 l l 的交点即为所求点的交点即为所求点 P.P. 模型模型 2 2如图如图，定点定点 A A，B B 分布在定直线分布在定直线 l l 的同侧的同侧，在直线在直线 l l 上找一点上找一点 P P，使使得得 P

2、 PA+A+PBPB 的值最小的值最小 【作法】如图，作点作法】如图，作点 B B 关于直线关于直线 l l 的对称点的对称点 B B，连接，连接 ABAB，与直线，与直线 l l 的交点即为所求点的交点即为所求点 P.P. 模型讲解模型讲解 模型模型 3 3如图，点如图，点 P P 为角内一点，在射线为角内一点，在射线 OAOA，OBOB 上分别找点上分别找点 M M，N N， 使得使得PMPMN N 的周长最小的周长最小. . 【作法】如图，分别作点作法】如图，分别作点 P P 关于两射线关于两射线 OAOA，OBOB 的对称点的对称点 P P和和 P P，连接连接 P PP P ，与两射

3、线的交点即为所求点，与两射线的交点即为所求点 M M，N N。 模型模型 4 4如图如图，M M，N N 为角内的两个定点为角内的两个定点，在射线在射线 OAOA，OBOB 上分别找点上分别找点 P P，Q Q，使得使得 四边形四边形 P PQ QMNMN 的周长最小的周长最小 【作法作法】如图如图，分别作点分别作点 M M，N N 关于射线关于射线 OAOA，OBOB 的对称点的对称点 M M和和 N N，连接连接 M MN N ， 与两射线的交点即为所求点与两射线的交点即为所求点 P P，Q Q . . 模型模型 5 5如图，如图，P P 为角内的为角内的一一个定点，在射线个定点，在射线

4、OAOA，OBOB 上分别找点上分别找点 M M，N N 使得使得 PMPM+M+MN N 的最小的最小 【作法】如图，作点作法】如图，作点 P P 关于射线关于射线 OAOA 的对称点的对称点 P P，过过点点 P P作作 P PN NOBOB，垂足，垂足 为为 N N，与两射线，与两射线 OAOA，OBOB 的交点即为所求点的交点即为所求点 M M，N N . . 模型模型 6 6如图如图，直线直线 l ll l，A A，B B 分别为分别为 l l上方和上方和 l l下方的定点下方的定点（直线直线 A AB B 不与不与 l l垂直垂直） ， 在在 l l,l,l上分别求点上分别求点 P

5、,QP,Q , ,使得使得 PQPQl l， 且且 A AP+PQ+QP+PQ+QB B 的值最小的值最小 【作法【作法】如图如图，将点将点 A A 向下平移向下平移，使使 AAAA= =PQPQ，连接连接 A AB B，交交 l l于点于点 Q Q，过点过点 Q Q 作作 PQPQl l于点于点 P P，则点，则点 P P 和点和点 Q Q 即为所求即为所求. . 模型模型 7 7如图如图， 定点定点 A A，B B 分布在定直线分布在定直线 l l 的的同同侧侧，线段线段 PQ=aPQ=a（定长定长）在在 l l 上上移移 动动, , 在直线在直线 l l 上找点上找点 P,QP,Q ,

6、,使得使得 AB+AB+A AP+PQ+QBP+PQ+QB 的值最小的值最小 【作法】如图，【作法】如图，作作点点 A A 的对称点的对称点 A A，将点将点 A A平移到平移到 A A ，使使 A AA A =PQPQ，且且 A AA A l,l,连接连接 A AB B，交，交 l l 于点于点 Q Q，过点，过点 Q Q 在在 l l 上取上取 PQ=aPQ=a（P P 点点 在在 Q Q 左侧）左侧），则点，则点 P P 和点和点 Q Q 即为所求即为所求 （和两旁（和两旁） 【总结总结】研究几何最值：研究几何最值：两点之间，线段最短两点之间，线段最短 垂线段垂线段最短最短 口诀口诀 二

7、、差同旁二、差同旁 模型模型 8 8如图，定点如图，定点 A A，B B 分布在定直线分布在定直线 l l 的的同同侧，在直线侧，在直线 l l 上找一点上找一点 P P， 使得使得 PAPAPBPB的值最的值最小小 【作法】如图，【作法】如图，作线段作线段 A AB B 的的垂直平分线垂直平分线 PQPQ，交交 l l 于于点点 P P，则点则点 P P 即为所求即为所求 模型模型 9 9如图，定点如图，定点 A A，B B 分布在定直线分布在定直线 l l 的的同同侧，在直线侧，在直线 l l 上找一点上找一点 P P， 使得使得 PAPAPBPB的值最的值最大大 【作法】如图，【作法】如

8、图，连接连接 ABAB ，交交 l l 于于点点 P P ， 则点则点 P P 即为所求即为所求 模型模型 1010如图，定点如图，定点 A A，B B 分布在定直线分布在定直线 l l 的的两两侧，在直线侧，在直线 l l 上找一点上找一点 P P，, , 使得使得 PAPAPBPB的值最的值最大大 【作法】如图，【作法】如图，作作点点 B B 的对称点的对称点 B B，连接，连接 ABAB交交 l l 于于点点 P P ，则点则点 P P 即为所求即为所求 典例典例 1 1 如图，AOB=30，OC 为AOB 内部的一条射线，P 为射线 OC 上一点，OP=4，点 M，N 分别为 OA，O

9、B 边上的动点，则PMN 周长的最小值为（）. A.2B.4C.8D.43 典例秒杀 【答案】B 【解析】如图，作点 P 关于 OA 的对称点 P，作点 P 关于 OB 的对称点 P，连 接 PP，与 OA 的交点为点 M，与 OB 的交点为点 N， 则 PM=P1M，PN=P2N.此时，PMN 的周长最小，为 PMMNPN = P1M +MN+P2N=P1P2.连接 OP1，OP2，则 OP1=OP2=OP=4. 又 P1OP22AOB= 60，OP1P2是等边三角形， P1P2=OP1=4，PMN 周长的最小值是 4. 故选 B. 典例典例 2 2 四边形 ABCD 中，BAD=130，B

10、=D=90，在 BC，CD 上分别找一点 M，N， 使AMN 的周长最小，则AMNANM 的度数为（）. A.80B.90C.100D.130 【答案】C 【解析】如图，延长线段 AB 到点 A使得 BA=AB，延长线段 AD 到点 A使得 DA=AD，连接 AA，与 BC，CD 分别交于点 M,N,此时AMN 的周长最 小. ABC=ADC=90,点 A， A 关于直线 BC 对称， 点 A， A关于直线 CD 对称.BA=BA,MBAB,.MA=MA. 同理，NA=NA，A=MAB，A=NAD. AMN=A+MAB=2A,ANM=A+ NAD=2A, AMN+ANM=2(A+A). 又BAD=130，A+A=180-BAD=50 AMN+ANM=100.故选 C.