1、强化训练强化训练函数的性质函数的性质 1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是() Af (x) xBf (x)1 x2 Cf (x)2x2 x Df (x)cos x 答案B 解析函数 f (x)1 x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意 2函数 f (x)x9 x(x0)是( ) A奇函数，且在(0,3)上是增函数 B奇函数，且在(0,3)上是减函数 C偶函数，且在(0,3)上是增函数 D偶函数，且在(0,3)上是减函数 答案B 解析因为 f (x)x 9 x x9 x f (x)，所以函数 f (x)x9 x为奇函数 又 f(x)19 x2，在(0,3)上 f(
2、x)0 恒成立， 所以 f (x)在(0,3)上是减函数 3若函数 f (x)ax2bx8(a0)是偶函数，则 g(x)2ax3bx29x 是() A奇函数B偶函数 C非奇非偶函数D既奇又偶函数 答案A 解析由 f (x)是偶函数可得 b0， g(x)2ax39x， g(x)是奇函数 4(2019湖北武汉重点中学联考)已知偶函数 f (x)在0，)上单调递减，f (1)1，若 f (2x 1)1，则 x 的取值范围为() A(，1B1，) C0,1D(，01，) 答案C 解析由题意，得 f (x)在(，0上单调递增，且 f (1)1，所以 f (2x1)f (1)，则|2x 1|1，解得 0
3、x1.故选 C. 5若定义在 R 上的奇函数 f (x)满足对任意的 xR，都有 f (x2)f (x)成立，且 f (1)8， 则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是() Af (2 019)f (2 020)f (2 020)f (2 021) Cf (2 020)f (2 019)f (2 021) Df (2 020)f (2 021)f (2 019) 答案A 解析因为定义在 R 上的奇函数 f (x)满足对任意的 xR，都有 f (x2)f (x)成立，所以 f (x4)f (x)，即函数 f (x)的周期为 4，且 f (0)0，f (2)f
4、(0)0，f (3)f (1)8，所 以 f (2 019)f (45043)f (3)8，f (2 020)f (4505)f (0)0，f (2 021)f (4505 1)f (1)8，即 f (2 019)f (2 020)1， x，1x1， x2，x0， 2 x，x1， x，1x1， x2，x0， 2 x，x0， 则 f (2 019)_. 答案1 010 解析当 x0 时，f (x)f (x2)1， 则 f (2 019)f (2 017)1f (2 015)2 f (1)1 009f (1)1 010, 而 f (1)0，故 f (2 019)1 010. 15已知定义在 R 上
5、的奇函数 f (x)满足 f (x4)f (x)，且在区间0,2上是增函数若方程 f (x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_. 答案8 解析因为定义在 R 上的奇函数满足 f (x4)f (x)，所以 f (x4)f (x)由 f (x)为奇函 数，所以函数图象关于直线 x2 对称，且 f (0)0.由 f (x4)f (x)知 f (x8)f (x)，所以 函数的周期为 8.又因为 f (x)在区间0,2上是增函数，所以函数在区间2,0上也是增函数， 作出函数 f (x)的大致图象如图所示， 那么方程 f (x)m(m0)在区间8,8上有
6、四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1x2x3x4，由对称性可知 x1x212，x3x44，所以 x1x2 x3x48. 16函数 f (x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f (x1x2)f (x1)f (x2) (1)求 f (1)的值； (2)判断 f (x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f (4)1，f (x1)2，且 f (x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围 解(1)因为对于任意 x1，x2D， 有 f (x1x2)f (x1)f (x2)， 所以令 x1x21，得 f (1)2f (1)，所以 f (1)0. (2)f (x)为偶函数，证明如下： 令 x1x21，有 f (1)f (1)f (1)， 所以 f (1)1 2f (1)0. 令 x11，x2x，有 f (x)f (1)f (x)， 所以 f (x)f (x)， 又 f (x)的定义域关于原点对称，所以 f (x)为偶函数 (3)依题设有 f (44)f (4)f (4)2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以 f (x1)2，等价于 f (|x 1|)f (16) 又 f (x)在(0，)上是增函数 所以 0|x1|16，解得15x17 且 x1. 所以 x 的取值范围是x|15x17 且 x1
