2021年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模）.docx

1、第 1页（共 20页） 2021 年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模）年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模） 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （ 5 分）已知 全集UR，设 |(1)Ax yln x， 2 |210By yxx，则 ()( U AB ) A1，3)B1，3C(1,3)D(1，3 2 （5 分）某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布(105N， 2)( 0)，

2、试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数 的 1 5 ，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为() A150B200C300D400 3 （5 分）过抛物线 2 :4C yx的焦点F的直线交抛物线C于 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y两点， 且 12 4 3 xx，则弦AB的长为() A 16 3 B4C 10 3 D 8 3 4 （5 分）已知 1 x， 2 x是一元二次方程 2 0axbxc的两个不同的实根 1 x， 2 x，则“ 1 1x 且 2 1x ”是“ 12 2xx且 12 1xx”的() A充分不必

3、要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| | 2ab ，()2a ba ，则|2| (ab ) A2B2 3C4D8 6 （5 分） 今年我国中医药选出的 “三药三方” 对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没 “三 药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液； “三方”分别为清肺排毒汤、化 湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的 方法种数为() A15B30C6D9 7 （5 分）函数()sin|2 | xx yeex 的图象可能是() 第 2页（共 20页） AB CD

4、8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐 近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若 | 2MN ，ABF的面积为 8，则C的渐近线方程为() A3yx B 3 3 yx C2yx D 1 2 yx 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5

5、 分）已知函数( ) |sin|cos|f xxx，则下列说法正确的是() A( )f x的图象关于直线 2 x 对称 B( )f x的周期为 2 C( ,0)是( )f x的一个对称中心 D( )f x在区间, 4 2 上单调递增 10 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 1，E，F是线段 11 B D上的两个动点， 且 1 2 EF ，则下列结论中正确的是() 第 3页（共 20页） AACBE B/ /EF平面ABCD CAEF的面积与BEF的面积相等 D三棱锥EABF的体积为定值 11 （5 分）下列说法正确的是() A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非

6、零常数a后，方差也变为原来的a倍 B若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形 的概率为 1 4 C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 1 9 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A 不发生的概率相同，则事件A发生的概率为 2 3 12 （5 分）已知0a ， 22 ( ) xx m xee ，( )( )sinf xam xx，若( )f x存在唯一零点， 下列说法正确的有() A( )m x在R上递增 B( )m x图象关于点(2,0)中心对称 C任取不相等的实数 1 x，

7、2 xR均有 1212 ()() () 22 m xm xxx m D 2 a 三三、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.试题中包含两个空的试题中包含两个空的，答对一个的给答对一个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 13 （5 分）在 7 (2)xyz的展开式中，所有形如 2( , ) ab x y za bN的项的系数之和是 14 （5 分）已知|5 |5 | 6zizi，则复数z在复平面内所对应点( , )P x y的轨迹方程 为 15（5 分） 已知三棱锥SABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且13AC ，5AB

8、， 此三棱锥的外接球的表面积为14，则BC 16 （5 分）函数( )yf x，1x，)，数列 n a满足 * ( ), n af nnN， 函数( )f x是增函数； 第 4页（共 20页） 数列 n a是递增数列 写出一个满足的函数( )f x的解析式 写出一个满足但不满足的函数( )f x的解析式 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在()()bac bacac；cos()sin()ABAB；tansin 2 AB C 这 三个条件中任选两个，补充在下面问

9、题中 问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 2a ，_， _？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由 18 （12 分）设 n S为数列 n a的前n项和，已知 2 3a ， 1 21 nn aa （1）证明1 n a 为等比数列 （2）判断n， n a， n S是否成等差数列？并说明理由 19 （12 分）中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、 引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带 “月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回为了了解某中学高三学生对 此

10、新闻事件的关注程度， 从该校高三学生中随机抽取了 100 名学生进行调查， 调查样本中有 40 名女生如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号” 的部分） 关注没关注合计 男 女 合计 附： 2 0 ()P Kk 0.1500.1000.0500.0100.005 0 k2.0722.7063.8416.6357.879 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd （1）完成上面的22列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对嫦娥五号关注程 度与性别有关”？ 第 5页（共 20页） （2）若将频率视为概率，现从该中学高

11、三的女生中随机抽取 3 人记被抽取的 3 名女生中 对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望 20 （12 分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直 于半圆O所在的平面，/ /DCEB，1DCEB，4AB （1）证明：平面ADE 平面ACD； （2）当C点为半圆的中点时，求二面角DAEB的余弦值 21 （12 分）设函数( )f xaxlnx，其中aR，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线经 过点(3,2) （）求a的值； （）求函数( )f x的极值； （）证明： 2 ( ) x x f x ee 22 （12 分）已知椭圆

12、22 22 :1(1) xy Eab ab 的离心率 2 2 e ，其左、右顶点分别为点A， B，且点A关于直线yx对称的点在直线32yx上 （1）求椭圆E的方程； （2）若点M在椭圆E上，点N在圆 222 :O xyb上，且M，N都在第一象限，MNy 轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sinCND是否为定值，若是定值， 求出该定值；若不是定值，说明理由 第 6页（共 20页） 2021 年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模）年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小

13、题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （ 5 分）已知 全集UR，设 |(1)Ax yln x， 2 |210By yxx，则 ()( U AB ) A1，3)B1，3C(1,3)D(1，3 【解答】解：(1)yln x，10 x ，1x，(1,)A， 22 210(1)9 9xxx， 2 210 3yxx，3B，)，(,3) uB ， ()(1 U AB，3) 故选：C 2 （5 分）某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布(105N， 2)( 0)，试卷

14、满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数 的 1 5 ，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为() A150B200C300D400 【解答】解：(90)(120)0.2P XP X， (90120)10.40.6PX ， 1 (90105)(90120)0.3 2 PXPX， 此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为10000.3300 故选：C 3 （5 分）过抛物线 2 :4C yx的焦点F的直线交抛物线C于 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y两点， 且 12 4 3 xx，则弦AB的长为() A

15、16 3 B4C 10 3 D 8 3 【解答】解：由题意知，2p ， 由抛物线的定义知， 12 410 |2 33 ABxxp 第 7页（共 20页） 故选：C 4 （5 分）已知 1 x， 2 x是一元二次方程 2 0axbxc的两个不同的实根 1 x， 2 x，则“ 1 1x 且 2 1x ”是“ 12 2xx且 12 1xx”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：已知 1 x， 2 x是一元二次方程 2 0axbxc的两个不同的实根 1 x， 2 x， 则当“ 1 1x 且 2 1x ”时， 整理得： “ 12 2xx且 12 1x

16、x” 当 1 0.99x ， 2 2x ，满足： “ 12 2xx且 12 1xx”但是“ 1 1x 且 2 1x ”不成立， 故“ 1 1x 且 2 1x ”是“ 12 2xx且 12 1xx”的充分不必要条件， 故选：A 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| | 2ab ，()2a ba ，则|2| (ab ) A2B2 3C4D8 【解答】解：向量a ，b 满足| | 2ab ，()2a ba ， 可得：2a b ， 22 |2|441684122 3abaa bb 故选：B 6 （5 分） 今年我国中医药选出的 “三药三方” 对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没 “三 药”分别为金

17、花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液； “三方”分别为清肺排毒汤、化 湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的 方法种数为() A15B30C6D9 【解答】解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，恰好选出 1 药 1 方， 则 1 药的取法有 3 种，1 方的取法也有 3 种， 则恰好选出 1 药 1 方的方法种数为339； 故选：D 7 （5 分）函数()sin|2 | xx yeex 的图象可能是() 第 8页（共 20页） AB CD 【解答】解：函数的定义域为R，()()sin| 2 |()sin|2 |( ) xx

18、xx fxeexeexf x ， 为奇函数，故排除选项B，C； 又 11 22 1 ( )()sin10,()0 22 feef ，且 2 是第一个大于 0 的零点，故排除选项D 故选：A 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐 近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若 | 2MN ，ABF的面积为 8，则C的渐近线方程为() A3yx B 3 3 yx C2yx D 1 2 yx 【解答】解：设双曲线的另一个焦点为 F ，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF是矩形， ABF ABF SS

19、 ， 即8bc ， 由 222 22 22 1 xyc xy ab ，可得 2 b y c ， 则 2 2 |2 b MN c ，即 2 bc， 2b，4c ， 22 2 3acb， C的渐近线方程为 3 3 yx ， 故选：B 第 9页（共 20页） 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知函数( ) |sin|cos|f xx

20、x，则下列说法正确的是() A( )f x的图象关于直线 2 x 对称 B( )f x的周期为 2 C( ,0)是( )f x的一个对称中心 D( )f x在区间, 4 2 上单调递增 【解答】解：函数 1 ( ) |sin|cos| |sin cos|sin2 | 2 f xxxxxx， 画出函数图象，如图所示； 所以( )f x的对称轴是 4 k x ，kZ； 所以 2 x 是( )f x图象的对称轴，A正确； ( )f x的最小正周期是 2 ，B正确； ( )f x是偶函数，没有对称中心，C错误； 4 x ， 2 时，2 2 x ，sin20 x， 第 10页（共 20页） 所以 1 (

21、 )|sin2 | 2 f xx是单调减函数，D错误 故选：AB 10 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 1，E，F是线段 11 B D上的两个动点， 且 1 2 EF ，则下列结论中正确的是() AACBE B/ /EF平面ABCD CAEF的面积与BEF的面积相等 D三棱锥EABF的体积为定值 【解答】解：由正方体的结构特征可知， 1 DD 平面ABCD，而AC 平面ABCD，则 1 D DAC， 又ABCD为正方形，ACBD， 1 D DBDD ，且 1 D D、BD 平面 11 DD B B，AC平面 11 DD B B， BE 平面 11 DD B B

22、，ACBE，故A正确； 11/ / B DBD，BD 平面ABCD， 11 B D 平面ABCD， / /BD平面ABCD，而EF在 11 B D上，/ /EF平面ABCD，故B正确； 点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则AEF的面积与BEF的 面积不相等，故C错误； 如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥ABEF的高， 1 1111 1 2224 BEF SEF BB ， 11122 334224 A BEFBEF VSAO ， 则 2 24 EABFA BEF VV 为定值，故D正确 故选：ABD 第 11页（共 20页） 11 （5 分）下列说法正确的是()

23、 A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形 的概率为 1 4 C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 1 9 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A 不发生的概率相同，则事件A发生的概率为 2 3 【解答】解：A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的 2 a 倍，故A错误， B从中任取 3 条共有 4 种，若三段能构成三角形，则只有 3，5，7，一种，则构成三角形 的概率是 1 4

24、，故B正确， C|1r ，两个变量的线性相关性越强，|0r ，线性相关性越弱，故C错误， D由题意知 1 ( )( ) 9 P A P B ，( )P A P（B）P（A）( )P B， 设P（A）x，P（B）y，则 1 (1)(1) 9 (1)(1) xy x yxy ， 得 1 1 9 xyxy xy 得 2 1 21 9 xx ，即 2 1 (1) 9 x ，得 1 1 3 x 或 1 1 3 x ， 得 4 3 x （舍)或 2 3 x ，即事件A发生的概率为 2 3 ，故D正确 故正确的是BD， 故选：BD 12 （5 分）已知0a ， 22 ( ) xx m xee ，( )( )

25、sinf xam xx，若( )f x存在唯一零点， 第 12页（共 20页） 下列说法正确的有() A( )m x在R上递增 B( )m x图象关于点(2,0)中心对称 C任取不相等的实数 1 x， 2 xR均有 1212 ()() () 22 m xm xxx m D 2 a 【解答】解： 22 ( )0 xx m xee ，则( )m x在R上递增，故A正确， 2222 ( )(4)0 xxxx m xmxeeee ，则( )m x图象关于点(2,0)中心对称，故B正确， 22 ( ) xx mxee ，当2x 时，( )0mx，即( )m x为增函数，即( )m x图象下凸，此时 12

26、12 ()() () 22 m xm xxx m ，故C错误， 若( )f x存在唯一零点，则 22 ()sin xx a eex 只有一个解，即 22 ( )() xx g xa ee 与 ( )sinh xx只有一个交点， 22 ( )() xx g xa ee ，( )cosh xx，由g（2）h（2）0， 则( )g x、( )h x的图象均关于点(2,0)中心対称， 在2x 的右侧附近( )g x为下凸函数，( )h x为 上凸函数， 要2x 时，图象无交点，当且仅当 g （2） h （2）成立 于是2a，即 2 a 成立，故D正确， 故选：ABD 三三、填空题填空题：本题共本题共

27、4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.试题中包含两个空的试题中包含两个空的，答对一个的给答对一个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 13（5 分） 在 7 (2)xyz的展开式中， 所有形如 2( , ) ab x y za bN的项的系数之和是21 【解答】解：因为 77 (2)(2 )xyzxyz， 所以展开式中含 2 z的项为 252 7( 2 )Cxyz， 令1xyz，则所求系数之和为 252 7 (12)121C ， 故答案为：21 14 （5 分）已知|5 |5 | 6zizi，则复数z在复平面内所对应点( , )P x y的轨迹方程为 第 13

28、页（共 20页） 22 1 94 yx 【解答】解：复数z在复平面内所对应点( , )P x y， 又|5 |5 | 6zizi， 2222 (5)(5)6xyxy， 即点( , )P x y到点(0,5)A，和(0,5)B的距离之和为：6，且两定点的距离为：2 56， 故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且26a ，22 5c ， 故 22 2bac， 复数z在复平面内所对应点( , )P x y的轨迹方程为： 22 1 94 yx ， 故答案为： 22 1 94 yx 15（5 分） 已知三棱锥SABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且13AC ，5AB ， 此三棱锥的外接球的表

29、面积为14，则BC 10 【解答】解：由题意三棱锥SABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直可知，三棱锥 SABC是长方体的一个角， 如图：设SAx，SBy，SCz， 由题意可得： 22 13xz， 22 5xy， 222 yzBC， 三棱锥的外接球的表面积为14，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接 球的直径2R， 所以 222 2Rxyz， 2 414R， 可得 222 14xyz， 解得2x ，1y ，3z ， 所以 22 10BCyz 故答案为：10 第 14页（共 20页） 16 （5 分）函数( )yf x，1x，)，数列 n a满足 * ( ), n af nn

30、N， 函数( )f x是增函数； 数列 n a是递增数列 写出一个满足的函数( )f x的解析式 2 ( )f xx 写出一个满足但不满足的函数( )f x的解析式 【解答】解：由题意，可知： 在1x，)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为： 2 ( )f xx 第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为： 2 4 ( )() 3 f xx 则这个函数在1， 4 3 上单调递减，在 4 3 ，)上单调递增， 2 4 ( )() 3 f xx在1，)上不是增函数，不满足 而对应的数列为： 2 4 () 3 n an在*nN上越来越大，属递增数列 故答案为： 2 ( )f

31、xx； 2 4 ( )() 3 f xx 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在()()bac bacac；cos()sin()ABAB；tansin 2 AB C 这 三个条件中任选两个，补充在下面问题中 问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 2a ，_， _？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由 【解答】解：()()bac bacac，即 22 ()bacac， 222 acbac， 由余弦定理知， 222 1 cos

32、222 acbac B acac ， (0, )B， 3 B 第 15页（共 20页） tansin 2 AB C ， tansin 2 C C ，即 cos 2 2sincos 22 sin 2 C CC C ， (0, )C，cos0 2 C ， 2 2sin1 2 C ，即 2 C 选择：由上知 3 B ， cos()sin()ABAB， 1313 cossinsincos 2222 AAAA，即(13)cos(13)sinAA， tan1A， (0, )A， 4 A ， 2 sin 2 A ， 由正弦定理知， sinsin ab AB ， 2 2 23 22 b ，2 3b 选择： 3

33、 B ， 2 C ， 2 2a ，2 6b 选择：由上知 2 C ， cos()sin()cos()cos0ABABCC ， 0AB，即 4 AB ， 2 2ba 18 （12 分）设 n S为数列 n a的前n项和，已知 2 3a ， 1 21 nn aa （1）证明1 n a 为等比数列 （2）判断n， n a， n S是否成等差数列？并说明理由 【解答】解： （1）证明： 2 3a ， 1 21 nn aa ，可得 1 1a ， 即有 1 12(1) nn aa ， 则1 n a 为首项为 1，公比为 2 的等比数列； （2）由（1）可得12n n a ，即有21 n n a ， 第 1

34、6页（共 20页） 1 2(12 ) 22 12 n n n Snn ， 由 1 2222(21)0 nn nn nSann ， 可得n， n a， n S成等差数列 19 （12 分）中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、 引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带 “月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回为了了解某中学高三学生对 此新闻事件的关注程度， 从该校高三学生中随机抽取了 100 名学生进行调查， 调查样本中有 40 名女生如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注

35、“嫦娥五号” 的部分） 关注没关注合计 男 女 合计 附： 2 0 ()P Kk 0.1500.1000.0500.0100.005 0 k2.0722.7063.8416.6357.879 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd （1）完成上面的22列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对嫦娥五号关注程 度与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取 3 人记被抽取的 3 名女生中 对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望 【解答】解： （1）22列联表如下： 第 17页（共 20页） 关

36、注没关注合计 男303060 女122840 合计4258100 所以 22 2 ()100(30281230)800 3.9413.841 ()()()()42584060203 n adbc K ab cdac bd ， 所以有95%的把握认为“对嫦娥五号关注程度与性别有关” ； （2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为 123 4010 P ， 又因为 3 (3,) 10 XB，所以随机变量X的分布列为： X0123 P 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 故 9 () 10 E Xnp 20 （12 分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上

37、除A，B外的一个动点，DC垂直 于半圆O所在的平面，/ /DCEB，1DCEB，4AB （1）证明：平面ADE 平面ACD； （2）当C点为半圆的中点时，求二面角DAEB的余弦值 【解答】 （1）证明：AB是圆O的直径，ACBC， DC 平面ABC，BC 平面ABC， DCBC，又DCACC ， BC平面ACD， / /DCEB，DCEB， 四边形DCBE是平行四边形，/ /DEBC， 第 18页（共 20页） DE平面ACD， 又DE 平面ADE， 平面ACD 平面ADE （2）当C点为半圆的中点时，2 2ACBC， 以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则(0D，

38、0，1)，(0E，2 2，1)，(2 2A，0，0)，(0B，2 2，0)， ( 2 2AB ，2 2，0)，(0BE ，0，1)，(0DE ，2 2，0)，(2 2DA ，0，1)， 设平面DAE的法向量为 1 (mx ， 1 y， 1) z，平面ABE的法向量为 2 (nx ， 2 y， 2) z， 则 0 0 m DA m DE ， 0 0 n AB n BE ，即 11 1 2 20 2 20 xz y ， 22 2 2 22 20 0 xy z ， 令 1 1x 得(1m ，0，2 2)，令 2 1x 得(1n ，1，0) 12 cos, |632 m n m n m n 二面角DA

39、EB是钝二面角， 二面角DAEB的余弦值为 2 6 21 （12 分）设函数( )f xaxlnx，其中aR，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线经 过点(3,2) （）求a的值； （）求函数( )f x的极值； （）证明： 2 ( ) x x f x ee 【解答】解：( )( )I fxalnxa， 第 19页（共 20页） 则f（1）0，f（1）a， 故取消( )yf x在(1，f（1）)处的切线方程(1)ya x， 把点(3,2)代入切线方程可得，1a ， ()II由( ) I可得( )1fxlnx，0 x ， 易得，当 1 0 x e 时，( )0fx，函数单调递减，当 1

40、 x e 时，( )0fx，函数单调递增， 故当 1 x e 时，函数取得极小值 11 ( )f ee ，没有极大值， 证明： 2 () ( ) x x III f x ee 等价于 2 0 x x xlnx ee ， 由()II可得 1 ( )f xxlnx e （当且仅当 1 x e 时等号成立）， 所以 21 xx xx xlnx eeee ， 故只要证明 1 0 x x ee 即可， （需验证等号不同时成立） 设 1 ( ) x x g x ee ，0 x 则 1 ( ) x x g x e ， 当01x时，( )0g x，函数单调递减，当1x 时，( )0g x，函数单调递增， 所以

41、( )g xg（1）0，当且仅当1x 时等号成立， 因为等号不同时成立， 所以当0 x 时， 2 ( ) x x f x ee 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(1) xy Eab ab 的离心率 2 2 e ，其左、右顶点分别为点A， B，且点A关于直线yx对称的点在直线32yx上 （1）求椭圆E的方程； （2）若点M在椭圆E上，点N在圆 222 :O xyb上，且M，N都在第一象限，MNy 轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sinCND是否为定值，若是定值， 求出该定值；若不是定值，说明理由 【解答】 （1）解：点(,0)Aa关于直线yx对称的点(0,)a在直线

42、32yx上， 02a，解得2a 又 2 2 c a ， 222 abc，联立解得 22 2bc 椭圆E的标准方程为： 22 1 42 xy （2）证明：设 0 (M x， 0) y，:(2)(0)AMyk xk，令0 x ，解得2yk，(0,2 )Ck 第 20页（共 20页） 联立 22 (2) 24 yk x xy ，化为： 2222 (21)8840(0)kxk xkk 2 0 2 84 2 21 k x k ，解得 2 0 2 24 21 k x k 0 2 4 21 k y k ，即 2 2 24 ( 21 k M k ， 2 4 ) 21 k k ， 直线BM的斜率 2 2 2 4 1 21 242 2 21 k k kk k BM的方程： 1 (2) 2 yx k ，令0 x ，解得 1 y k ， 1 (0,)D k 设( N N x， 0) y，则( N NCx ， 0 2)ky，( N NDx ， 0 1 )y k 2 22 00 21 2 N k NC NDxyy k 22 0 2 N xy， 0 2 4 21 k y k ， 0NC ND NCND即90CND sin1CND