理科数学-考场仿真演练卷（全国Ⅲ卷）02（A3考试版+全解全析）.doc

1、理科数学试题 第 1页（共 18页）理科数学试题 第 2页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 绝密绝密启用前启用前 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）02 理科数学 （考试时间：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将

2、本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1已知复数 1 z、 2 z在复平面内对应的点分别为) 11 ( ，、) 10( ，则 2 1 z z 的共轭复数为（） 。 A、i1B、i1C、i1D、i1 2已知p：0 1 2 | x x xAx，q：0|axxBx，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取 值范围是（） 。 A、) 1(，B、 1(，C、)2，D、)2(， 32020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰 高多彩，呈现形式新颖多

3、样。某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙 家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数 为（） 。 A、48B、72C、108D、120 4 已知定义域为R的奇函数)(xf满足：0)()3(xfxf， 且当)0 2 3 (，x时， 1 12 )( 2 x x xf， 则)2021(f （） 。 A、 2 1 B、 2 1 C、1D、2020 5运行如右图所示的程序框图，则输出的k的值为（） 。 A、11B、12C、13D、14 6一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真

4、的可以打 开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（） 。 A、1B、 2 1n C、 2 1n D、n 7已知函数)(xf的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（） 。 A、xxxfln)(B、 x exxf)( C、 x x xf ln )(D、 x e xf x )( 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） 。 A、2B、4 C、 3 16 D、 3 22 9 32) 1 (x x 的展开式中的常数项为a，则直线axy 与曲线 2 xy 围成图形的面积为（） 。 A、 2 3 B、 8 27 C、 4 27 D、 2 9 10 已知02ln 111 yxx，02ln242

5、 22 yx， 记 2 21 2 21 )()(yyxxM， 则M的最小值为 （） 。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 11现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形， 2AB， 侧面PAD为等边三角形， 线段BC的中点为E， 若1PE， 则所需球体原材料的最小体积为 （） 。 A、 3 28 B、 3 28 C、9D、 3 314 12如图所示，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB为圆O的直径，上底CD的端点在圆周 上，若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD周长最大时，双曲线的实轴长为（）

6、。 A、33B、232 C、233D、133 第卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 已知函数)(xf和)2( xf都是奇函数， 定义域为R， 当)20( ，x时，xxxf sin)(， 则)13()21(ff 。 14如图所示，在ABC中，BCBD 3 1 ，点E在线段AD上移动(不含端点)，若ACABAE，则 ，2的最小值是。 15已知点)(yxP，是直线l：04 ykx(0k)上的动点，过点P作圆C：02 22 yyx的切线PA， 理科数学试题 第 3页（共 18页）理科数学试题 第 4页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 A为切点。

7、若| PA最小为2时， 圆M：0 22 myyx与圆C外切， 且与直线l相切， 则m的值为。 16在数列 n a中，4 1 a、6 2 a，且当2n时，94 1 nn aa，则 n a；若 n T是数列 n b的前 n项和， 1 )3(9 nn n n aa a b，则当) 8 7 )(3(5 1nn Ta 为整数时n。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项 中国首次。2020年12月1日凌晨，嫦娥五号返回器携带“

8、月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采 样返回，为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行 调查， 调查样本中有40名女生。 下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号” 的部分) 关注没关注合计 男 女 合计 附： )()()( )( 2 2 dbdccaba bcadn K ，其中dcban )( 0 2 kKP150. 0100. 0050. 0010. 0005. 0 0 k072. 2706. 2841. 3635. 6879. 7 （1）完成上面的22列联表，并计算回答是否有%95的把握认为“对嫦娥五号

9、关注程度与性别有关”? （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽3人，记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关 注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望。 18 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边2c，且CBaAasin2sinsin Bb sin。 （1）若AABC2sin)sin(sin，求ABC的面积； （2）记AB边的中点为M，求|CM的最大值，并说明理由。 19 （本小题满分 12 分） 如图 1，在直角三角形ABC中，C为直角， 30A，D在AC上，且3 DCDA，作ABDE 于 点E，将ADE沿直线DE折起到PDE所

10、处的位置，连接PB、PC，如图 2。 （1）若平面PDE平面BCDE，求证：PDBE ； （2）若二面角ADEP为锐角， 且二面角EBCP的正切值为 9 62 ，求PB的长。 20 （本小题满分 12 分） 设函数xaxxfln)(，其中Ra，曲线)(xfy 在点() 1 (1f，)处的切线经过点)23( ，。 （1）求函数xaxxfln)(的极值； （2）证明： ee x xf x 2 )(。 21 （本小题满分 12 分） 如图所示， 1 F、 2 F分别是椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的左、右焦点，点P在椭圆C上。当 21PF F最大 时， 5 3 cos 21

11、 PFF且2 212 FFPF。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线 2 PF与椭圆C的另一交点为Q，过 1 F作直线PQ的垂线l，l与圆 222 byx交于A、B两点， 求四边形APBQ面积的最大值。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 sin cos ty tx (t为参数且0t，) 2 0( ，)，曲线 2 C的参数 方程为 sin1 cos y x (为参数且) 22 ( ，)，以O为极点，x轴的正半

12、轴为极轴建立极坐标系，曲线 3 C的 极坐标方程为cos1() 2 0( ，)，曲线 4 C的极坐标方程为1cos。 （1）求 3 C与 4 C的交点到极点的距离； （2）设 1 C与 2 C交于P点， 1 C与 3 C交于Q点，当在) 2 0( ，上变化时，求|OQOP 的最大值。 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知a、b大于0，设abx ， 2 22 ba y 。求证： （1）abxy ； （2）bayx。 理科数学试题 第 5页（共 18页）理科数学试题 第 6页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 2021 年高考数学模拟考场仿

13、真演练卷（全国卷）02 理科数学全解全析 123456789101112 ABDACCCADBAB 1已知复数 1 z、 2 z在复平面内对应的点分别为) 11 ( ，、) 10( ，则 2 1 z z 的共轭复数为（） 。 A、i1 B、i1 C、i1 D、i1 【答案】A 【解析】由题意可知iz1 1 ，iz 2 ，则i i i z z 1 1 2 1 ，故选 A。 2已知p：0 1 2 | x x xAx，q：0|axxBx，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取 值范围是（） 。 A、) 1(， B、 1(， C、)2， D、)2(， 【答案】B 【解析】由题意可知)2) 1(，A，)

14、(aB，若p是q的必要不充分条件，则A B， 则1a，故选 B。 32020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰 高多彩，呈现形式新颖多样。某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙 家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数 为（） 。 A、48 B、72 C、108 D、120 【答案】D 【解析】若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有48 4 4 1 2 CC种不同的分配方法， 若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有72 2 4 3 3 AA种不同的分配方法， 综上

15、，这8张门票共有1207248种不同的分配方法，故选 D。 4 已知定义域为R的奇函数)(xf满足：0)()3(xfxf， 且当)0 2 3 (，x时， 1 12 )( 2 x x xf， 则)2021(f （） 。 A、 2 1 B、 2 1 C、1 D、2020 【答案】A 【解析】函数)(xf为奇函数，)()(xfxf，)3()3(xfxf， 又0)()3(xfxf得)3()3()(xfxfxf， 即)()3(xfxf，)(xf的周期为3T， ) 1()2()26733()2021(ffff， 又当)0 2 3 (，x时， 1 12 )( 2 x x xf， 2 1 ) 1(f， 2 1

16、 )2021(f，故选 A。 5运行如右图所示的程序框图，则输出的k的值为（） 。 A、11 B、12 C、13 D、14 【答案】C 【解析】由算法框图可知，S是首项为1，公比为2的等比数列的前n项和， 即12222 110 kk S， 12) 12(log 12 2 ，12)2(log) 12(log 12 2 13 2 ，13k，故选 C。 6一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打 开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（） 。 A、1 B、 2 1n C、 2 1n D、n 【答案】C 理科数学试题 第 7页（共 18页）理科数学

17、试题 第 8页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 【解析】已知每一位学生打开柜门的概率为 n 1 ， 所打开柜门次数的平均数(即数学期望)为 2 11 . 1 2 1 1 n n n nn ，故选 C。 7已知函数)(xf的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（） 。 A、xxxfln)( B、 x exxf)( C、 x x xf ln )( D、 x e xf x )( 【答案】C 【解析】A 选项，1ln)(xxf，当) 1 0( e ，时)(xf递减，不符合， B 选项， x exxf) 1()(，当)1( ，时)(xf递增，不符合， C 选项， 2 ln1 )(

18、 x x xf ，当)0(e，时)(xf递增，当)(，e时)(xf递减，符合， D 选项， 2 ) 1( )( x xe xf x ，当) 10( ，时)(xf递减，不符合， 故选 C。 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） 。 A、2 B、4 C、 3 16 D、 3 22 【答案】A 【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图， 该几何体是底面为直角形(上底是下底是2，高是2)，高为2的四棱推ABCDP， 该几何体的体积222)21 ( 2 1 3 1 V，故选 A。 9 32) 1 (x x 的展开式中的常数项为a，则直线axy 与曲线 2 xy 围成图形的面积为（）

19、 。 A、 2 3 B、 8 27 C、 4 27 D、 2 9 【答案】D 【解析】 32) 1 (x x 的展开式的通项公式为： 33 3 23 31 )() 1 ( rrrrr r xCx x CT， 由1r得常数项为3 01 3 xC，3a， 直线axy 与曲线 2 xy 围成图形的面积等于： AOB的面积减去曲线 2 xy 与AB、x轴围成图形的面积(如图)， 由 2 3 xy xy 得)93( ，A， 由定积分的意义得所求面积为： 2 9 3 3 1 2 27 93 2 1 33 0 2 dxxS，故选 D。 10 已知02ln 111 yxx，02ln242 22 yx， 记 2

20、 21 2 21 )()(yyxxM， 则M的最小值为 （） 。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 【答案】B 【解析】设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，点A在函数2lnxxy上，点B在直线02ln242yx上， M的最小值为函数2lnxxy上的点到 直线02ln242yx的距离的最小值的平方， 函数2lnxxy的导数为1 1 x y， 与直线02ln242yx平行的直线的斜率为 2 1 ， 令 2 1 1 1 x y，解得2x，切点的坐标为)2ln2( ， 切点到直线02ln242yx的距离 5 2 21 |2ln242ln22| 22 d， 5 4 2 d

21、M，故选 B。 理科数学试题 第 9页（共 18页）理科数学试题 第 10页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 11现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形， 2AB， 侧面PAD为等边三角形， 线段BC的中点为E， 若1PE， 则所需球体原材料的最小体积为 （） 。 A、 3 28 B、 3 28 C、9 D、 3 314 【答案】A 【解析】如图所示，设F为AD中点，G为正方形ABCD中心， 连EF、AC，GACEF， 设四棱锥的外接球的球心为O，半径为r， 则球心O一定在过点G且垂直于底面ABCD的垂线上，

22、 EFOG ，1 FGEG，PAD是边长为2的等边三角形，3PF， 又1PE、2 ABEF，PEPF ， 60PEF，又1CEBEPE， E为PBC外心，则球心O一定在过点E且垂直于侧面PBC的垂线上， PEOE ， 30OEG， 3 3 3 3 EGOG， 又2 2 1 ACAG， 3 21 3 1 2 22 OGAGAOr， 此时球心O在四棱锥ABCDP外，不是最小球，浪费材料， 可把底面ABCD的外心G看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥ABCDP的外接球， 但这时候原材料最省，最小球的半径2 AGR， 3 28 3 4 3 RV球，故选 A。 12如图所示，半径为2的半圆有一内接梯形A

23、BCD，它的下底AB为圆O的直径，上底CD的端点在圆周 上，若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD周长最大时，双曲线的实轴长为（） 。 A、33 B、232 C、233 D、133 【答案】B 【解析】2R，设ABCBAC，作ABCE 于点E， 则sin4sin2RBC， 22 sin4sin2)90cos(RBCBE ， 22 sin84sin422RCD， 则梯形周长 2 sin84sin4222RCDBCAB 8sin8sin8sin84sin84 22 10) 2 1 (sin8 2 ， 当 2 1 sin，即 30时周长有最大值10，这时2 RBC， 323RAC，

24、13) 13( 2 1 )( 2 1 RBCACa， 双曲线的实轴长a2为232，故选 B。 13 已知函数)(xf和)2( xf都是奇函数， 定义域为R， 当)20( ，x时，xxxf sin)(， 则)13()21(ff 。 【答案】0 【解析】由)(xf和)2( xf都是奇函数可知：)()(xfxf，)2()2()2(xfxfxf， 则)4()(xfxf，故)(xf是周朝为4的奇函数， 则) 1 () 1()21(fff，) 1 ()13(ff，则0)13()21(ff。 14如图所示，在ABC中，BCBD 3 1 ，点E在线段AD上移动(不含端点)，若ACABAE，则 ，2的最小值是。

25、 【答案】2 16 1 【解析】ABACBC，BCBD 3 1 ，ACABBDABAD 3 1 3 2 ， 点E在线段AD上移动(不含端点)，设ADtAE ，10t， 则ACABADtAE，AC t AB t AD ， 对应相等得 3 2 t 、 3 1 t ，t 3 2 、t 3 1 ，则2 ， 又 16 1 ) 4 1 3 2 ( 3 1 ) 3 2 ( 222 ttt，当 8 3 t时2取最小值为 16 1 。 15已知点)(yxP，是直线l：04 ykx(0k)上的动点，过点P作圆C：02 22 yyx的切线PA， A为切点。 若| PA最小为2时， 圆M：0 22 myyx与圆C外切

26、， 且与直线l相切， 则m的值为。 【答案】252 【解析】圆C的圆心为) 10(，C，半径为1， 当CP与l垂直时，| PA的值最小，此时点C到直线l的距离为 2 1 |41 | k d ， 理科数学试题 第 11页（共 18页）理科数学试题 第 12页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 由勾股定理得 2 2 22 ) 1 |41 | (21 k ，又0k，解得2k， 圆M的圆心为) 2 0( m M，半径为| 2 | m ， 圆M与圆C外切，| ) 1( 2 |1| 2 | mm ，0m， 圆M与直线l相切， 5 |4 2 | 2 m m ，解得252m。 16在数列 n

27、 a中，4 1 a、6 2 a，且当2n时，94 1 nn aa，则 n a；若 n T是数列 n b的前 n项和， 1 )3(9 nn n n aa a b，则当) 8 7 )(3(5 1nn Ta 为整数时n。 【答案】 2343 14 2 n n n ， ， 24 【解析】当2n时，由94 1 nn aa得) 3(43 1 nn aa， 故数列3 n a从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列， 则当2n时，343 2 n n a，又当1n时 1 a不符合该式，则 2343 14 2 n n a n n ， ， ， 当1n时， 8 3 11 bT，ZTa 2 15 ) 8 7 )(3(5

28、 12 ，不符合题意， 当2n时， 14 1 14 1 ) 14() 14( 43 )343()343( )3343(9 1212 2 12 2 nnnn n nn n n b， 此时 14 1 8 7 ) 14 1 14 1 () 14 1 14 1 ( 8 3 1121222 321 nnn nn bbbbT， 则 14 15 15 14 1 435 11 1 nn n ，由是整数，得14 1 n 是15的因数， 当且仅当2n时， 14 15 1 n 是整数，得12，故24n。 17 （12 分）中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标， 创造

29、了许多项中国首次。2020年12月1日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地 外天体无人采样返回， 为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度， 从该校高三学生中随机抽取了100 名学生进行调查，调查样本中有40名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关 注“嫦娥五号”的部分) 关注没关注合计 男 女 合计 附： )()()( )( 2 2 dbdccaba bcadn K ，其中dcban )( 0 2 kKP150. 0100. 0050. 0010. 0005. 0 0 k072. 2706. 2841. 3635. 6879. 7 （1）完

30、成上面的22列联表，并计算回答是否有%95的把握认为“对嫦娥五号关注程度与性别有关”? （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽3人，记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关 注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望。 【解析】 （1）完成上面的22列联表如表，3 分 关注没关注合计 男303060 女122840 合计4258100 841. 3941. 3 203 800 40605842 )30122830(100 2 2 K， 有%95的把握认为“对嫦娥五号关注与性别有关”，5 分 （2）随机选一高三女生，对此事关注的概率 10 3 40 12 P，6 分 又服从二项分

31、布) 10 3 3(，BX， 1000 343 ) 10 7 () 10 3 ()0( 300 3 CXP， 1000 441 ) 10 7 () 10 3 () 1( 211 3 CXP， 1000 189 ) 10 7 () 10 3 ()2( 122 3 CXP， 1000 27 ) 10 7 () 10 3 () 3( 033 3 CXP， 随机变量X的分布列为：10 分 X0123 P 1000 343 1000 441 1000 189 1000 27 10 9 10 3 3)(pnXE。12 分 18 （12 分） 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知边2c

32、， 且CBaAasin2sinsin Bb sin。 （1）若AABC2sin)sin(sin，求ABC的面积； （2）记AB边的中点为M，求|CM的最大值，并说明理由。 【解析】 （1）在ABC中，CBA，2c，BbCBaAasinsin2sinsin， BbCcBaAasinsinsinsin，1 分 则由正弦定理得： 222 bcaba，即abcba 222 ，2 分 理科数学试题 第 13页（共 18页）理科数学试题 第 14页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 由余弦定理得： 2 1 2 cos 222 ab cba C，则 3 C，3 分 AABC

33、2sin)sin(sin， AAABBAcossin2)sin()sin(， AABABABABAcossin2sincoscossinsincoscossin， AABAcossin2sincos2， 0cosA或ABsinsin，即 2 A或BA ，5 分 当 2 A时， 6 B， 3 32 3 3 2 6 tan cb， 3 32 2 3 32 2 1 2 1 bcS ABC ，6 分 当BA 时，ABC为正三角形，2cba， 3 2 3 22 2 1 sin 2 1 AbcS ABC ；7 分 （2）AB边的中点为M，)( 2 1 CBCACM， |)|2|(| 4 1 | 222 C

34、BCACBCACM )( 4 1 )cos2( 4 1 2222 abbaCabab，9 分 由余弦定理可知：Cabbaccos2 222 ，2c， 3 C，4 22 abba， 1 2 1 )42( 4 1 | 2 ababCM， 又abba2 22 ，abab24，4ab，11 分 3| 2 CM，3|CM，故|CM的最大值为3。12 分 19（12分） 如图1， 在直角三角形ABC中，C为直角， 30A，D在AC上， 且3 DCDA， 作ABDE 于点E，将ADE沿直线DE折起到PDE所处的位置，连接PB、PC，如图 2。 （1）若平面PDE平面BCDE，求证：PDBE ； （2）若二面

35、角ADEP为锐角，且二面角EBCP的正切值为 9 62 ，求PB的长。 【解析】 （1）由题意知，DEBE ，又平面PDE平面BCDE，平面PDE平面DEBCDE ， BE平面BCDE，BE平面PDE，2 分 又PD平面PDE，PDBE ，3 分 （2）由题意知，BEDE 、PEDE ，EPEBE， PE平面PBE，EB平面PBE，DE平面PBE，4 分 又DE平面BCDE，平面PBE平面BCDE，作BEPH 所在的直线于点H， 又平面PBE平面BEBCDE ，PH平面BCDE， 以H为原点，分别以HB、HP所在直线为x、z轴， 以在平面BCDE内过点H且垂直于AB的直线为y轴建立如图的空间直

36、角坐标系， 5 分 在ABC中， 90C， 30A，3 DCDA，4AB、2BC、 2 3 AE， 设)00(，bB(4 2 5 b)，则) 2 5 ( 4 9 00( 2 bP，、)031(，bC， 则)031(，BC、) 2 5 ( 4 9 0( 2 bbBP，6 分 设平面PBC的法向量为)(zyxm， 则 0 0 BPm BCm ，即 0) 2 5 ( 4 9 03 2 zbbx yx ，取3x，则1y， 2 ) 2 5 ( 4 9 3 b b z， ) ) 2 5 ( 4 9 3 13( 2 b b m，8 分 易知平面BCE的一个法向量为) 100(，n，9 分 由二面角EBCP的

37、正切值为 9 62 ，得其余弦值为 35 33 ， 从而 35 33 41 | | | |cos| 2 z z nm nm nm，得 2 27 2 z，10 分 2 27 ) 2 5 ( 4 9 3 2 2 b b ，解得3b(取)或 11 12 b(舍)，11 分 2PH、3HB，则11 22 HBPHPB。12 分 20 （12 分）设函数xaxxfln)(，其中Ra，曲线)(xfy 在点() 1 (1f，)处的切线经过点)23( ，。 （1）求函数xaxxfln)(的极值； （2）证明： ee x xf x 2 )(。 理科数学试题 第 15页（共 18页）理科数学试题 第 16页（共

38、18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 【解析】 （1）)(xf的定义域为)0(，axaxfln)( ，1 分 则0) 1 (f，af ) 1 ( ，故)(xfy 在() 1 (1f，)处的切线方程) 1( xay，2 分 该切线经过点)23( ，代入得) 13(2 a，解得1a，3 分 xxxfln)(，1ln)( xxf， 当 e x 1 0时，0)( x f，函数单调递减，当 e x 1 时，0)( xf，函数单调递增，5 分 故当 e x 1 时，函数取得极小值 ee f 1 ) 1 (，无极大值；6 分 （2） ee x xf x 2 )(等价于：0 2 ln ee x xx

39、 x ， 由（1）可得 e xxxf 1 ln)(当且仅当 e x 1 时等号成立)， xx e x eee x xx 12 ln，故只要证明0 1 x e x e 即可，(需验证等号不同时成立)，9 分 设 x e x e xg 1 )(，0 x，则 x e x xg 1 )( ， 当10 x时，0)( x g，函数单调递减，当1x时，0)( x g，函数单调递增， 0) 1 ()( gxg，当且仅当1x时等号成立， 等号不同时成立，当0 x时， ee x xf x 2 )(。12 分 21 （12 分）如图所示， 1 F、 2 F分别是椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0ba)

40、的左、右焦点，点P在椭圆C上。当 21PF F最大时， 5 3 cos 21 PFF且2 212 FFPF。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线 2 PF与椭圆C的另一交点为Q，过 1 F作直线PQ的垂线l，l与圆 222 byx交于A、B两点， 求四边形APBQ面积的最大值。 【解析】 （1）当 21PF F最大时，点P与椭圆C的上顶点或下顶点重合， 设)0(bP ，则 5 3 2 )2( cos 222 21 aa caa PFF，1 分 22)02()( 2 212 ccbcFFPF，2 分 由得1 2 c，5 2 a，于是4 222 cab，3 分 椭圆C的标准方程是1 45 22

41、 yx ；4 分 （2）当直线PQ的斜率不存在时，4|AB， 5 58 |PQ， 则四边形APBQ的面积是 5 516 ，5 分 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为) 1( xky，)( 11 yxP，、)( 22 yxQ， 将) 1( xky与1 45 22 yx 联立并消去y，整理得020510)45( 2222 kxkxk， 0恒成立，则 45 10 2 2 21 k k xx， 45 205 2 2 21 k k xx，7 分 则 45 ) 1(58 4)(1| 2 2 21 2 21 2 k k xxxxkPQ， 由于直线l与直线PQ垂直，且经过点 1 F，直线l的方程为01

42、 kyx， 点O到直线l的距离为 1 1 2 k ， 1 34 2) 1 1 (2| 2 2 2 2 2 k k k bAB，9 分 则四边形APBQ的面积： 34 1 1 34 58 45 34158 | 2 1 2 2 2 2 2 22 k k k k k kk PQABS， 由于)23 1 1 4 1 34 22 2 ， kk k ，) 2 5 3 34 34 1 1 34 2 2 2 2 ， k k k k ， 于是152 5 516 (，S(当0k时取得最大值)，11 分 综上可知，四边形APBQ面积的最大值为152。12 分 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C

43、的参数方程为 sin cos ty tx (t为参数且0t，) 2 0( ，)， 曲线 2 C的参数方程为 sin1 cos y x (为参数且) 22 ( ，)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 3 C的极坐标方程为cos1() 2 0( ，)，曲线 4 C的极坐标方程为1cos。 （1）求 3 C与 4 C的交点到极点的距离； （2）设 1 C与 2 C交于P点， 1 C与 3 C交于Q点，当在) 2 0( ，上变化时，求|OQOP 的最大值。 理科数学试题 第 17页（共 18页）理科数学试题 第 18页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：

44、_ 【解析】 （1）联立曲线 3 C、 4 C的极坐标方程 1cos ) 2 , 0(cos1， 得01 2 ， 解得 2 51 ，即交点到极点的距离为 2 51 ；2 分 （2）曲线 1 C的极坐标方程为，() 2 0( ，0)， 曲线 2 C的极坐标方程为sin2，) 2 0( ，联立得sin2，) 2 0( ， 即sin2|OP，) 2 0( ，5 分 曲线 1 C与曲线 3 C的极坐标方程联立得cos1() 2 0( ，)， 即cos1|OQ，) 2 0( ， 1)sin(5cos1sin2| OQOP，其中2tan，8 分 当 k2 2 () 2 0( ，Zk)， 即 5 52 ar

45、csin时，|OQOP 取最大值为15 。10 分 23 （10 分）已知a、b大于0，设abx ， 2 22 ba y 。求证： （1）abxy ； （2）bayx。 【解析】 （1）证明：0a、0b，且abba2 22 ，ab ba 2 22 ，则0 2 22 ab ba ， ab ba abxy 2 22 ，当且仅当ba 时，等号成立；4 分 （2）证明：0a、0b，欲证bayx，即baab ba 2 22 ， 只需证明 22 2222 2 2 2 2 baba ba abab ba ，7 分 也就是证明ab baba ab 22 2 2222 ，即证0) 2 ( 2 22 ab ba ， 显然此式成立，当且仅当ab ba 2 22 ，即ba 时等号成立， 故原不等式bayx成立。10 分