专题11 二次函数的实际应用（举一反三）（原卷版）.docx

1、【方法点拨】【方法点拨】二次函数的实际应用中求利润最值的解题思路: 1.求最大利润就是求二次函数在自变量取值范围内的最大值; 2.根据题意,列出关于自变量的二次函数表达式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; 3.用顶点式表示出二次函数表达式,通常函数值在顶点处或自变量取值范围内的两端点处取最大(小)值,根 据函数图象的增减性进行判断即可. 【例 1】（2021宝应县一模）某商店销售进价为 30 元/件的某种商品，在第 x（1x90）天的售价与销量 的相关信息如下表： 时间 x（天）1x5050 x90 售价（元/件）x+4090 每天销量（件）2002x 设销售商品的每天利润为 y

2、 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售 1 件该商品就捐赠 a 元（a0）给贫困地区，在销售的前 50 天内该商店当日 最大利润为 5832 元，求 a 的值 【变式 1-1】（2021龙港市一模）温州某商店以每件 40 元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段 时间内，该商品的日销售量 y（件）与售价 x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表 售价（元/件）455060 日销售量（件）11010080 （1）求 y 关于 x 的函数表达式 （2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元

3、 （3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖 m 元（m0），要想在日销售量不少于 68 件时的日销售最大利润是 1360 元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求 m 的值（每件 销售利润售价进价） 【变式 1-2】（2021江岸区模拟）某网店经营一种热销小商品，每件成本 10 元，经过调研发现，这种小商 品 20 天内售价在持续提升，销售单价 P（元/件）与时间 t（天）之间的函数关系为 P20? ? ?t（其中 1 t20，t 为整数），且其日销售量 y（件）与时间 t（天）的关系如表 时间 t（天）159131721 日销售量 y（件）989082746658 （

4、1）已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出 y（件）与时间 t（天）函数关系式； （2）在 20 天的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的 20 天中，该网店每销售一件商品就捐赠 a 元（a 为整数）利润给“精准扶贫”的对 象，通过销售记录发现，这 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t（天）的增大而增大，求 a 的最小值 【变式 1-3】（2020海宁市一模）受新冠疫情影响，3 月 1 日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价 格开始上涨如图 1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格 y（元/kg）与周次 x（x 是正整数，1x

5、5）的 关系可近似用函数 y? ? ?x+a 刻画；进入第 5 周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格 y （元/kg）从第 5 周的 6 元/kg 下降至第 6 周的 5.6 元/kg，y 与周次 x（5x7）的关系可近似用函数 y?t ? ? ? ?bx+5 刻画 （1）求 a，b 的值 （2）若前五周该蔬菜的销售量 m（kg）与每周的平均销售价格 y（元/kg）之间的关系可近似地用如图 2 所示的函数图象刻画，第 6 周的销售量与第 5 周相同： 求 m 与 y 的函数表达式； 在前六周中，哪一周的销售额 w（元）最大？最大销售额是多少？ （3）若该蔬菜第 7 周的销售量是

6、100kg，由于受降雨的影响，此种蔬菜第 8 周的可销售量将比第 7 周减 少 a%（a0）为此，公司又紧急从外地调运了 5kg 此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬 菜第 8 周的销售价格比第 7 周仅上涨 0.8a%若在这一举措下，此种蔬菜在第 8 周的总销售额与第 7 周 刚好持平，请通过计算估算出 a 的整数值 【方法点拨【方法点拨】在解答抛物线形问题时,求出函数的解析式是关键.若没有抛物线的函数解析式,则一般要先正 确建立平面直角坐标系,将题中的特殊位置转化为相应点的坐标,往往最高(低)点为抛物线的顶点. 【例 2】（2021镇海区模拟）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面

7、O 处将球踢出，一运动员在离守门 员 8 米的 A 处发现球在自己头上的正上方 4 米处达到最高点 M，球落地后又一次弹起据实验测算，足 球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少 到原来最大高度的一半 （1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 B 和守门员（点 O）的距离； （2）运动员（点 A）要抢到第二个落点 C，他应再向前跑多少米？（假设点 O、A、B、C 在同一条直线 上，结果保留根号） 【变式 2-1】（2021嘉善县一模）已知，足球球门高 2.44 米，宽 7.32 米（如图 1）在射门训练中，一球员 接传球后

8、射门，击球点 A 距离地面 0.4 米，即 AB0.4 米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水 平移动距离 BC 为 6 米时，球恰好到达最高点 D，即 CD4.4 米以直线 BC 为 x 轴，以直线 AB 为 y 轴 建立平面直角坐标系（如图 2） （1）求该抛物线的表达式； （2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离； （3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退 m 米后接球射门，击球点为 A（如图 3），请直接写出 m 的取值范围 【变式 2-2】（2021海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形 OABC 构成矩形一边 OA 的长 是 12m，另一边 OC 的长是

9、 1m抛物线上的最高点 D 到地面 OA 的距离为 7m以 OA 所在直线为 x 轴， 以 OC 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求该抛物线所对应的函数表达式 （2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为 5m，求两 排灯之间的水平距离 （3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于? ?m 的空 隙现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘 2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度 【变式 2-3】（2020绍兴）如图 1，排球场长为 18m，宽为 9m，网高为 2.24m，队员站在底线 O 点处发球，

10、 球从点O的正上方1.9m的C点发出， 运动路线是抛物线的一部分， 当球运动到最高点A时， 高度为2.88m， 即 BA2.88m，这时水平距离 OB7m，以直线 OB 为 x 轴，直线 OC 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如 图 2 （1）若球向正前方运动（即 x 轴垂直于底线），求球运动的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数 关系式（不必写出 x 取值范围）并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由 （2）若球过网后的落点是对方场地号位内的点 P（如图 1，点 P 距底线 1m，边线 0.5m），问发球点 O 在底线上的哪个位置？（参考数据： ?取 1.4） 【方法点拨】【方法点

11、拨】与几何图形面积有关的二次函数实际应用题的解题步骤: 在解与几何图形面积有关的二次函数实际应用题时,先设一边长为 x,再根据题中条件,用含 x 的代数式表示 出相关线段的长,根据周长、面积公式可列出函数表达式,再根据二次函数的性质求解.另外,实际问题中的 函数,自变量的取值范围往往受到限制,这时对应的函数图象应是抛物线的一部分. 【例 3】（2020连云区二模）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总 长为 80 米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域， 而且这三块矩形区域的面积相等 设 BC 的长度为 x 米，矩形区域 ABCD 的面积为 y 米 2 （1）

12、求证：AE2BE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 【变式 3-1】（2020温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用 20 米 的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中 AD 的长不超过墙长；方案乙中 AD 的长大于墙长 （1）若 a6 按图甲的方案，要围成面积为 25 平方米的花圃，则 AD 的长是多少米？ 按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？ （2）若 0a6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由 【变式

13、 3-2】（2021富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足 够长），用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 ABxm，花园的面 积为 Sm2 （1）若花园的面积为 192m2，求 x 的值； （2）写出花园面积 S 与 x 的函数关系式x 为何值时，花园面积 S 有最大值？最大值为多少？ （3）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 a（14a22）和 6m，要将这棵树围在花园内（含 边界，不考虑树的粗细），设花园面积 S 的最大值为 y，直接写出 y 与 a 的关系式 【变式 3-3】（2019包头模拟

14、）我市为开发沿黄流域小白河渔业资源，鼓励养殖户开展混合养殖，现公布 如下政策： 每亩水面年租金为 500 元； 每亩水面可在年初混合投放 4 公斤甲种鱼和 20 公斤乙种鱼： 经市场调查发现：每公斤甲种鱼的价格为 75 元，每公斤甲种鱼的饲养费用为 525 元，每公斤甲种鱼当年 可获 1400 元收益；每公斤乙种鱼的价格为 15 元，每公斤乙种鱼的饲养费用为 85 元，每公斤乙种鱼当年 可获 160 元收益 （1）某养殖户现有资金 25000 元，他准备再向银行贷款，用于甲乙鱼混合养殖，已知银行贷款的年利率 为 10%，试问该养殖户至少应租多少亩水面，并至少向银行贷款多少元，可使年利润不少于 36600 元？ （2）为了节省材料该养殖户利用河岸的一角MON（MON135）的两边为边，用总长为 120 米的 围网在水库中围成了如图所示的三块区域，其中区域为直角三角形，区域为矩形，而 且四边形 OBDG 为直角梯形 I若这块区域的面积相等，则 OB 的长为米； II设 OBx（m），四边形 OBDG 的面积为 y（m2），求 y 与 x 之的函数关系式，并说明 x 为何值时， y 有最大值？最大值是多少？