1、24. 1. 2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的历 史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆 弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的 中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？（精确到 0.1 m）. 1.如图：在O中直径是 ，弦是 ，弦AB所 对的优弧是_劣弧是_. 2.什么是轴对称图形？轴对称图形的对称轴是什么？ D O A B E C 知识回顾 完全重合. 我发现：无论怎样对折，折痕两边 我得到：圆是轴对称图形，任何 一条直径所在的直线都是它的对 称轴. 实验探究一 请你将手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径 对折,重复几
2、次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？ 请你在圆形纸片上任意画一条弦AB, 作直径 CDAB于点E，你能发现图中有哪些相等的线段和 弧? 请你通过操作验证你的猜想是否正确？ 实验探究二 D O AB E C 相等的线段有 相等的弧有 O AB D E C 请你在圆形纸片上任意画一条弦AB,作直径 CDAB于点E，你能发现图中有哪些相等的线段 和弧? 请你通过操作验证你的猜想是否正确？ 实验探究二 已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB， 垂足为E.求证：AEBE，ACBC，AD=BD. 证明猜想 当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重 和,AC和BC重合,AD和BD重合. AC=BC,
3、AD=BD. D O AB E C 证明：连接OA,OB OA=OB,CDAB, AE=BE.(三线合一） CD是AB的垂直平分线. 该图形关于直径CD所在的直线对称. 垂径定理的几何语言叙述: CD为直径为直径, ,CDAB AE=BE， AC=BC, AD=BD 垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧 D O AB E C 垂径定理： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？ 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为没 有直径 A B O C D E O AB C AB O E AB D C O E 注意：“垂”和“径”缺一不可. 垂径定理中的“径”可以是直径
4、，半径，或直径的一部份. 定理解读 是 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的 历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的 中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（精 确到 0.1 m） 17.5 O D C 7.23 应用新知 R OD=R-7.23 BA 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半 径为R，经过圆心O做弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB交于点 C，D是A
5、B的中点，C是AB的中点，CD是拱高 AB=37，CD=7.23 AD= AB= 37=18.5, OD=OC-CD=R-7.23 在RtOAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即R2=18.52+（R-7.23）2 解得R27.3 因此，赵州桥的主桥拱半径为27.3m. O A B C D 反思：在本题里，作垂直于弦的半径，为应用垂径定理创造了条反思：在本题里，作垂直于弦的半径，为应用垂径定理创造了条 件同时又构建了直角三角形件同时又构建了直角三角形. 1. 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16.求截面圆心O到水面的距离以及 排水管中水最深是多少
6、? 2222 O CO BB C1 086 D C 10 8 6 CD=OD-OC=10-6=4 举一反三 解：过点O作OCAB，垂足为点C. 由垂径定理得： BC= AB= 16=8 2 1 由勾股定理得： 答：截面圆心O到水面的距离为6，排水管中水最深4. 2 1 我来当老师,出题考考你 D O AB C D O AB C 半径半径 半弦半弦 弦弦 心心 距距 弓形高弓形高 垂径定理特别好，建立模型解题妙 半径半弦弦心距，知二求一用勾股 知一求二借方程，时刻牢记记轻松 2. 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：ACBD. 证明：过点O作OEAB，
7、垂足为E. 由垂径定理知: AEBE，CEDE. AECEBEDE. ACBD E . A CD B O 应用新知 u 解决有关弦的问题时常见辅助线的作法：过圆 心作弦的垂线，连结半径. 总结反思 u 圆的轴对称性. u 解决有关弦的问题时常用的数学模型:弦心距、 半径、半弦构成直角三角形，垂径定理通常与勾 股定理联用. 1. 已知O中，弦AB=8 cm，圆心到AB的距离为3 cm， 则此圆的半径为 . 2. O的直径AB=20 cm，BAC=30，则弦AC=_. 3. 已知O的半径为10 cm，MNEF，且MN=12 cm， EF=16 cm，则弦MN和EF之间的距离为 . 4. 如图，在O中，AB、AC为互相 垂直且相等的两条弦，ODAB于D， OEAC于E.求证：四边形ADOE是正 方形 D O AB C E 反馈练习
