2021届湖北高考数学冲刺压轴卷（及答案）.pdf

1、书书书 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷 第 页（ 共 页） 年 湖 北 省 高 考 冲 刺 压 轴 卷 数学试卷 本试题卷共 页， 题。全卷满分 分。考试用时 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 答题前， 先将自己的姓名、 准考证号填写在试卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 非选择题的作答： 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并上交。 一、 选择题

2、： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的。 设集合 ， ， 则 复数 的共轭复数是 五一长假期间， 名同学到博物馆里面的书画、 青铜、 瓷器三个场馆做志愿者， 每名同学只 去 个场馆， 则每个场馆恰好有 名志愿者的不同安排方法有 种 种 种 种 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷 第 页（ 共 页） 刘徽（ 约公元 年 年） ， 魏晋时期伟大的数学家， 中国古代数学理论的奠基人之 一 他在割圆术中提出的“ 割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体 而无所失矣” ， 这可视为中国古代极限观念的重要阐释 割圆术的核心思想是

3、将一个圆的 内接正 边形等分成 个等腰三角形， 当 变得很大时， 这些等腰三角形的面积之和近似 等于圆的面积 运用割圆术的思想， 得到 的近似值为 一个大于 的自然数， 除了 和它自身外， 不能被其它正整数整除的数叫做素数 我国数 学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“ 每个大 于 的偶数可以表示为两个素数的和” ， 如 在不超过 的素数中， 随机地取两 个不同的数， 其和等于 的概率是 自主研制大推力运载火箭是我国实现大国战略的重要工程 年 月 日， 由长征三 号乙型火箭发射的嫦娥四号探测器已完成探月任务 这次发射所用火箭燃料质量约 千克， 火箭（ 除燃料部分

4、） 质量约 千克， 获得了 的最大速度 年 月 日， 使用除燃料外总重约为 千克的火箭发射了天问一号火星探测器 据了解， 两次发射在不考虑空气阻力的条件下， 火箭发射的最大速度 （ ） 和燃料质量 （ 千 克） ， 火箭（ 除燃料部分） 质量 （ 千克） 的函数关系为 （ ） ， 其中 为待定常 量 为使发射天问一号的火箭至少获得 的最大速度， 则该火箭大约需加注（ ） 千克燃料 （ 参考数据及公式： ， 时， （ ） ） 如图， 已知 是半径为 ， 圆心角为 的一段圆弧 上一点， ， 则 的最小 值是 槡 槡 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷 第 页（ 共 页） 在正方体 中， 动点 从 点出

5、发， 在正方体表面沿逆时针方向运动一 周后， 再回到 的运动过程中， 点 与平面 的距离保持不变， 运动的路程 与 之间满足函数关系 （ ） ， 则此函数图象大致是 二、 选择题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求。全部选对的得 分， 部分选对的得 分， 有选错的得 分。 已知 ， 为正实数， 则下列结论正确的是 若 ， 则（ ） ） 若 ， 为正实数， 则 若 ， 则 若 ， 则 的取值范围是 ， ） 设抛物线 ： （ ） 的焦点为 ， 准线为 ， 为 上一点， 以 为圆心， 为半 径的圆交 于 、 两点， 若 ， 且 的面积为 槡 ， 则

6、点 ， ， 三点共线 是等边三角形 抛物线 的方程为 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷 第 页（ 共 页） 某校数学兴趣小组的学生对函数 （ ） （ ） 进行探究， 得出如下四个结论， 则 正确的有 （ ） 是周期函数 （ ） 是奇函数 时， （ ） 在（ ， ） 有 个零点 （ ） 的最大值为 已知函数 （ ） （ ） ， ， 下列结论正确的是 若 （ ） 在点（ ， ） 处的切线方程为 ， 则 时， （ ） 的单调递增区间为（ ， 槡 ） 若 （ ） 在（ ， ） 内存在唯一极小值点， 则 是 （ ） （ ） 在（ ， ） 恒成立的必要条件 三、 填空题： 本题共 小题， 每小题 分， 共

7、分。 已知（ ） （ ） 的展开式中二项式系数和为 ， 且各项系数和为 ， 则 已知数列 的前 项和为 ， ， （ ， ） ， 则数列 的通项 公式为 已知三棱锥 各项点均在球体 的表面上， 为球的直径， 若 ， ， 三棱锥 的体积为 ， 则球 的体积为 已知 ， 是双曲线 ： 的左右焦点， 是双曲线右支上的一点， 半径为槡 的 圆与 的边 ， 的延长线及 的延长线分别切于点 ， ， ， 则 的面积为 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷 第 页（ 共 页） 四、 解答题： 本题共 小题， 共 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 （ 分） 从 ， （ ， ） ， ， （ ， ） ， （

8、， ） 这三个条件中任选一个， 补充在下面题目 条件中， 并解答 已知数列 的前 项和为 ， ， 且 （ ） 求 ； （ ） 已知 是 ， 的等比中项， 求数列 的前 项和 注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分 （ 分） 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， （ ） （ ） 求 ； （ ） 若 ， 求 的面积的最大值 （ 分） 在四棱锥 中， 底面 是正方形， 侧棱 底面 ， ， 是 的中点， 过点 作 交 于点 （ ） 求证： 面 面 ； （ ） 求二面角 的平面角的余弦值 （ 分） 为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果， 某药物研究所科研人员随机选取 只小白鼠， 并 将该

9、疫苗首次注射到这些小白鼠体内 独立环境下试验一段时间后再检测这些小白鼠的某 项医学指标值并制成如图所示的频率分布直方图 （ ） 根据频率分布直方图， 估计 只小白鼠该项医学指标平均值珋 （ 同一组数据用该 组数据区间的中点值表示） ； 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷 第 页（ 共 页） （ ） 试验数据表明， 一般认为 小白鼠的该项医学指标值 服从 正态分布 （ ， ） ， 且首次注射疫 苗的小白鼠该项医学指标值不低 于 时， 就可以认为其体内已 经产生抗体； 进一步研究还发现， 对第一次注射疫苗的 只小白 鼠中没有产生抗体的那一部分群 体进行第二次注射疫苗， 约有 只小白鼠又产生了抗体 这里

10、， 近似为小白鼠医学指标平均值珋 ， 近似为样本方差 经计算得， 求： （ ） 估算一只小白鼠注射 次疫苗后产生抗体的概率 （ 精确到 ） ； （ ） 以（ ） 中的概率 作为人体注射 次疫苗后产生抗体的概率， 对 名志愿者 同样进行独立环境下的医学试验， 问： 这 名志愿者注射 次疫苗后产生抗体的人数的 期望值？ 附： 参考数据与公式 槡 ， 若 （ ， ） ， 则 （ ） ， （ ） ， （ ） （ 分） 设椭圆 ： （ ） 的左右焦点分别为 ， ， 过点 且不垂直与 轴的 直线 交椭圆 于 ， 两点， 若椭圆 的离心率为槡 ， 的周长为槡 （ ） 求椭圆 的方程； （ ） 设直线 ， 与

11、直线 分别相交于点 ， ， 设 ， 分别为线段 和 的 中点， 为平面坐标系原点 问： 是否存在直线 的斜率 ， 使得 ， ， 三点共线？若存 在， 求出 的值； 若不存在， 请说明理由 （ 分） 已知函数 （ ） （ ） ， 其中 （ ） 当 ， 讨论函数 （ ） 的单调性； （ ） 若 时， （ ） 恒成立， 求 的取值范围 1 2021 年湖北省高考冲刺压轴卷数学试题参考答案及评分细则年湖北省高考冲刺压轴卷数学试题参考答案及评分细则 123456789101112 CDBBCADCCDABDACACD 13. 2;14. 1 3 n ;15. 3 256 ;16.33 17.解： （1）

12、若选，则由已知得), 2(3)()( * 11 NnnSSSS nnnn 即 1 3(2,*) nn aannN ，数列 n a是等差数列 又3 12 aa ， 13) 1(32nnan 若选，则由 111 32(2,*) nnnn SSSannN 得 111 2() nnnnn SSSSa ，即 11 2 nnn aaa ，数列 n a是等差数列 又公差3 12 aad 23(1)31 n ann 若选，由 1 3 (2) 12 nn SS n nn 得，数列 n S n 是等差数列 又 1 1 2 1 S a ， 331 2(1) 222 n S nn n ， 2 31 22 n Snn

13、当2n时， 1 31 nnn aSSn 当1n 时， 1 2a 也适合31 n an 综上31 n an （5 分） （2） n b是 n a， 1n a 的等比中项 2 1 (31)(32) nnn ba ann ， 2 1111 3 3132 n bnn 1 111 11111 ().() 3 253 583 3132 n T nn )23(2 ) 23 1 2 1 ( 3 1 n n n （10 分） 2 18.解： （1）由题意得， 2 sinsinsinsin 3 aAcBbBcC 222 2 3 abcbc ， 222 1 cos 23 bca A bc (0, )A ， 12 2

14、 sin1 93 A （6 分） (2)由（1）得 222 224 2 333 abcbcbcbcbc 2a 3bc 112 2 sin32 223 ABC SbcA 当且仅当3bc时等号成立. （12 分） 19.解： （1）,PDABCD BCABCD面面 ， .PDBC 又ABCD 是正方形，BCCD 又PDCD=D，BC面 PCD，PCDDE面BCDE 又PD=CD, PDCD，PDC 是等腰直角三角形 又E 是斜边 PC 的中点，DEPC，PCCB=C.DE面 PBC PBCBF面DEBF 又EFBF，EFDE=E，BF面 EFD 又BFBDF 面 ， BDFEFD面面 （6 分）

15、（2）以 O 为原点，DA, DC, DP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 DC=1，则 1 1 (0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(0, ) 2 2 PCBE =( , , ),EBDnx y z 设面的法向量为则 0 0 11,1(1, 1,1) 11 0 0 22 xy n DB yxzn yz n DE 令则 ) 1 , 0 , 0(的法向量取平面mCDB 3 cos, 3 n m n m n m 即二面角 E-BD-C 的余弦值为 3 3 （12 分） 3 20. 解： （1）根据频率分布直方图，200 只小白鼠该项医学指标的平均值为：

16、4 .172)02. 02403. 02202. 01205. 02018. 01814. 01606. 01402. 012(x （4 分） （2）(i) 8414. 0 2 6827. 01 6827. 0)-(14.772.63-17.4- XP， 记事件 A 表示首先注射疫苗后产生抗体，事件A表示首先注射疫苗后没有产生抗体，则 1586. 0)(,8414. 0)(APAP。 所 以 200 只 小 白 鼠 首 先 注 射 疫 苗 后 有 ： （只）1680.8414200产生抗体；有 200-168=32 只没有产生抗体。 故一只小白鼠注射 2 次疫苗后产生抗体的概率92. 0 20

17、0 16168 P （8 分） (ii) 设产生抗体的人数为人，由于)92. 0 ,1000( B 所以期望)920(92. 01000)(人E （12 分） 21.解：（1）设焦距为 222 2 ,ccab且则 22 222 2 2 2,2,4,12 84 48 2 c xy acbacEa a 椭圆 为 （4 分） （2） 1122 (,), (,),(2),A x yB xyAByk x设直线为则 2222 22 (2) (12)8(88)0 1 84 yk x kxk xk xy 22 1212 22 888 , 1212 kk xxxx kk 2 22 42 (,) 1212 kk

18、ABM kk 中点 ， 1 2 OM k 直线的斜率为-. 12 22 12 (2),(2), 22 yy AFyxBFyx xx 又直线为为则 ) 2 2 , 4(), 2 2 , 4( 2 2 1 1 x y D x y C 1221 12 2 (2)(2)2 (2)(2) (2)(2) k xxk xx xx 12 1212 416 2()4 kx xk x xxx 2 12 81 k k 4 2 6 (4,) 81 k CDN k 中点 直线 DN 斜率为 ) 18(2 3 2 k k 2 2 1315 , 22(81)55 k M O Nkk kk 若三点共线则- 5 5 k 存在满

19、足题意. （12 分） 22.解： （1）由题意得，)(xf的定义域为), 1( 当 4 1 a时， )1 (2 )( 2 x xx xf ，令0)( xf，则0 x或1，则 )0 , 1(x和), 1 ( 时，0)( xf；) 1 , 0(x时，0)( xf. （4 分） （2） 1 ) 12(2 )( 2 x xaax xf，得 （i）当0a时，, 0 x，0)( xf，0)0()( fxf，矛盾。 （ii）当0a时， 1 )( x x xf，令0)( xf，则0 x )0 , 1(x时，0)( xf；), 0 x时，0)( xf， 所以), 0( x时，0)0()( fxf，矛盾。 （iii）当 2 1 0 a时，令0)( xf，则0 x或1 2 1 a 时，) 1 2 1 , 0( a x0)( xf 所以) 1 2 1 , 0 a x （时，0)0()( fxf，矛盾。 （iv）当 2 1 a时，令0)( xf，则0 x或1 2 1 a 0)( ), 0 xfx时， 所以), 0 x时，0)0()( fxf，满足题意. 综上， 2 1 a （12 分）