1、课后同步练习(二十一)双曲线的标准方程 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1双曲线x 2 m y2 m5 1 的焦距为() A2 5B 5C5D10 Am50，0m5，方程化为标准方程为x 2 m y2 5m 1， c2m5m5，2c2 5 2双曲线x 2 25 y 2 9 1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距 离为() A22 或 2B7C22D5 Aa225，a5由双曲线定义得|PF1|PF2|10，由题意知|PF1| 12，|PF1|PF2|10，|PF2|22 或 2 3椭圆x 2 4 y 2 a2 1 与双曲线x 2 a y 2 2 1 有相同的焦点，则 a()
2、 A1B1C1D2 B由双曲线x 2 a y 2 2 1 知：a0 且双曲线的焦点为( a2 ，0)，而其与 椭圆x 2 4 y 2 a2 1 有相同焦点， a21) 二、填空题 6已知点 F1，F2分别是双曲线x 2 a2 y 2 9 1(a0)的左、右焦点，P 是该双曲 线上的一点，且|PF1|2|PF2|16，则PF1F2的周长是_ 34因为|PF1|2|PF2|16， 所以|PF1|PF2|16882a， 所以 a4，又 b29，所以 c225，所以 2c10 PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|1681034 7P 为双曲线 x2y 2 15 1 右支上一点，M，N 分别是
3、圆(x4)2y24 和(x 4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为_ 5双曲线的两个焦点 F1(4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且两圆的半 径分别为 r12，r21，易知|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN| 的最大值为|PF1|2(|PF2|1)|PF1|PF2|3235 8已知定点 A 的坐标为(1，4)，点 F 是双曲线x 2 4 y2 12 1 的左焦点，点 P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_ 9由双曲线的方程可知 a2，设右焦点为 F1，则 F1(4，0)|PF|PF1|2a 4，即|PF|PF1|4，所以|P
4、F|PA|PF1|PA|4|AF1|4，当且仅当 A，P， F1三点共线时取等号，此时|AF1| 4120425，所以|PF|PA|AF1| 49，即|PF|PA|的最小值为 9 三、解答题 9根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)经过点 P(4，2)和点 Q(2 6 ，2 2 )； (2)c 6 ，经过点(5，2)，焦点在 x 轴上 解(1)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 点 P(4，2)和点 Q(2 6 ，2 2 )在双曲线上， 16m4n1， 24m8n1， 解得 m1 8， n1 4， 双曲线的标准方程为x 2 8 y 2 4 1 (2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2
5、a2 y 2 b2 1(a0，b0) 依题设有 a2b26， 25 a2 4 b21， 解得 a25， b21. 所求双曲线的标准方程为x 2 5 y21 法二：焦点在 x 轴上，c 6 ， 设所求双曲线方程为x 2 y2 6 1(其中 06) 双曲线经过点(5，2)， 25 4 6 1，5 或30(舍去) 所求双曲线的标准方程是x 2 5 y21 10 已知动圆 M 与圆 C1： (x3)2y29 外切且与圆 C2： (x3)2y21 内切， 求动圆圆心 M 的轨迹方程 解设动圆 M 的半径为 r 因为动圆 M 与圆 C1外切且与圆 C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1 相减得|M
6、C1|MC2|4 又因为 C1(3，0)，C2(3，0)， 并且|C1C2|64， 所以点 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的双曲线的右支， 且有 a2，c3所以 b25， 所求的轨迹方程为x 2 4 y 2 5 1(x2) 1(多选题)已知 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0 且 ab)的左、 右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，则下列为真命题 的是() APF1F2的内切圆的圆心必在直线 xa 上 BPF1F2的内切圆的圆心必在直线 xb 上 CPF1F2的内切圆的圆心必在直线 OP 上 DPF1F2的内切圆必经过点(a，0) AD设
7、PF1F2的内切圆分别与 PF1，PF2切于点 A，B，与 F1F2切于点 M， 则|PA|PB|， |F1A|F1M|， JP2|F2B|F2M| 又点 P 在双曲线的右支上， 所以|PF1| |PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|JP22c，设点 M 的坐标为(x， 0)(x0)，则由|F1M|F2M|2a，可得(xc)(cx)2a，解得 xa，显然内切 圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴，故 AD 为真命题 2 设 F1， F2是双曲线 x2y 2 24 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点， 且 3|PF1| 4|PF2|，则PF1F2的面积等于() A4
8、 2B8 3C24D48 C由 |PF1|PF2|2， 3|PF1|4|PF2|， 可解得 |PF1|8， |PF2|6. 又由|F1F2|10 可得PF1F2是直角三角形， 则 S PF1F2 1 2 |PF1|PF2|24 3椭圆y 2 49 x 2 24 1 与双曲线 y2x 2 24 1 有公共点 P，则 P 与椭圆两焦点连 线构成三角形的周长为_，P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 _ 2424由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0，5)，F2(0，5)， 由椭圆与双曲线的定义可得 |PF1|PF2|14， |PF1|PF2|2， 所以 |PF1|8， |PF2|6 或 |
9、PF1|6， |PF2|8. 又|F1F2|10， PF1F2为直角三角形， F1PF290， 所以周长为|PF1|PF2| |F1F2|141024，S F1PF2 1 2 |PF1|PF2|24 4从双曲线x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的左焦点 F 引圆 x2y2a2的切线，切点 为 T，延长 FT 交双曲线右支于点 P，若 M 是线段 PF 的中点，O 为原点，则|MO| |MT|的值是_ ba如图所示，设双曲线的右焦点为 F1，连接 PF1， 则|PF|PF1|2a， 在 RtFTO 中，|OF|c， |OT|a，所以|FT| |OF2|OT2| c2a2b，又 M 是线
10、段 PF 的中点， O 为 FF1的中点， 所以|PF|2|MF|2(|MT|b)， 所以|MO|1 2 |PF1|1 2 (|PF|2a) 1 2 (2|MT|2b2a)|MT|ba， 即|MO|MT|ba 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试 验如图，内陆海湾的入口处有暗礁，其中线段 AA1，B1B，CC1，D1D 关于坐标 轴或原点对称，线段 B1B 的方程为 yx，xa，b，过 O 有一条航道有一艘正 在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾， 在点 M 5 2 a，0 处测得该船发出的汽 笛声的时刻总比在点 N 5 2 a，0 处晚 1 s(设海面上声速为 a
11、m/s)若该船沿着当 前的航线航行(不考虑轮船的体积) (1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么？ (2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由 解(1)设轮船所在的位置为 P， 由题意可得|PM|PN|a a|MN| 5 a，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支 设所求双曲线方程为 x2 m2 y 2 n2 1(m0，n0)， 则 m1 2 a，n 5a2 4 a 2 4 a 故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是 4x2y2a2(x1 2 a) (2)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾 设直线 l 的方程为 yy0(0y0b) 当 0y0a 时，设 l 与双曲线右支、直线 xa 分别交于点 Q1，S1， 则 Q1 1 2 y20a2，y0 ，S1(a，y0) 1 2 y20a21 2 a2a2a，点 Q1在点 S1的左侧， 船不可能进入暗礁区 当 ay0b 时，设 l 与双曲线右支、直线 yx 分别交于点 Q2，S2， 则 Q2 1 2 y20a2，y0 ，S2(y0，y0) 1 4 (y20a2)y203y 2 0a2 4 0，1 2 y20a2y0， 点 Q2在点 S2的左侧，船不可能进入暗礁区 综上，在 x 轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全 驶入内陆海湾
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