（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册教学案：第2章 2.2 2.2.1　直线的倾斜角与斜率.doc

1、2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 学 习 任 务核 心 素 养 1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌 握倾斜角与斜率的对应关系(重点) 2理解直线斜率的几何意义，掌握过两 点的直线的斜率公式(重点) 3 掌握直线的倾斜角与斜率的对应关系 在解题中的应用(难点) 4掌握直线的方向向量和法向量(重 点) 1 通过直线的倾斜角与斜率的概念的学 习，培养数学抽象的核心素养 2借助倾斜角与斜率的关系，提升数学 运算的核心素养 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 l 的 位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直线 a，b，c，我们可以看 出这些

2、直线都过点 P， 但它们的“倾斜程度”不同， 怎样描述这种“倾斜程度”的 不同呢？ 知识点 1直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x 轴相交，将 x 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称 为这条直线的倾斜角 (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 0 (3)倾斜角的取值范围为 0180 1如图所示，直线 l 的倾斜角为() A30B60C120D以上都不对 C根据倾斜角的定义知，直线 l 的倾斜角为 3090120 知识点 2直线的倾斜角与斜率 一般地，如果 A(x1，y1)，B(x2，y

3、2)是直线 l 上两个不同的点，直线 l 的倾斜角 为，则： (1)当 y1y2时(此时必有 x1x2)，0 (2)当 x1x2时(此时必有 y1y2)，90 (3)当 x1x2且 y1y2时，tan y2y1 x2x1 1当 x1x2且 y1y2时，(3)式中的式子成立吗？ 提示成立 (4)一般地，如果直线 l 的倾斜角为，当90时，称 ktan_为直线 l 的斜 率，当90时，称直线 l 的斜率不存在 (5)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，当 x1x2时，直线 l 的斜 率为 ky 2y1 x2x1当 x 1x2时，直线 l 的斜率不存在 2运用(5)中公

4、式计算直线 AB 的斜率时，需要考虑 A，B 的顺序吗？ 提示kABy2y1 x2x1k BAy 1y2 x1x2，所以直线 AB 的斜率与 A，B 两点的顺序无 关 3直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？ 提示不是，当倾斜角为 90时，直线的斜率不存在 2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法() (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应() (3)一个倾斜角不能确定一条直线() (4)斜率公式与两点的顺序无关() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度 (2)倾斜角不是 90的直线有且只有一个斜率和它对

5、应 (3)确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点 P 和一个 倾斜角 (4)斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可 以同时调换 知识点 3直线的方向向量 (1)一般地，如果表示非零向量 a 的有向线段所在的直线与直线 l 平行或重合， 则称向量 a 为直线 l 的一个方向向量，记作 al (2)如果 a 为直线 l 的一个方向向量，那么对于任意的实数0，向量a 都是 l 的一个方向向量，而且直线 l 的任意两个方向向量一定共线 (3)如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，则AB (x2x1，y2y1) 是直线 l 的一个方向向量

6、 4设 l 是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为 45，你能写出该 直线的一个方向向量吗？ 提示(1，1) (4)一般地，如果已知 a(u，v)是直线 l 的一个方向向量，则： 当 u0 时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为 90 当 u0 时，直线 l 的斜率存在，且(1，k)与 a(u，v)都是直线 l 的一个方 向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知 1vku，从而 kv u，倾斜角 满足 tan v u 3直线 l 经过点 A(2，1)和 B(5，2)，则直线 l 的一个方向向量为 _ (7，3)AB (52，21)(7，3) 知识点 4直线的法向量 一般地，如果表示非零向量 v

7、的有向线段所在直线与直线 l 垂直，则称向量 v 为直线 l 的一个法向量，记作 vl 5如果 a(1，2)是直线 l 的一个方向向量，你能写出 l 的一个法向 量吗？ 提示(2，1) 4若直线的法向量 a(4，2)，则直线的方向向量不可能是() A(2，4)B(1，2) C(3，6)D(1，2) A因为4(2)24160，所以(2，4)不可能是直线的方向向量；易 知 B，C，D 都可以是直线的方向向量 类型 1直线的倾斜角 【例 1】设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将 l 绕坐标原点按逆时 针方向旋转 45，得到直线 l1，那么 l1的倾斜角为() A45 B135 C135 D

8、当 0135时， 倾斜角为45； 当 135180时， 倾斜角为135 D根据题意，画出图形，如图所示： 因为 0180，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意通过画 图(如图所示)可知： 当 0135时，l1的倾斜角为45； 当 135180时，l1的倾斜角为 45180135故选 D 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角 (2)两点注意：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线与 x 轴垂 直时，倾斜角为 90注意直线倾斜角的取值范围是 0180 跟进训练 1已知直线 l1的倾斜角为115，直线 l1与 l2的交点为

9、A，直线 l1和 l2向上 的方向之间所成的角为 120，如图所示，求直线 l2的倾斜角 解l1与 l2向上的方向之间所成的角为 120，l2与 x 轴交于点 B，倾斜 角ABx12015135 类型 2直线的斜率 【例 2】 (对接教材人教 B 版 P73例 1)如图所示， 直线 l1， l2， l3都经过点 P(3， 2)，又 l1，l2，l3分别经过点 Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3，2) (1)试计算直线 l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点 Q4(a，3)，试求直线 PQ4的斜率 解(1)由已知得，直线 l1，l2，l3的斜率都存在 设它们的斜率分别为 k1，k2，k3

10、 则由斜率公式得： k112 23 3 5，k 222 43 4， k3 22 330 (2)当 a3 时，直线 PQ4与 x 轴垂直，此时其斜率不存在 当 a3 时，其斜率 k32 a3 1 a3 1求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先 要观察横坐标是否相同， 若相同， 则斜率不存在； 若不相同， 则可使用斜率公式 若 给出两个点的横坐标中含有参数， 则要对参数进行分类讨论， 分类的依据便是“两 个横坐标是否相等” 2由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方 倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)

11、当直线的斜率 为 0 时(l3)，直线与 x 轴平行或重合 跟进训练 2已知坐标平面内三点 A(1，1)，B(1，1)，C(2， 31) (1)求直线 AB，BC，AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围 解(1)由斜率公式得 kAB 11 110，k BC 311 21 3 kAC 311 21 3 3 倾斜角的取值范围是 0180 又tan 00， AB 的倾斜角为 0 tan 60 3， BC 的倾斜角为 60 tan 30 3 3 ， AC 的倾斜角为 30 (2)如图，当斜率 k 变化时， 直线 CD 绕 C 点旋转，当

12、直线 CD 由 CA 逆时针方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 kCA增大到 kCB，所以 k 的取值范围 为 3 3 ， 3 类型 3斜率公式的应用 【例 3】已知直线 l 过点 M(m1，m1)，N(2m，1) (1)当 m 为何值时，直线 l 的斜率是 1? (2)当 m 为何值时，直线 l 的倾斜角为 90？ 1斜率公式 ky2y1 x2x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与 y2，x1与 x2 的顺序呢？ 提示斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但 y1与 y2和 x1与 x2可以同 时互换顺序，即斜率公式也可写为 k

13、y1y2 x1x2 2任意一条直线都有倾斜角吗？ 提示是的 3任意一条直线都有斜率吗？ 提示不是与 x 轴垂直的直线不存在斜率，即倾斜角为 90的直线不存在 斜率 解(1)kMN m11 m12m1，解得 m 3 2 (2)l 的倾斜角为 90，即 l 平行于 y 轴，所以 m12m，得 m1 1本例条件不变，试求直线 l 的倾斜角为锐角时实数 m 的取值范围 解由题意知 m11 m12m0， m11， 解得 1m2 2若将本例中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如 何？ 解(1)由题意知m12m m13m1，解得 m2 (2)由题意知 m13m，得 m1 2 直

14、线的斜率 k 与倾斜角之间的关系 00909090180 k0k0不存在k0 跟进训练 3已知三点 A(a，2)，B(3，7)，C(2，9a)在同一条直线上，则实数 a 的 值为_ 2 或2 9 A，B，C 三点共线， kABkBC，即 5 3a 9a7 5 ， a2 或 a2 9 类型 4求直线的方向向量或法向量 【例 4】已知直线 l 经过点 A(1，2)，B(4，5)，求直线 l 的一个方向向量和 法向量，并确定直线 l 的斜率与倾斜角 解AB (41，52)(3，3)是直线 l 的一个方向向量由法向量与方向 向量垂直，法向量可以为(1，1)因此直线的斜率 k1，直线的倾斜角满足 tan

15、 1，从而可知45 求一条直线的方向向量和法向量的方法 (1)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线 l 的方向向量为AB (x2x1，y2y1)，当直线 l 的斜率存在时，方向向量可取为(1，k)，此时，可用 斜率表示方向向量，当直线 l 的斜率不存在时，其方向向量可取为(0，1) (2)若直线 l 的方向向量为(1，k)，则(k，1)或(k，1)为直线 l 的两个法向量， 直线的任意两个法向量可以同向，也可以反向 (3)直线的方向向量和法向量不唯一 跟进训练 4已知直线 l 的斜率为 10，则直线 l 的一个法向量的坐标为() A(10，1)B(5，2) C(

16、10，2)D(5，2) A由题意知，直线 l 的一个方向向量为(1，10)，所以直线 l 的法向量可以是 (10，1)或(10，1)故选 A 1若已知直线 l 的一个方向向量为 a(2，3)，则直线 l 的斜率为() A3 2 B2 3 C3D3 2 A由直线 l 的方向向量 a(2，3)知 l 的斜率 k3 2 2斜率不存在的直线一定是() A过原点的直线B垂直于 x 轴的直线 C垂直于 y 轴的直线D垂直于坐标轴的直线 B只有直线垂直于 x 轴时，其倾斜角为 90，斜率不存在 3若过两点 M(3，y)，N(0， 3)的直线的倾斜角为 150，则 y 的值为() A 3B0C 3D3 B由斜

17、率公式知 3y 03 tan 150， 3y 03 3 3 ， y0 4已知直线 l 的倾斜角为，且 0135，则直线 l 的斜率的取值范围是 _ (，1)0，)设直线的倾斜角为，斜率为 k，当 090时， ktan 0，当90时无斜率，当 90135时，ktan 1，故直线 l 的 斜率 k 的取值范围是(，1)0，) 5已知直线 l 的斜率 k1，则其倾斜角的取值范围为_ 0，90)135，180)当1k0 时，1tan 0，又 0180， 135180； 当 k0 时，tan 0，又 0180，090 综上可知，直线 l 的倾斜角的取值范围是|090或 135180 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1直线的斜率与倾斜角有何区别与联系？ 提示(1)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量， 斜率侧重于代数 角度，倾斜角侧重于几何角度 (2)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为直角的 直线不存在斜率 (3)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值就 是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化 2如何用斜率公式解决三点共线问题？ 提示