小学奥数习题教案-2-2-2 方程组解法综合.教师版.doc

1、教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 1 教学目标教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识精讲知识精讲 知识点说明： 一、方程的历史 同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著九章算术一 书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出 的“方程”如图所示。 方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把 equation

2、 译成“相等式”，到 清朝咸丰九年才译成“方程”。 从这时候起， “方程”这个词就表示“含有未知数的等式”， 而刘徽所说的“方程” 就叫做“方程组”了。 二、学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数 学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。 三、解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤：解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。 消元方法：消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法：代入消元法： 取一个方程，将它写成用一个未知数

3、表示另一个未知数，记作方程； 将代入另一个方程，得一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 将这个未知数的值代入，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解 加减消元法：加减消元法： 方程组解法综合方程组解法综合 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 2 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分） ； 将两条方程相加或相减消元； 解一元一次方程； 代入法求另一未知数 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入 例题精讲例题精讲 模块一、二元一次方程组 【例【例 1】 解方程解方程 5 1 xy xy （, x y为正整数）为正整数） 【考点】二元一

4、次方程组【难度】2 星【题型】解答 【解析】()()51xyxy 26x 3x 3 2 x y 方法二： 解 代入消元法， 由5xy得到5xy， 代入方程1xy中， 得到51yy， 整理得2y ， 所以3x ，所以方程的解为 3 2 x y 【答案】 3 2 x y 【例【例 2】 解方程解方程 9220 3410 uv uv （, u v为正整数）为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】2 星【题型】解答 【解析】方法一：加减消元法 化v的系数相同，加减消元法计算得2(92 )(34 )22010uvuv 去括号和并同类项得 18320uu 1530u 2u 2 1 u v 方 法 二 ：

5、 代 入 消 元 法 由9220uv得 到104.5vu， 代 入 方 程3410uv中 得 到 34 104.510uu，整理得2u ，1v ，所以方程解为 2 1 u v 【答案】 2 1 u v 【例【例 3】 解方程组解方程组 50 3217 xy xy （ , x y为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】2 星【题型】解答 【解析】加减消元，若想消掉y，应将y的系数统一，因为 2,510 ，所以第一个方程应该扩大 2 倍，第 二个式子应该扩大 5 倍，又因为y的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下： 2(5 )5(32 )205 17xyxy ，1785x 得

6、5x ，所以5 50y ，解得 1y 。 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 3 【答案】 5 1 x y 【例【例 4】 解方程组解方程组 37 528 xy xy （ , x y为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】2 星【题型】解答 【解析】将第一个式子扩大 2 倍和二式相减得2(3 )(52 )2512xyxy ，去括号整理1122x 解得 2x ，所以方程的解为 2 1 x y 【例【例 5】 解方程组解方程组 2(150)5(350) 0.10.060.085 800 xy xy （ , x y为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】3

7、 星【题型】解答 【解析】对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得： 215550 538.5400 xy xy ，若想消掉y，将方程二扩大 3 倍，又因为y的系数符号不同，所以应该用加 消元，计算结果如下：(2 15 )5(53 )5505 8.5400 xyxy ，去括号整理得2717550 x ，解 得650 x ，所以方程的解为 650 50 x y 【例【例 6】 【答案】 650 50 x y 解下面关于解下面关于x、y的二元一次方程组：的二元一次方程组： 4320 4 1 3 xy yx 【考点】二元一次方程组【难度】3 星【题型】解答 【解析】整

8、理这个方程组里的两个方程，可以得到： 4320 4330 xy xy ， 可以看出，两个方程是不可能同时 成立的，所以这是题目本身的问题，无解 【答案】无解 【例【例 7】 解方程组解方程组 34 3 41 92 2 41 xy xy （ , x y为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将4x 与 1y 看出相应的未知数，因为每一项的分 母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以 2 整理得： 3492 ()2()322 4141xyxy ，去括号整理后得到 21 7 4x ，根据分数的性

9、质计算得 7x ，所以方程的解为： 7 3 x y 模块二、多元一次方程 【例【例 8】 解方程组解方程组 347 239 5978 xz xyz xyz （ , ,x y z为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】3 星【题型】解答 【解析】观察 , ,x y z的系数发现，第二个式子与第三个式子中y的系数是 3 倍关系，所以将第二个式子扩 大 3 倍 与 第 三 个 式 子 相 减得 到 ：3(2 3)(597 )3 98xyzxyz ， 去 括 号 整 理 得 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 4 111035xz，与第一个式子整理得 347 111035

10、 xz xz ，若想消掉z， ，因为 4,1020 ，所以第一 个方程应该扩大 5 倍，第二个式子应该扩大 2 倍，又因为z的系数符号相同，所以应该用减消元， 计算结果如下：2(11 10 )5(34 )23557xzxz ，去括号整理得735x ，5x ，所以方程 解为 5 7 2 x y z 【巩固】【巩固】 解方程组解方程组 27 28 29 xyz xyz xyz （ , ,x y z为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】3 星【题型】解答 【解析】将一式与二式相减得( 2)(2)87xyzxyz 去括号整理后得 1yx ； 将二式扩大 2 倍与 三式相减得2( 2)(

11、2 )2 89xyzxyz ，去括号整理后得3 7yx ；最后将两式相加计 算结果如下：( )(3)17yxyx ，整理得4 8y ， 4y 所以方程的解为： 1 2 3 x y z 【例【例 9】 解方程组解方程组 1 2 5 2 7 xyz yzu zuv uvx vxy （ , , , ,x y z u v为正整数） 为正整数） 【考点】二元一次方程组【难度】3 星【题型】解答 【解析】将 5 个式子相加得 17xyzuv ，将 1 式与 2 式相加得3xu，将 2 式与 3 式相加得 7yv ，同理连续相加得到 3 7 7 9 8 xu yv zx uy vz ，整理后解为 0 6 7 3 1 x y z u v 【答案】 0 6 7 3 1 x y z u v