小学奥数习题教案-7-4-1 简单的排列问题.教师版.doc

1、7-4-1.简单的排列问题.题库教师版page1of7 7-4-1.7-4-1.简单的简单的排列问题排列问题 教学目标教学目标 1.使学生正确理解排列的意义； 2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等 知识要点知识要点 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就 是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有

2、关，而且与各事物所在的先后顺序有关 一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果 两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺 序不同，它们也是不同的排列 排列的基本问题是计算排列的总个数 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个 元素的排列数，我们把它记做 m n P 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n

3、个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1n )个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n )种方法； 步骤m：从剩下的(1)nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（） （）（），即 12.1 m n Pn nnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共 有m个因数相乘 二、排列数 一般地，对于mn的情况，排列数公式变为123 2 1 n n Pnnn （） （） 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数这种n个

4、排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n， 读做n的阶乘，则 n n P还可以写为：! n n Pn，其中!123 2 1nnnn （） （） 例题精讲例题精讲 模块一、排列之计算 【例【例 1】 计算：计算： 2 5 P； 43 77 PP 【考点】简单排列问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】由排列数公式12.1 m n Pn nnnm（）（）（）知： 2 5 5420P 4 7 7654840P , 3 7 765210P ，所以 43 77 840210630PP 【答案】20630 7-4-1.简单

5、的排列问题.题库教师版page2of7 【巩固】【巩固】 计算：计算： 2 3 P； 32 610 PP 【考点】简单排列问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】 2 3 326P 32 610 6541091209030PP 【答案】630 【巩固】【巩固】 计算：计算： 32 1414 PP； 53 63 3PP 【考点】简单排列问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】 32 1414 14 13 1214 132002PP； 53 63 33 (65432)32 12154PP 【答案】20022154 模块二、排列之排队问题 【例【例 2】 有有 4 个同学一起去郊游个同学一起去郊游，

6、 照相时照相时， 必须有一名同学给其他必须有一名同学给其他 3 人拍照人拍照， 共可能有多少种拍照情况？共可能有多少种拍照情况？ (照照 相时相时 3 人站成一排人站成一排) 【考点】简单排列问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站由 于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3 个位置中的排列问题要计算的是有多少种排法 由排列数公式，共可能有： 3 4 43224P (种)不同的拍照情况 也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有： 4 4 432 124P (种)

7、不同的拍照情况 【答案】24 【巩固】【巩固】 4 名同学到照相馆照相他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？名同学到照相馆照相他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 【考点】简单排列问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上所以这是一个从4个元素中选4个， 排成一列的问题这时4n ，4m 由排列数公式知，共有 4 4 432 124P (种)不同的排法 【答案】24 【巩固】【巩固】 9 名同学站成两排照相，前排名同学站成两排照相，前排 4 人，后排人，后排 5 人，共有多少种站法？人，共有多少种站法？ 【考点】简单排列问题【难度】3

8、 星【题型】解答 【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有 9 9 P种不同站法而问题中，9 个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后 排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题 方法一：由全排列公式，共有 9 9 9 8765432 1362880P (种)不同的排法 方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个 45 95 9 8765432 1362880pp 【答案】362880 【巩固】【巩固】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不

9、同的站法？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列 问题，且4n 由全排列公式，共有 4 4 432 124P (种)不同的站法 【答案】24 【巩固】【巩固】 丁丁和爸爸丁丁和爸爸、妈妈妈妈、奶奶奶奶、哥哥一起照哥哥一起照“全家福全家福”，5人并排站成一排人并排站成一排，奶奶要站在正中间奶奶要站在正中间，有多少有多少 种不同的站法？种不同的站法？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排

10、列问题，且 n=4 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版page3of7 由全排列公式，共有 4 4 432 124P (种)不同的站法 【答案】24 【例【例 3】 5 个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_种？种？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 8 题 【解析】5个人全排列有5!120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种 【答案】60 种 【例【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站个车站(包括北京和上海包括北京和上海

11、)， 这条铁路线共需要多少种这条铁路线共需要多少种 不同的车票不同的车票 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】 2 14 14 13182P (种) 【答案】182 【例【例 5】 班集体中选出了班集体中选出了 5 名班委名班委，他们要分别担任班长他们要分别担任班长，学习委员学习委员、生活委员生活委员、宣传委员和体育委员宣传委员和体育委员问问： 有多少种不同的分工方式？有多少种不同的分工方式？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】 5 5 120P (种) 【答案】120 【例【例 6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以

12、表示多少种不同的信有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信 号？号？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置我们的 问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题由于信号不仅与旗子的颜色有关， 而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n ，3m 由排列数公式知，共可组成 3 5 54360P (种)不同的信号 【答案】60 【巩固】【巩固】 有红有红、黄黄、蓝三种信号旗蓝三种信号旗，把任意两面上把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种

13、信号下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少问共可以组成多少 种不同的信号？种不同的信号？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】 2 3 326P 【答案】6 【巩固】【巩固】 在航海中在航海中，船舰常以船舰常以“旗语旗语”相互联系相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号如有红如有红、黄黄、 绿三面不同颜色的旗子绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同问这样总共可以表示出多少种不同 的信号？的信号？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型

14、】解答 【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排 法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题 由排列数公式，共可以组成 3 3 32 16P (种)不同的信号 方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗 中去取，有2种方法剩下那面旗子，放在最低位置 根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：32 16 (种) 【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常

15、可以用排列数公式 做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化 【答案】6 模块三、排列之数字问题 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版page4of7 【例【例 7】 用用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个没有重复数字的四位数？可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【考点】简单排列问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n ，4m ，根据排列数公式，一共可以组成 4 8 87651680P (个)不同的四位数 【答案】1680 【巩固】【巩固】 由数字由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数

16、？可以组成多少没有重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】 3 6 120P 【答案】120 【例【例 8】 用用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？可以组成多少个没重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字 中选择一个， 有4种方法； 十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列， 有 2 4 P种 方法由乘法原理得，此种三位数的个数是： 2 4 448P(个) （法2） ：从0、1、2、3、4中任选三个数

17、字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的从 0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为 3 5 P，其中首位是0的三位数有 2 4 P个三位 数的个数是： 32 54 5434348PP (个) 本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接 在排列的时候考虑这些限制因素 【答案】48 【例【例 9】 用用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？的三位数？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，

18、已知5n ，2m ，根据排列数公 式，一共可以组成 2 5 5420P (个)符合题意的三位数 【答案】20 【巩固】【巩固】 用用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶 数？数？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的 5张中选二张，有 2 5 5420P (种)选法由乘法原理，一共可以组成32060(个)不同的偶数 【答案】60 【例【例 10】由由0，2，5，6，7

19、，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？组成无重复数字的数，四位数有多少个？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为 4 6 6543360P ，由于0不能在千位 上，而以0为千位数的四位数有 3 5 54360P ，它们的差就是由0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300个 方法二：完成这件事组成一个四位数，可分为4个步骤进行， 第一步：确定千位数；第二步：确定百位数； 第三步：确定十位数；第四步：确定个位数； 这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确

20、定了，思维过程如下： 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版page5of7 根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5 543300 (个) 【答案】300 【例【例 11】用用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍数？的倍数？ 【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】按位数来分类考虑： 一位数只有1个3； 两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成 2 2 2 12P (个)不同 的两位数，共可组成248(个)不同的两位数； 三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，

21、4与5四组数字组成，每一组可以组成 3 3 32 16P (个)不同的三位数，共可组成6424(个)不同的三位数； 四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有 4 4 432 124P (个)不同的四位数； 五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有 5 5 5432 1120P (个)不同的五位数 由加法原理，一共有182424120177(个)能被3整除的数，即3的倍数 【答案】177 【例【例 12】用用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？的无重复数字的五位数？ 【考点】简单排列问题【难度

22、】4 星【题型】解答 【解析】可以分两类来看： 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有 4 4 432 124P (种)放法，对应 24 个不同的五位数； 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可 以选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上，有 3 3 6P 种选择由乘法原 理，可以组成3 3 654 (个)不同的五位数 由加法原理，可以组成245478(个)不同的五位数 【答案】78 【巩固】【巩固】 用用 0 到到 9 十个数字组成没有重复

23、数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？是第几个数？ 【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】从高位到低位逐层分类： 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0 9中除千位已确定的数 字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、 个位可有 3 9 9 87504P (种)排列方式由乘法原理，有45042016(个) 千位上排5，百位上排0 4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个 7-

24、4-1.简单的排列问题.题库教师版page6of7 数字中选择也就是从8个元素中取2个的排列问题，即 2 8 8756P ，由乘法原理，有 1 5 56280 (个) 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择， 有1 1 6742 (个) 千位上排5， 百位上排6， 十位上排8时， 比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个 综上所述，比5687小的四位数有20162804252343(个)，故5687是第2344个四位数 【答案】2344 【例【例 13】用数字用数字 l8 各一个组成各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三

25、位数都是位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数共有的倍数共有_ 种组成方法种组成方法 【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 7 题 【解析】l8 中被三除余 1 和余 2 的数各有 3 个，被 3 整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件 的排列，一定符合“被三除所得余数以 3 位周期”，所以 8 个数字，第 1、4、7 位上的数被 3 除同余， 第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3 整除， 第 1、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2

26、、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 可以余 1，余 数的安排上共有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有 3！3！2！=144 种方 法. 【答案】144种 【例【例 14】由数字由数字 0、 2、 8 （既可全用也可不全用既可全用也可不全用） 组成的非零自然数组成的非零自然数， 按照从小到大排列按照从小到大排列 2008 排在排在个个 【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23 318 （种） ，比2008小的2位数有 236（种） ，比2008小的1位数有2（种） ，所以2008排在第2

27、1862129 （个） 【答案】29 【例【例 15】千位数字与十位数字之差为千位数字与十位数字之差为 2（大减小（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29:，对应的十位数字取07:， 每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就 行了，因此总共有 2 8 8P个这样的四位数千位数字小于十位数字，千位数字取17:，十位数字 取39:，共有 2 8 7P个这样的四位数所以总共有 22 88 87840PP个这样的四位数

28、 【答案】840 模块四、排列之策略问题 【例【例 16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是数码组成，且四个数码之和是9， 那么确保打开保险柜至少要试几次？那么确保打开保险柜至少要试几次？ 【考点】简单排列问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】四个非0数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3 六种 第一种中， 可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个， 其余位置放1，共有

29、4种选择； 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有 4312(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择最后一种，与第一种的 情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择 综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456(个)不同的四位数，即确保能打开 保险柜至少要试56次 【答案】56 【例【例 17】幼儿园里的幼儿园里的6名小朋友去坐名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？把不同的椅子，有多少种坐法？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而

30、6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转 化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题 7-4-1.简单的排列问题.题库教师版page7of7 由排列数公式，共有： 3 6 654120P (种)不同的坐法 【答案】120 【巩固】【巩固】 幼儿园里幼儿园里 3 名小朋友去坐名小朋友去坐 6 把不同的椅子把不同的椅子(每人只能坐一把每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？，有多少种不同的坐法？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个 位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小

31、朋友面前的排列问题 由排列公式，共有： 3 6 654120P (种)不同的坐法 【答案】120 【巩固】【巩固】 10 个人走进只有个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种那么共有多少种 不同的坐法？不同的坐法？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取 6个，排在6个不同位置的排列问题 共有 6 10 109 8765151200P (种)不同的坐法 【答案】151200 【例【例 18】

32、一个篮球队有五名队员一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，由于某种原因，E不能做中锋，而其余不能做中锋，而其余4个人可以个人可以 分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？ 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下 来以后，其余4个人对应4个位置，有 4 4 432 124P (种)排列由乘法原理， 42496，故一共有96种不同的站位方法 方法二：五个人分配到五个位置一共有 5 5 5432 1120P

33、(种)排列方式，E能做中锋一共有 4 4 432 124P (种)排列方式，则E不能做中锋一共有 54 54 1202496PP种不同的 站位方法 【答案】96 【例【例 19】小明有小明有 10 块大白兔奶糖块大白兔奶糖,从今天起从今天起,每天至少吃一块每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法那么他一共有多少种不同的吃法? 【考点】简单排列问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中 9 个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将 lO 块 糖分成了两部分 我们记从左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,， 如:|表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒： | | 表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3 粒 不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立， 故共有 29=512 种不同的插入方法,即 512 种不同的吃法 【答案】512