小学奥数习题教案-7-5-1 组合的基本应用（一）.教师版.doc

1、7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版page1of6 7-5-1.7-5-1.组合的基本应用（一组合的基本应用（一） 教学目标教学目标 1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合 技巧，如排除法、插板法等 知识要点知识要点 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛

2、中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某 项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的 问题 一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完 全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的 组合 从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的 组合数记作 m n C 一般地，求从n

3、个不同元素中取出的m个元素的排列数 n m P可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有 m n C种方法； 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 m m P 种排法 根据乘法原理，得到 mmm nnm PCP 因此，组合数 12)1 123 2 1 m mn n m m Pnnnnm C Pmmm （） （） （） （） 这个公式就是组合数公式 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质： mn m nn CC (mn) 这个公式的直观意义是： m n C表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法 n m n C 表示从n个 元素中取出

4、(nm)个元素组成一组的所有分组方法 显然， 从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个 元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即 32 55 CC 规定1 n n C ， 0 1 n C 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版page2of6 例题精讲例题精讲 模块一、组合之计算问题 【例【例 1】 计算：计算： 2 6 C， 4 6 C； 2 7 C， 5 7 C 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】 2 26 6 2 2 65 15 2 1 P C P ， 4 46 6 4

5、4 6543 15 432 1 P C P 2 27 7 2 2 76 21 2 1 P C P ， 5 57 7 5 5 76543 21 5432 1 P C P 【小结】注意到上面的结果中，有 24 66 CC， 25 77 CC 【答案】 2 6 15C ， 4 6 15C 2 7 21C ， 5 7 21C 【例【例 2】 计算：计算： 198 200 C； 55 56 C； 98100 100100 2CC 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】 2 198200 1982200 200200200 2 2 200 199 19900 2 1 P CCC P ；

6、 1 5556 55156 565656 1 1 56 56 1 P CCC P ； 2 981002100 100100100 2 2 10099 22 1224948 2 1 P CCC P 【答案】19900564948 【巩固】【巩固】 计算：计算： 3 12 C； 998 1000 C； 22 88 PC 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】 3 12 12 11 10 220 32 1 C 9982 10001000 1000999 499500 2 1 CC 22 88 87 87562828 2 1 PC 【答案】 3 12 220C 998 1000 4

7、99500C 22 88 28PC 模块二、组合之体育比赛中的数学 【例【例 3】 某校举行排球单循环赛，有某校举行排球单循环赛，有12个队参加问：共需要进行多少场比赛？个队参加问：共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个 队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题 由组合数公式知，共需进行 2 12 12 11 66 2 1 C (场)比赛 【答案】 2 12 66C 【巩固】【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有芳草地小学

8、举行足球单循环赛，有24个队参加问：共需要进行多少场比赛？个队参加问：共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版page3of6 【解析】由组合数公式知，共需进行 2 24 2423 276 2 1 C (场)比赛 【答案】 2 24 276C 【例【例 4】 六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球次传球 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7 题 【解析】【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多

9、传一次”，让 6 个人最多次地传球，则是 543 2115（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15 条线，代表传球 15 次， 根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有 6 个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去 掉 4 个奇数点，还剩下 2 个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为 54321213（次）. 【答案】13次 【例【例 5】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行行 78 场，那么共有多少人参加循环赛？场，那么共有多少人参加循环

10、赛？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题依题意，假设有n个人参 加循环赛，应该有 2 1 78 2 1 n nn C （） ，所以178213 12nn（），所以13n ，即一共有13人 参加循环赛 【答案】13n 【例【例 6】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的 48 名选手分成名选手分成 8 个个 小组，每组小组，每组 6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将人，分别进行单循环赛；第二阶段：将 8 个小

11、组产生的前个小组产生的前 2 名共名共 16 人再分成人再分成4个小个小 组组，每组每组4人人，分别进行单循环赛分别进行单循环赛；第三阶段第三阶段：由由 4 个小组产生的个小组产生的4个第个第1名进行名进行2场半决赛和场半决赛和2场场 决赛，确定决赛，确定1至至4名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛 2 6 65 15 2 1 C 场，共8个小组，有 15 8120场； 第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛 2 4

12、43 6 2 1 C 场，共4个小组，有6424 场； 第三阶段赛224场 根据加法原理，整个赛程一共有120244148场比赛 【答案】148 【例【例 7】 有有 8 个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不 同的比赛安排表？同的比赛安排表？ 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版page4of6 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】 (法 1)先选 4 人，再考虑组合的方法 8 选 4 有 4 8 70C 种组合，其中实质不同的有一半，即

13、70235种； 对每一边的 4 个人，共有实质性不同的 2 4 23C 种， 所以，可以得到35 3 3315 种实质不同的比赛安排表 (法 2)先考虑所有情况，再考虑重复情况 首先是8!8765432 1 考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B， 以上 7 组均可交换，即每一种实际上重复计算了 7 2次，答案为： 7 8! 2315 【答案】315 模块三、组合之数字问题 【例【例 8】 从分别写有从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问： 有多少个不同的乘积？有多少

14、个不同的乘积？ 有多少个不同的乘法算式？有多少个不同的乘法算式？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 要考虑有多少个不同乘积由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少 个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题 由组合数公式，共有 2 25 5 2 2 54 10 2 1 P C P (个)不同的乘积 要考虑有多少个不同的乘法算式， 它不仅与两张卡片上的数字有关， 而且与取到两张卡片的顺序 有关，所以这是一个排列问题 由排列数公式，共有 2 5 5420P (种)不同的乘法算式 【答案】 2 5 10C 2 5 20P 【巩

15、固】【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0 这这 10 个数字中划去个数字中划去 7 个数字，一共有多少种方法？个数字，一共有多少种方法？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】相当于在 10 个数字选出 7 个划去，一共有 10987654（7654321）=1098（321） =120 种 【答案】120 【巩固】【巩固】 从分别写有从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题做成一道两个一位数的加法题， 有多少种不同的和？有多少种不同的和？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解

16、析】 2 28 8 2 2 87 28 2 1 P C P (种) 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版page5of6 【答案】 2 8 28C 【例【例 9】 有红有红、黄黄、蓝蓝、绿四种颜色的卡片各绿四种颜色的卡片各 5 张张，且每种颜色的卡片上分别标有且每种颜色的卡片上分别标有 1，2，3，4，5，从这些从这些 卡片中取出卡片中取出 5 张，要求张，要求 1、2、3、4、5 各一张，但四种颜色都要有，求共有各一张，但四种颜色都要有，求共有_种取法？种取法？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 14 题 【解析】四种颜色都有， 则有

17、两个数是同一种颜色即可， 其它三个数字和三种颜色一一对应。 21 54 3!240CC 种 【答案】240 种 【例【例 10】在在1100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出 的两个数与顺序无关，所以是组合问题 从50个偶数中取出2个，有 2 50 5049 1225 2 1 C (种)取法； 从50个奇数中取出2个，也有 2 50 5049 1225 2 1

18、C (种)取法 根据加法原理，一共有122512252450(种)不同的取法 【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或 两偶数相加这样可以把问题简化 【答案】2450 【巩固】【巩固】 从从19、20、93、94这这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】19、20、93、94中有38个奇数，38个偶数，从38个数中任取2个数的方法有： 2 38 38 37 703 2 1 C (种)，所以选法总数有：703

19、21406(种) 【答案】1406 【例【例 11】一个盒子装有一个盒子装有10个编号依次为个编号依次为1，2，3，10的球的球，从中摸出从中摸出6个球个球，使它们的编号之和为奇使它们的编号之和为奇 数，则不同的摸法种数是多少？数，则不同的摸法种数是多少？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形： 5奇1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择由乘法原理，有1 55(种)选择； 3奇3偶，这时对奇数有 3 5 543 10 32 1 C (种)选择，对偶数也有 3 5 543 10 32 1 C (种)选择

20、由乘 法原理，有10 10100(种)选择； 1奇5偶，这时对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择由乘法原理， 有5 15 (种)选择 由加法原理，不同的摸法有51005110(种) 【答案】5100110 【例【例 12】用用 2 个个 1，2 个个 2，2 个个 3 可以组成多少个互不相同的六位数？可以组成多少个互不相同的六位数？ 用用2个个0，2个个1，2个个2可以组成多少个互不相同的六位数？可以组成多少个互不相同的六位数？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题，有 2 6 65 15 2 1 C (

21、种) 选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有 2 4 43 6 2 1 C (种)选法；剩下的2个数位放3，只有1种 选法 由乘法原理，这样的六位数有156 190 (个) 在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个如果将3全部换成0，这30个 7-5-1.组合的基本应用（一）.题库教师版page6of6 首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060(个) 【答案】60 【例【例 13】从从1，3，5，7，9中任取三个数字，从中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五中任取两个数字，组成没有重复数字的五 位数，一共可以组成

22、多少个数？位数，一共可以组成多少个数？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有 3 5 C 种方法；第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有 2 4 C种方法；第三步， 用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有 5 5 P种方法所以总的个数为： 325 545 7200CCP （个） 【答案】7200 【例【例 14】从从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中这七个数字中，任取任取 3 个组成三位数个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？共可组成多少个不同的三位

23、数？ （这里每个数字只允许用（这里每个数字只允许用1次，比如次，比如 100、210 就是可以组成的，而就是可以组成的，而 211 就是不可以组成的就是不可以组成的） 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【关键词】陈省身杯，五年级 【解析】若三位数不含有0，有54360 （个） ，若含有一个0，有54240 （个） ，若含有两个0，有 5（个） ，所以共有60405105（个） 【答案】105 【例【例 15】用用 2 个个 1，2 个个 2，2 个个 3 可以组成多少个互不相同的六位数可以组成多少个互不相同的六位数？用用 2 个个 0，2 个个 1，2 个个 2 可以组成多可以

24、组成多 少个互不相同的六位数少个互不相同的六位数？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】先考虑在 6 个数位上选 2 个数位放 1，这两个 1 的顺序无所谓，故是组合问题有 2 6 15C 种选法；再 从剩下的 4 个数位上选 2 个放 2，有 2 4 6C 种选法；剩下的 2 个数位放 3，只有 1 种选法由乘法原 理，这样的六位数有156 190 个 在前一问的情况下组成的 90 个六位数中，首位是 1、2、3 的各 30 个如果将 3 全部换成 0，这 30 个首位是 0 的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060个 【答案】60 【巩固】【巩固】 用两个用两个 3，一个，一个 2，一个，一个 1，可以组成多少个不重复的，可以组成多少个不重复的 4 位数？位数？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】这道题由于 3 有 2 个，是其中最特殊的，所以从它入手 先从四位数的 4 个数位中选择 2 个来放 3，有 2 4 6C 种选法；然后剩下的两个数位放 1 和 2，有 2 种 放法；根据乘法原理，共有6212种不同的方法，所以可以组成 12 个不重复的四位数 【答案】12