小学奥数习题教案-7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.教师版.doc

1、7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page1of7 7-7-1.7-7-1.容斥原理之重叠问题容斥原理之重叠问题 （一一） 教学目标教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 知识要点知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“” 读作“交”，相当于中文“且”的

2、意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B

3、类元素个数C类元素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次， 多加了1次 2再排除：ABCABBCAC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABC ABBCAC计算

4、时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABC 7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page2of7 例题精讲例题精讲 两量重叠问题 【例【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳 绳。用圆绳。用圆 A、圆、圆 B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示_。 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题 【解析】阴影部分是两人都爱

5、好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐 【例【例 2】 四四（1）班全体同学站成一排班全体同学站成一排，当从左向右报数时当从左向右报数时，小华报小华报：18；当从右向左报数时当从右向左报数时，小华报小华报：13. 那么该班有学生那么该班有学生_名。名。 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2 题 【解析】该班学生人数为：1813 130 （名） 。 【答案】30名 【例【例 3】 实验小学四年级二班实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有参加语文兴趣小组的有28人人，参加数学兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有29人人，有有12人两个小人两个小 组都参

6、加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分 C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参 加数学兴趣小组的人，有281216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有291217(人) 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745(人) 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人参加

7、语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小 组都参加的人，即：28291245(人) 【答案】45人 【巩固】【巩固】 芳草地小学四年级有芳草地小学四年级有58人学钢琴人学钢琴，43人学画画人学画画，37人既学钢琴又学画画人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画问只学钢琴和只学画画 的分别有多少人？的分别有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象 与不同的区域对应清楚建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义 7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page3of7

8、如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含 阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有：583721(人) 【答案】21人 【巩固】【巩固】四四(二二)班有班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有人，写完数学作业的有20人，语文人，语文 数学都没写完的有数学都没写完的有6人人 问语文数学都写完的有多少人？问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？只写完语文作业的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】

9、解答 【解析】 由题意，有48642(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有： 3020428(人) 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822(人) 【答案】22人 【巩固】【巩固】四（四（1）班有）班有 46 人，其中会弹钢琴的有人，其中会弹钢琴的有 30 人，会拉小提琴的有人，会拉小提琴的有 28 人，则这个班既会弹钢琴又会拉人，则这个班既会弹钢琴又会拉 小提琴的至少有小提琴的至少有人。人。 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题 【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(4

10、6-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12 人 【答案】12人 【例【例 4】 如图如图， 圆圆 A 表示表示 1 到到 50 这这 50 个自然数中能被个自然数中能被 3 整除的数整除的数， 圆圆 B 表示这表示这 50 个数中能被个数中能被 5 整除的数整除的数， 则阴影部分表示的数是则阴影部分表示的数是。 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题 【解析】阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3515 整除的数，即 15，30，45 【答案】15，30，45 【例【例 5】 学校为了丰富

11、学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中 有有 321 人报名参加乒乓球俱乐部，人报名参加乒乓球俱乐部，429 人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有 50 人既报名人既报名 参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有 23 人什么俱乐部都没报名，问该学校共有人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生名学生 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，

12、第 5 题 【解析】3214295023723人 【答案】723人 【例【例 6】 某班共有某班共有46人人，参加美术小组的有参加美术小组的有12人人，参加音乐小组的有参加音乐小组的有23人人，有有5人两个小组都参加了人两个小组都参加了这这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数， 就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组 的总人数为12235

13、30(人)所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016(人) 【答案】16人 【巩固】【巩固】四年级一班有四年级一班有45人人， 其中其中26人参加了数学竞赛人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了人两项比赛都参加了 一一 班有多少人两项比赛都没有参加？班有多少人两项比赛都没有参加？ 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】解答 7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page4of7 【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236(人)，所以，两项比赛都没有参 加的人数为：45369(人) 【答案】9人 【巩固】【巩

14、固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的有人，两种都能表演的有 7 人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721(人) 【答案】21人 【例【例 7】 全班全班 50 个学生个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺人有直尺，有三角板的人中有三角板的人中，男生是男生是 14 人人， 若已知全

15、班共有女生若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有人，那么有直尺的女生有_人。人。 【考点】两量重叠问题【难度】1 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】有三角板的学生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23（人）。 【答案】23人 【例【例 8】 某次英语考试由两部分组成某次英语考试由两部分组成，结果全班有结果全班有12人得满分人得满分，第一部分有第一部分有25人做对人做对，第二部分有第二部分有19人有人有 错，问两部分都有错的有多少人？错，问两部分都有错的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型

16、】解答 【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数B圆表示第二部分对的人数， 长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数 已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213(人)又因为第二 部分有19人有错， 其中第一部分对第二部分有错的有13人， 那么余下的19136(人)必是第一部分 和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人 【答案】6人 【例【例 9】 对全班同学调查发现对全班同学调查发现，会游泳的有会游泳的有20人人，会打篮球的有会打篮球的有25人人两项都会的有两项都会的有10人人，两项都不会的两项都不会的 有有9人这个班一共有多少人？人这

17、个班一共有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影 部分表示两项都不会的人数 由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20251035(人)，全班人数为：35944(人) 【答案】44人 【巩固】【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有人，参加军棋比赛的有28人，有人，有18人两项比赛都人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？参加了，这个班参加棋类比赛的共有多

18、少人？ 7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page5of7 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加 两项比赛的人图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有 321814(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有 281810(人)由此得到参加棋类比赛的人有14181042(人) 或者根据包含排除法直接得：32281842(人) 【答案】42人 【例【例 10】在在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人参加的采摘活动中，只采了樱桃

19、的有18人，既采了樱桃又采了杏的有人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又人，既没采樱桃又 没采杏的有没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？人，问：只采了杏的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数长方 形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人 数为：46640(人)，而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏 的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715(人) 【答案】1

20、5人 【例【例 11】甲甲、乙乙、丙三个小组学雷锋丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃为学校擦玻璃，其中其中68块玻璃不是甲组擦的块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦块玻璃不是乙组擦 的，且甲组与乙组一共擦了的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】68 块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52 块玻璃是甲、丙两组擦的 如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃因甲乙两组共擦 了

21、60块玻璃，那么68526060(块)，这是两个丙组擦的玻璃数60230(块)丙组擦了30块 玻璃乙组擦了：683038(块)玻璃，甲组擦了：523022(块)玻璃 【答案】甲组擦了：523022(块)玻璃，乙组擦了：683038(块)玻璃，丙组擦了30块玻璃。 【例【例 12】育才小学画展上展出了许多幅画育才小学画展上展出了许多幅画，其中有其中有 16 幅画不是六年级的幅画不是六年级的，有有 15 幅画不是五年级的幅画不是五年级的，五五、六六 年级共展出年级共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？幅画，其他年级的画共有多少幅？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】通过

22、 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16，通过 15 幅画不是五 年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15，那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅， 我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅，那 么久可以求出其他年级的画作共有 3 幅 【答案】3幅 【例【例 13】47名学生参加数学和语文考试名学生参加数学和语文考试，其中语文得分其中语文得分95分以上的分以上的14人人，数学得分数学得分95分以上的分以上的21人人，两两 7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page6of7 门都不

23、在门都不在95分以上的有分以上的有22人问：两门都在人问：两门都在95分以上的有多少人？分以上的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上 的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在 95分以上的人数 由图中可以看出， 全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和， 则至 少一门在95分以上的人数为：472225(人)根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为： 14212510(人) 【答案】10人

24、【巩固】【巩固】 有有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，人懂英语，83人懂俄语问既懂英语又人懂俄语问既懂英语又 懂俄语的有多少人？懂俄语的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090(人)又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的 有：907515(人)从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83 1568(人)就是既懂 英语又懂俄语的旅客 方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得： 75839068ABABAB(人)

25、 【答案】68人 【例【例 14】一个班一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作 业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有37人；做完数学作人；做完数学作 业的有业的有42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】不妨用下图来表示： 线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作

26、业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重 叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数 根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC 做完数学作业的有42人，即42DB 374279ACDB(人) 48AB (人) 式减式，就有794831DC (人),所以，数学、语文作业都做完的有31人 【答案】31人 【巩固】【巩固】 四年级科技活动组共有四年级科技活动组共有63人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师 到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同

27、学有人，装配好一架飞机模型的同学有34人每个同人每个同 学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】因423476，7663， 所以必有人同时完成了这两项活动 由于每个同学都至少完成了一项活动， 根据包含排除法知，4234(完成了两项活动的人数)全组人数，即76(完成了两项活动的人 数)63由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313(人)也可画图分析 【答案】13人 7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库教师版page7of7 【巩固】【巩固】 科技

28、活动小组有科技活动小组有55人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清 点发现：制作好一架飞机模型的同学有点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有32人每个同学都至少完人每个同学都至少完 成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？ 【考点】两量重叠问题【难度】2 星【题型】解答 ? C ? B ? A 【解析】因为403272，7255，所以必有人两项制作都完成了由于每个同学都至少完成了一项制作， 根据包含排除

29、法可知：全组人数4032完成了两项制作的人数，即5572完成了两项制作的 人数所以，完成了两项制作的人数为：725517(人) 【答案】17人 【例【例 15】一次数学测验，甲答错题目总数的一次数学测验，甲答错题目总数的 1 4 ，乙答错，乙答错 3 道题，两人都答错的题目是题目总数的道题，两人都答错的题目是题目总数的 1 6 求甲求甲、 乙都答对的题目数乙都答对的题目数. 【考点】两量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】(法一)设共有 n 道题 由右图知 d 即为所求， 并有关系式 (1) 4 3(2) (3) 6 n ac cb n c 由知,n 是 4 和 6 的公倍数， 即 1

30、2 的倍数将代入，有 3 6 n b ， 由于 b 是非负整数，所以 n=12，由此求出 c=2，b=1， a=1.又由 a+b+c+d=n，得到 d=n-（a+b+c)=8（法二）显然两人都答错的题目不多于 3 道，所以题目 总数只可能是 6、12、18，其中只有 12，能使甲答错题目总数是整数. 【答案】8道题 【例【例 16】小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这 8 名同学站成一排其中小孙和小周不名同学站成一排其中小孙和小周不 能相邻能相邻，小钱和小吴也不能相邻小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间小李必须在小郑和小

31、王之间(可相邻也可不相邻可相邻也可不相邻)则不同的排列则不同的排列 方法共有方法共有_种种 【考点】两量重叠问题【难度】3 星【题型】填空 【解析】8 名同学站成一排，所有的排法共有8!40320种，其中小孙和小周相邻的排法，根据“捆绑法”有 27!10080种，小钱和小吴相邻的也有10080种，这两对都相邻的有226!2880 种根据 容斥原理，符合前两个条件的排法有403202 10080288023040种在这23040种排法里面， 小李、小郑、小王3个人的排列中每个人在中间的可能性都相等，所以小李在小郑和小王之间的排 法占其中的 1 3 ，即有 1 230407680 3 种 【答案】7680种