小学奥数习题教案-5-1-3-2 数阵图（二）.教师版.doc

1、5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 1 of 10 5-1-3-2.5-1-3-2.数阵图数阵图 教学目标教学目标 1.了解数阵图的种类 2.学会一些解决数阵图的解题方法 3.能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方

2、格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用 例题精讲例题精讲 复合型数阵图 【例【例 1】 由数字由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有组成的不同的两位数共有 9 个，老师将这个，老师将这 9 个数写在一个九宫格上，让同学选数个数写在一个九宫格上，让同学选数， 每个同学可以从中选每个同学可以从中选 5 个数来求和小刚选的个数来求和小刚选的 5 个数的和是个数的和是 120，小明选的，小明选的 5 个

3、数的和是个数的和是 111如如 果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_ 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3 题 【分析】【分析】这 9 个数的和：11 1213212223313233 10203031233198 （）（） 由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这 9 个数全部都取到了，且有一个数取 了两遍所以他们取的数的总和比这 9 个数的和多出来的部分就是所求的数那么，这个数是 120111 19833 【答案】33 【例【例 2】 如图如图 1，圆圈内分别填有圆圈内分别填有

4、 1，2，7 这这 7 个数个数。如果如果 6 个三角形的顶点处圆个三角形的顶点处圆圈内的数字的和圈内的数字的和是是 64，那么，中间圆圈内填入的数是，那么，中间圆圈内填入的数是。 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 2 of 10 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 5 题，5 分 【解析】2 【答案】2 【例【例 3】 如下图（如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上 三个数的和三个数的和. 【考点】复合型数阵图【

5、难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2） ， 则有 a+4+9=a+b+c（1） b+8+9=a+b+c（2） c+17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3） ： （a+b+c）+56=3（a+b+c） ，a+b+c=28，则 a=28（4+9）=15，b=28（8+9）=11， c=28-（17+9）=2 解：见图. 【答案】 【例【例 4】 请你将数字请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图（填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和 与每条直线上的三个数之和相等与每条

6、直线上的三个数之和相等.应怎样填？应怎样填？ 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】为了叙述方便， 将各圆圈内先填上字母， 如图 （2） 所示.设 A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k， 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 3 of 10 2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为 56+A 为 5 的倍数， 得 A=4，进而推出 k=

7、12，因为在 1、2、3、5、6、7 中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设 B=1，F=5，D=6， 则 C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为： （见图） 【答案】 【例【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有 3 个相邻个相邻(即有线段相连的圆圈即有线段相连的圆圈) 的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为 3 个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左 下图中

8、已有一个数下图中已有一个数 1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。 【考点】复合型数阵图【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 10 题，10 分 【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以 3 的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以 3 的 余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是 根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。 【答案】 【例【例 6】 将将 1 至至 8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的这八个自然数分别填入图中

9、的正方体的八个顶点处的内，并使每个面上的四个内，并使每个面上的四个内的内的 数字之和都相等。求与填入数字数字之和都相等。求与填入数字 1 的的有线段相连的三个有线段相连的三个内的数的和的最大值。内的数的和的最大值。 【考点】复合型数阵图【难度】4 星【题型】填空 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 13 题，15 分 【解析】因为 1 到 8 的和为 36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为 18。因为每个面的数字和 相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字 1 在同一个面上的应该有较大的数。 尝试最大的三个数 8，7，6，则和 1，8

10、，7 在同一个面上的数应该是 18-1-8-7=2，和 1，8，6 在同一 个面上的数应该是 18-1-8-6=3，和 1，7，6 在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是 18-1-7-6=4，剩下一个 5 填在剩下的中，经检验，符合题意，那么与 1 相连的三个的和是 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 4 of 10 67821 【答案】21 【例【例 7】 将自然数将自然数1到到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等 ? 18- ? c ? - ? d ? 18- ? b ? - ?

11、 c ? c ? + ? d ? -6 ? b+ ? c ? -6 ? 12- ? d ? 12- ? c ? 12- ? b ? d ? c ? b ? 6 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】设左下角的数为a，每条直线上的三个数的和为S由于这 11 个数的和为121166从左 下角引出的5条直线的总和为5S，其中左下角的数多计算了 4 次，则5664Sa；又由三条横线 及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466Sa从而结合上面的两个式子可得18S ， 6a ，即左下角的

12、数为 6，每条线上的数之和为 18再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b， c，d， 于是可得各个圆圈中的数如图所示 除 6 以外的 10 个数分别为：b，c，d，12b，12c， 12d，18bc，18cd，6bc，6cd由于18121818bcccd，得到 330bcd，即303bdc所以，只要选取适当的b，c，d的值，使得上面的 10 个数各 不相同即可比如，选择9c ，1b ，2d ，则可得到如右上图所示的一种填法本题答案不唯 一，下面再给出两种填法。 ? 3 ? 10 ? 5 ? 2 ? 7 ? 9 ? 4 ? 8 ? 6 ? 11 ? 1 ? 5 ? 4 ? 9 ? 8 ? 3 ?

13、 7 ? 10 ? 2 ? 11 ? 1 ? 6 【答案】 ? 3 ? 10 ? 5 ? 2 ? 7 ? 9 ? 4 ? 8 ? 6 ? 11 ? 1 ? 5 ? 4 ? 9 ? 8 ? 3 ? 7 ? 10 ? 2 ? 11 ? 1 ? 6 【例【例 8】 在下图中在下图中，在每个圆圈中填入一个数在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是使每条直线上所有圆圈中数的和都是 234，那么标有那么标有的圆的圆 圈中所填的数是圈中所填的数是_ 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11 题 【分析】【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右

14、图） 根据题意，有 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 5 of 10 234af 234bc 234ed 234abe 234cdf ，有3234，即234378 【答案】78 【例【例 9】 请将请将 1，2，3，10 这这 10 个自然数填入图中的个自然数填入图中的 10 个小圆圈内个小圆圈内，使得图中的使得图中的 10 条直线上圆圈内条直线上圆圈内 数字之和都相等那么乘积数字之和都相等那么乘积ABC？ ? C ? B ? A 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10 题 【解析】【解析】对于本题，可以通过“10 条直线上圆圈内数字之和

15、都相等”(实际上是 11 条)这一等量关系，将每一个 小圆圈中的数表示出来由于每一条直线上的数之和都为ABC，可得图中每一个小圆圈中的数 如下图。 由于中间竖直方向的线段以及从左下角A出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是 ABC， 可以得到，332ABCBCAC， 可得2ABC， 代入得2333BCBC， 即6BC，只能是1C ，6B ，28ABC，则86 148ABC 【答案】86 148ABC 【例【例 10】下图中有下图中有 11 条直线条直线请将请将 1 至至 11 这这 11 个数分别填在个数分别填在 11 个圆圈里个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相使每一条直线上所有数的

16、和相 等求这个相等的和以及标有等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数的圆圈中所填的数 ? 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】设每行的和为S，在左下图中，除了a出现 2 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现 了，于是有4(12311)66Saa； 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 6 of 10 ? a ? ? a ? 在右上图中除了a出现 5 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现了，于是有 5(12311)4664Saa 综合以上两式， 466 5664 Sa Sa ，解得6a ，18S 考虑到含有*的五条线，有4(123

17、11)18 590t ，即424t 可见t是 4 的倍数，在 111 间可能为 4 和 8，但t为 8 时也为 8，重复所以4t ，7 即每行相等的和为 18，标有*的圆圈中所填的数为 7 最终的填法如右下图 ? t ? ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【答案】 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【例【例 11】 “美妙的数学花园美妙的数学花园”这这 7 个字各代表个字各代表 17 中的一个数中的一个数，并且每个圆中并且每个圆中 4 个数的和都是个数的和都是 15。如果学比如果

18、学比 美大，美比园大，那么，园表示美大，美比园大，那么，园表示。 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】 （走美杯 3 年级决赛第 11 题，12 分） 【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：1、2、5、7；2、3、4、6；1、3、 4、7；1、3、5、6需要从其中选出3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有 同一个数，分析发现这三组可为、或、，当这三组数为、时即1，2，5， 7；1，3，4，7；1，3，5，6其中、公有的是1，7；、公有是1，5；、公有1， 3，即“妙，花，数”应为3，7，5其中之一则剩下数字2，4，6应为美、学、园其中之一又

19、 因为学美园， 所以学6， 美4， 园2 当这三组数为、 、 时同样的方法可分析出园2 ? 美5 ? 花4 ? 妙1 ? 学7 ? 的3 ? 数6 ? 园2 【答案】2 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 7 of 10 【例【例 12】图图 2 中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于 130，三角形内两个数的和等于，三角形内两个数的和等于 53， 圆内三个数的和等于圆内三个数的和等于 79，正方形内两个数的和等于，正方形内两个数的和等于 50。那么，从左向右，这五个问号依次是。那么，从左向右，这五个问号依次是 【考点】复合

20、型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 5 题，5 分 【解析】根据题意答案为：25，28，27，24，26 【答案】25，28，27，24，26 【例【例 13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志请将请将19分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使 每个圆环内的数字之和都相等每个圆环内的数字之和都相等 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于19的和45再加上两两重叠处 的四个数之和而两两重叠处的四个数之

21、和最小是123410，最大是678930，所以， 5453075k ，5451055k ，即1115k当11k ，13，14时可得四种填法(见右下图) ? d ? c ? b ? a ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 当15k 时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为a，b，c，d，由上面的分析可知，a，b， c，d分别为6，7，8，9，由于6

22、915，7815，那么，不论a为多少，最左边的数总是会 与b，c，d中的某一个相同，矛盾所以当15k 时没有符合题意的填法 当12k 时，1254515abcd如果a，b，c，d中有一个数为3，比如3a ，那么 12bcd，这样与b，c在同一个圆内的那个数将与d相同可见a，b，c，d都不能为3如 果a，b，c，d中至少有3个数大于3，那么它们至少为4，5，6，另一个数至少为1，它们的和 将不小于145616，矛盾所以a，b，c，d中至少有2个数小于3，这2个数只能为1和2， 那么另两个数之和为12 如果这两个数中有一个为a或者d， 那么最左边或者最右边的数将与a，b， c，d中的某一个相同，矛

23、盾；如果这两个数为b和c，那么与b，c在同一个圆内的那个数将只能 为0，这也不可能出现所以当12k 时也没有符合题意的填法 【答案】当11k ，13，14时可得四种填法 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【例【例 14】2008 年奥运会在北京举行。年奥运会在北京举行。“奥奥”、“运运”、 “会会”、“北北”、“京京”这五个汉字代表五个连续的自

24、然数这五个汉字代表五个连续的自然数， 将其分别填在五环图案的五个环内，满足将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥奥”+“运运”+“会会”=“北北”+“京京”。这五个自然数的和最大。这五个自然数的和最大 是是。 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 8 of 10 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 2 题） 【解析】【解析】不妨设最小一个数是 x，那么这 5 个数是 x，x+1，x+2，x+3，x+4.但无法将它们对应，但无论怎么 样，列出的方程一定是这个形式的： （x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e） ，其中 a、b

25、、c、d、 e 分别是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c） ，如果连续 5 个自然数最大，那么最小的那 个自然数也必须取得最大，显然减号前是 3、4，减号后 0、1、2 时，x 取得最大值 4，所以这 5 个 数是 4、5、6、7、8，和为 30 【答案】30 【例【例 15】如图如图，A，B，C，D，E，F，G，H，I代表九个各不相同的正整数代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数的且每个圆中所填数的 和都等于和都等于2008。这九个数总和最小为。这九个数总和最小为。 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，

26、15 分 【解析】假 设9个 数 总 和 是M， 则MABCDEFGHI, 上 面 三 个 环 的 总 和 为 ： 32008MCG，所以当12CG 时，总和最小为2008 336027 。 【答案】6027 【例【例 16】如图如图，A，B，C，D，E，F，G，H，I代表九个各不相同的正整数代表九个各不相同的正整数，A，B，C，D，E， F，G，H，I的总和是的总和是2008，并且每个圆中所填的数和都等于并且每个圆中所填的数和都等于M。(1) M最大为多少？最大为多少？(2) M 最小为多少？最小为多少？ 【考点】复合型数阵图【难度】6 星【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第

27、11 题，15 分 【解析】上面三个环里数的和为3M，32008MCG，32008MCG，所以M最大可以取668，此 时C，G分别为1，3。五环的和是52008MBDFH，要使M最小，只要取BDFH 最小为12，此时404M 。 【答案】最大668，最小12 【例【例 17】将数字将数字 19 分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和 等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格为等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个

28、给定数字的格为 止止） 。例如：。例如： 20, 22, 19 ABCD EFGHCI JKMN 。 当填写完后，字母当填写完后，字母 C 处所写的数字是处所写的数字是_。 A.A.4B.5C.7D.9 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 9 of 10 【考点】复合型数阵图【难度】6 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，7 题 【解析】【解析】 3 l 4 l C，提示：在下图中，直线 1 l上的6个数之和是，只有12345722，直线 2 l上的5个 数之和是35，只有5678935，所以G等于5或7； 直线 3 l上的4个数之和是12，只有：123612或124512

29、，再考虑到G等于5或7， 得到5,1GM或2或4。直线 4 l上的3个数之和是20，并且1M 或2或4，只有47920， 所以4M ，再考虑到 1 l上的数不大于7，所以7C 。下图是一种填法（填法不唯一） 。 【答案】C=7。 【例【例 18】用数字用数字1至至9填满空格填满空格，一个格子只能填入一个数字一个格子只能填入一个数字，每个数字在每一行每个数字在每一行，每一列每一列（相连或不相连相连或不相连） 及每个粗线围成的区域中至多出现一次。及每个粗线围成的区域中至多出现一次。 【考点】数阵图与数论【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 11 题，12 分 【解析】如

30、图1，因为a、b、c、d所在列已经出现8，所以a、b、c、d不等于8， 在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知8e ，那么g、f不等于8，而在h、i所在的 列中出现了数字8，所以h、i不等于8，那么8j ，之后用同样的方法可以得出结果如图2。 ? h ? g ? i ? f ? j ? e ? d ? c ? b ? a ? 6 ? 6 ? 1 ? 2 ? 8 ? 7 ? 3 ? 8 ? 3 ? 7 ? 1 ? 9 ? 9 ? 5 ? 4 ? 图1 ? 7 ? 3 ? 2 ? 4 ? 5 ? 8 ? 1 ? 9 ? 4 ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? 7 ? 8 ? 5 ? 9 ? 3 ?

31、 6 ? 4 ? 5 ? 7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 5 ? 4 ? 1 ? 8 ? 7 ? 6 ? 2 ? 3 ? 图2 ? 4 ? 5 ? 9 ? 9 ? 1 ? 7 ? 3 ? 8 ? 3 ? 7 ? 8 ? 2 ? 1 ? 6 ? 6 ? 4 ? 6 ? 2 ? 5 ? 8 【答案】 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 10 of 10 【例【例 19】用用 l9 填满三角形空格填满三角形空格，一个格子只能填入一个数字一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行使每个数字在每一行，每一列每一列(包括不相连包括不相连 的行，列的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次 【考点】数阵图与数论【难度】6 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 10 题 【解析】解题顺序如第二附图，依照 A、B、C、D的顺序.