小学奥数习题教案-7-3-4 加乘原理之图论.教师版.doc

1、7-3-3.加乘原理之图论.题库教师版page1of4 7-3-37-3-3 加乘原理之图论加乘原理之图论 教学目标教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合 知识要点知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种方法就可以完成

2、，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加 法原理来解决 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： 加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和 乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积 在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原

3、理， 综合分析，正确作出分类和分步 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立” 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关” 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 5 条直线两两相交条直线两两相交，没有两条直线平行没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点没有任何三条直线通过同一个点，以这以这 5 条直线的交点为条直线的交点为 顶点能构成几个三角形？顶点能构成几个三

4、角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：5 条直线一共形成54210个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另 外 有 3 个 点 ， 此 外 还 有 三 个 不 共 线 的 点 ， 以 这 个 点 为 顶 点 的 三 角 形 就 有 3 33 33 332230 个三角形，以 10 个点分别为定点的三角形一共有 300 个三角形，但 每个三角形被重复计算 3 次，所以一共有 100 个三角形 方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出 10 个点中取出 3 个点的种数，再减去 3 点共线的情况这 10 个点是由 5 条直线互相相交得到的，

5、在每条直线上都有 4 个点存在共线的情 7-3-3.加乘原理之图论.题库教师版page2of4 况，这 4 个点中任意三个都共线，所以一共有5 432(32 1)20 个三点共线的情况，除此 以外再也没有 3 点共线的情况(用反证法可证明之)， 所以一共可以构成109 8(32 1)20100 种情况 【答案】100 【例【例 2】 如图，有这样的两条线，请问从这如图，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形个点中任选三个点可以构成个不同的三角形 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 4 题 【解析】只要三点不共线，就能构成

6、三角形。 3 5 28C 个 【答案】8个 【例【例 3】 直线直线 a，b 上分别有上分别有 5 个点和个点和 4 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ b a 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】解答 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 6 题 【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点，另一条线上找 2 个点，本题分为两种情况： 在a线上找一个点，有 5 种选取法，在b线上找两个点，有4326 种 根据乘法原理，一共有：5630个三角形； 在b线上找一个点，有 4 种选取法，在a线上找两个点，有54210种 根据乘法原理，一共有：

7、4 1040个三角形； 根据加法原理，一共可以画出：304070个三角形 【答案】70 【巩固】【巩固】 直线直线 a，b 上分别有上分别有 4 个点和个点和 2 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ b a 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】解答 【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点，另一条线上找 2 个点，本题分为两种情况： 在a线上找一个点，有 4 种选取法，在b线上找两个点，有 1 种，根据乘法原理，一共有：4 14 个三角形； 在b线上找一个点，有 2 种选取法，在a线上找两个点，有4326 种，根据乘法原理，一共有：

8、2612个三角形； 根据加法原理，一共可以画出：41216个三角形 【答案】16 【巩固】【巩固】 直线直线 a，b 上分别有上分别有 5 个点和个点和 4 个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】解答 【解析】画四边形需要在每条线上取 2 个点， 在a线上取 2 个点共有54210种， 7-3-3.加乘原理之图论.题库教师版page3of4 在b线上取 2 个点共有4326 种， 根据乘法原理，一共可以画出6 1060个四边形 【答案】60 【巩固】【巩固】 三条平行线上分别有三条平行线上分别有 2，4

9、，3 个点个点(下图下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线问：以这些，已知在不同直线上的任意三个点都不共线问：以这些 点为顶点可以画出多少个不同的三角形？点为顶点可以画出多少个不同的三角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况 三个顶点在两条直线上， 一共有43223222322443234355 个 三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线， 所以一共有：24324 个 根据加法原理，一共可以画出552479个三角形 (方法二)9个点任取三个点有9 87(32 1)84 种取法，其

10、中三个点都在第二条直线上有4种， 都在第三条直线上有1种，所以一共可以画出844179 个三角形 【答案】79 【例【例 4】 一个半圆周上共有一个半圆周上共有 12 个点个点，直径上直径上 5 个个，圆周上圆周上 7 个个，以这些点为顶点以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？可以画出多少个三角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有76532 135 （）种； 第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有762 15105（）种； 第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7542 170 （）种； 根

11、据加法原理，一共可以画出3510570210种 【答案】210 【例【例 5】 在一个圆周上均匀分布在一个圆周上均匀分布 10 个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充知识补充知识： 由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如 果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形) 【考点】加乘原理之图论【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于 10

12、 个点全在圆周上，所以这 10 个点没有三点共线，故只要在 10 个点中取 3 个点，就可以画出 一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小 的圆周上，则这三个点构成钝角三角形， 这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之 间仅相隔一个点，这样的三角形有10 110 个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形 有10220个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10330个，所以一共可以 画出10203060个钝角三角形 【答案】60 【例【例 6】 从从 1 至至 9 这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任

13、意相邻两个圆圈内数字这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字 之和都是不能被之和都是不能被 3 整除的奇数整除的奇数，那么最多能找出那么最多能找出种不同的挑法来种不同的挑法来(六个数字相同六个数字相同、排列次排列次 7-3-3.加乘原理之图论.题库教师版page4of4 序不同的都算同一种序不同的都算同一种) 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从 2，4，6，8 中选 3 个数填入 3 个不相邻的 圆圈中，下面就按此分类列举： 填入 2，4，6，这时 3 与 9 不能同时填入(否则总有一个与 6 相邻，36或96能被 3 整除)，没 有 3，9 的有 1 种：1，5，7，经试填，不成立；有 3 或 9 的，其它 3 个奇数 1，7 中选一个，5 必 选，有 2 种选法，因此有224种 填入 2，4，8，这时 1，7 不能填入(因为72，78，12，18都能被 3 整除)，从其余 3 个奇 数中选出 1 个，有 1 种选法 填入 2，6，8，这时 1，7 不能填入，故无法填 填入 4，6，8，这时 3 与 9 只能任选一个，1 与 7 也只能任选 1 个，第三个数是 5，因而有224 种选法 根据加法原理，总共有41049 种选法 【答案】9