小学奥数习题教案-4-4-2 圆与扇形（二）.教师版.doc

1、圆与扇形圆与扇形 例题精讲例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积 2 r；扇形的面积 2 360 n r； 圆的周长2r；扇形的弧长2 360 n r 一、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常说 的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 分之几那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n

2、比如：扇形的面积所在圆的面积 360 n ； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长 360 n 2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积(除了半圆) ”弯角” ：如图：弯角的面积正方形-扇形 ”谷子” ：如图：“谷子”的面积弓形面积2 二、常用的思想方法： 转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形(割补、平移、旋转等) 借来还去(加减法) 外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块二曲线型面积计算 【例【例 1】 如图，如图，已知

3、已知扇形扇形BAC的面积是半圆的面积是半圆ADB面积的面积的 3 4 倍，则角倍，则角CAB的度数是的度数是_ ? D ? C ? B ? A 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】设半圆ADB的半径为 1，则半圆面积为 2 1 1 22 ，扇形BAC的面积为 42 233 因为扇形BAC 的面积为 2 360 n r ，所以， 2 2 2 3603 n ，得到60n ，即角CAB的度数是 60 度 【答案】60 度 【例【例 2】 如下图，直角三角形如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长的两条直角边分别长6和和7，分别以，分别以,B C为圆心，为圆心，2为半径画圆，已知为半

4、径画圆，已知 图中阴影部分的面积是图中阴影部分的面积是17，那么角，那么角A是多少度是多少度( (3) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】 1 6 721 2 ABC S , 三角形ABC内两扇形面积和为21 174， 根据扇形面积公式两扇形面积和为 2 24 360 BC , 所以120BC,60A . 【答案】60 度 【例【例 3】 如图，大小两圆的相交部分如图，大小两圆的相交部分( (即阴影区域即阴影区域) )的面积是大圆面积的的面积是大圆面积的 4 15 ，是，是小圆面积的小圆面积的 3 5 如果量得小如果量得小 圆的半径是圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多

5、少厘米？厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】小 圆 的 面 积 为 2 525， 则 大 小 圆 相 交 部 分 面 积 为 3 2515 5 , 那 么 大 圆 的 面 积 为 4225 15 154 ，而 2251515 422 ，所以大圆半径为7.5厘米 【答案】7.5 【例【例 4】 有七根直径有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆( (如图如图) )，此时橡皮筋的长度是多少，此时橡皮筋的长度是多少 厘米？厘米？( (取取 3) ) ? C ? B ? A 【考点】圆与扇形【难

6、度】3 星【题型】解答 【解析】由右图知，绳长等于 6 个线段AB与 6 个BC弧长之和 将图中与BC弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是360， 所以BC弧所对的圆心角是60，6 个BC弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长 而线段AB等于塑料管的直径， 由此知绳长为：56545(厘米) 【答案】45 【例【例 5】 如图如图，边长为边长为 12 厘米的正五边形厘米的正五边形，分别以正五边形的分别以正五边形的 5 个顶点为圆心个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧厘米为半径作圆弧，请请 问：中间阴影部分的周长是多少？问：中间阴影部分的周长是多少？( (3.14) ) 【

7、考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以ABCB，同理CBAC，则ABC是正三角形，同理， 有CDE是正三角形有60ACBECD ，正五边形的一个内角是1803605108 ，因此 60210812ECA ，也就是说圆弧AE的长度是半径为 12 厘米的圆周的一部分，这样相同 的圆弧有 5 个，所以中间阴影部分的周长是 12 23.14 12512.56 cm 360 【答案】12.56 【例【例 6】 如图是一个对称图形如图是一个对称图形比较黑色部分面积与比较黑色部分面积与灰色灰色部分面积的大小部分面积的大小，得得：黑色部分面积黑色部分面积_灰色

8、灰色 部分面积部分面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 1 4 ，则 4 个小圆的面 积之和等于大圆的面积而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两 部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等 【答案】相等 【例【例 7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1 S，空白部分面积为，空白部分面积为 2 S，那么这两个部，那么这两个部 分的面积之比是多少？分的面积之比是多少？( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考

9、点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图添加辅助线， 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来， 这样， 空白部分就是一个圆的内接正方形 设 大圆半径为r，则 2 2 2Sr， 22 1 2Srr，所以 12 :3.142 :257:100SS 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 【答案】57:100 【例【例 8】 用一块面积为用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：所余下的边个同样大小的圆铝板问：所余下的边 角料的总面积是多少平方厘米？角料的总面积是多少平方厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】

10、4 星【题型】解答 【解析】大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积大圆面积 22 :1:9rR， 小圆面积 1 364 9 ，7个小圆总面积4728， 边角料面积36288(平方厘米) 【答案】8 【例【例 9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1求阴影部分的面积求阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形 由右图可见， 阴影部分面积等于 1 6 大圆面积减去一个小圆面积， 再加上120的小扇形

11、面积(即 1 3 小圆 面积)，所以相当于 1 6 大圆面积减去 2 3 小圆面积而大圆的半径为小圆的 3 倍，所以其面积为小圆的 2 39倍，那么阴影部分面积为 2 125 9 12.5 636 【答案】2.5 【例【例 10】如如图图所示所示，求阴影面积求阴影面积，图中是一个正六边形图中是一个正六边形，面积为面积为 1040 平方厘米平方厘米，空白部分是空白部分是 6 个半径为个半径为 10 厘米的小扇形厘米的小扇形( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小

12、 扇形面积如何求，有扇形面积公式 2 360 n R S 扇 可求得， 需要知道半径和扇形弧的度数， 由已知正六边形每边所对圆心角为 60， 那么120AOC， 又 知 四 边 形ABCO是 平 行 四 边 形 ， 所 以120ABC， 这 样 就 可 求 出 扇 形 的 面 积 和 为 2 120 6 10628 360 (平方厘米)，阴影部分的面积1040628412(平方厘米) 【答案】412 【例【例 11】 ( (09 年第十四届华杯赛初赛年第十四届华杯赛初赛) )如下图所示如下图所示，AB是半圆的直径是半圆的直径，O是圆心是圆心， ACCDDB，M是是CD 的中点，的中点，H是弦是

13、弦CD的中点若的中点若N是是OB上一点，半圆的面积等于上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分平方厘米，则图中阴影部分 的面积是的面积是平方厘米平方厘米 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH 本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是 对称的，由对称性可知CD与AB平行由此可得CHN的面积与CHO的面积相等，所以阴影部分 面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的 1 3 ，所以阴影部分面积等于 半圆面积的 1 6 ，为 1 122 6 平方厘米 【答案】2 【巩固】

14、如图，【巩固】如图，C、D是以是以AB为直径的半圆的三等分点，为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为是圆心，且半径为 6求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图，连接OC、OD、CD 由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC和COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的所 以ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为 2 1 618.84 6 【答案】18.84 【例【例 12】如图，两个半径为如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部的半圆垂直相交，横放的半

15、圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部 分的面积之差分的面积之差( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是 这样较为繁琐由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同 的图形，再求剩余图形的面积 如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC剩下的图形中，容易 看出来AB与CD是平行的，所以BCD与ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的 面积相等，而扇形ACD的面积为 2 60 10.5 360 ，所以图中两块阴影

16、部分的面积之差为0.5 【答案】0.5 【例【例 13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？，那么阴影部分面积是多少？( (圆周率取圆周率取 3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为122aa阴影部 分为： 大正方形梯形三角形ABF 右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分 1 4 圆 因 此阴影部分面积为：3.14 12 124113.04 方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯

17、形，根据梯形蝴蝶定理 有 ADMCMF SS ，所以 DCF SS 阴影扇形 3.14 12 124113.04 【答案】113.04 【巩固】如右图，两个正方形边长分别是【巩固】如右图，两个正方形边长分别是 10 和和 6，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积， 那么求出月牙BCD的 面积就成了解题的关键 月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆： 1 66669 4 ； 则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：

18、1 1066939 2 S 阴影 (法 2)观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF 则ABD与BDF面积相等， 那么阴影部分面积等于BDF与小弓形的面积之和， 也就等于DEF与 扇形BED的面积之和，为： 2 11 (106)6639 24 【答案】39 【例【例 14】如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，是半圆周的中点，BC是半圆的直径已知是半圆的直径已知10ABBC，那，那 么阴影部分的面积是多少？么阴影部分的面积是多少？( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】连接PD、AP、BD，如图，P

19、D平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M点，那么ABD与 ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP与圆内的小弓形的面积和 ABP的面积为：10102225； 弓形面积：3.145 545 527.125 ； 阴影部分面积为：257.12532.125 【答案】32.125 【例【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形， 按图中所给长度阴影部分面积为按图中所给长度阴影部分面积为；( (3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析

20、】连接小正方形AC,有图可见 ACDABC SSSS 阴影扇形 2 111 44 222 AC 2 32AC 同理 2 72CE ，48ACCE 1 4824 2 ACD S 2 90 412.56 360 S 扇形 ， 1 448 2 ABC S 2412.56828.56S 阴影 【答案】28.56 【例【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的的 6 条半圆曲线连成的问：涂有阴影的部分条半圆曲线连成的问：涂有阴影的部分 的面积的面积与未涂有阴影的部分与未涂有阴影的部分的的面积的比是多少？面积的比是多少？ 【考点】圆与扇形【难度

21、】4 星【题型】解答 【解析】假设最小圆的半径为r，则三种半圆曲线的半径分别为4r，3r和r 阴影部分的面积为： 22 222 111 4 35 222 rrrrr， 空白部分的面积为： 2 22 4511rrr， 则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11 【答案】5:11 【例【例 17】( (西城实验考题西城实验考题) )奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为厘米，外圆直径为 8 厘米厘米 的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分阴影部分)的面积都相等，已知五个圆

22、环盖住的面的面积都相等，已知五个圆环盖住的面 积是积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积平方厘米，求每个小曲边四边形的面积(3.14) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】每个圆环的面积为： 22 43721.98(平方厘米)； 五个圆环的面积和为：21.98 5109.9(平方厘米)； 八个阴影的面积为：109.977.132.8(平方厘米)； 每个阴影的面积为：32.884.1(平方厘米) 【答案】4.1 【例【例 18】已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为 1010 厘米，过它的四个顶点作一个大厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆圆，过

23、它的各边中点作一个小圆， 再将对边中点用直线连擎起来得右图再将对边中点用直线连擎起来得右图 那么那么， 图中阴影部分的总面积等于图中阴影部分的总面积等于_方厘米方厘米 ( (3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】填空 【解析】39.25 【答案】39.25 【例【例 19】如图如图，ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形的正方形，以以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所求这四个半圆弧所 围成的阴影部分的面积围成的阴影部分的面积( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分

24、是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式 求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了 了 如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得， 4SSS 阴影半圆三角形 2 11 4 2222 aa a 2 1 2 a 【答案】 1 2 a 【巩固】【巩固】如图，正方形如图，正方形 ABCD 的边长为的边长为 4 厘米，分别以厘米，分别以 B、D 为圆心以为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆厘米为半径在正方形内画圆求阴求阴 影部分面积影部分面积( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】由题可知，图

25、中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴 影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积 解法一：把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分 则阴影部分的面积为 2 1 4448 2 ； 解法二：连接 AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积， 所以阴影部分面积 2 1 2 44428 4 （） 【答案】8 【例【例 20】( (四中考题四中考题) )已知三角形已知三角形ABC是直角三角形，是直角三角形，4cmAC ，2cmBC ，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答

26、【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影 部分的面积为： 22 14121 422.543.85 22222 ( 2 cm) 【答案】3.85 【例【例 21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片个两两重叠、形状相同的圆形纸片. .它们的面积都它们的面积都 是是100平方厘米平方厘米， 盖住桌面的总面积是盖住桌面的总面积是144平方厘米平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是张纸片共同重叠的面积是42平方厘米平方厘米. . 那么图中那么图中3个阴影部分的面积的和个阴影部分的面积的和是平

27、方厘米是平方厘米. . 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】填空 【解析】根据容斥原理得100 3242144S 阴影 ，所以100 3 14424272S 阴影 （平方厘米） 【答案】72 【例【例 22】如图所示，如图所示，ABCD是一边长为是一边长为4cm的正方形，的正方形，E是是AD的中点，而的中点，而F是是BC的中点以的中点以C为圆心为圆心、 半径为半径为4cm的四分之一圆的圆弧交的四分之一圆的圆弧交EF于于G，以以F为圆心为圆心、半径为半径为2cm的四分之一圆的圆弧交的四分之一圆的圆弧交EF 于于H点点， 若图中若图中 1 S和和 2 S两块面积之差为两块面积之差为 2 (cm

28、)mn( (其中其中m、n为正整数为正整数) )， 请问请问mn之值为何？之值为何？ ? 第11题 ? S ? 2 ? S ? 1 ? G ? H ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? S ? 图1 ? S ? 2 ? S ? 1 ? G ? H ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【关键词】国际小学数学竞赛 【解析】 (法 1) 2 248cm FCDE S ， 2 1 44 4 BCD S 扇形 2 (cm )， 2 1 2 4 BFH S 扇形 2 (cm )，而 12 48 FCDEBCDBFH SSSSS 扇形扇形

29、 38 2 (cm )， 所以3m ，8n ，3811mn (法2)如右上图， 1 SS BFEABFH SS 扇形 242248 2 (cm )， 2 44444164 ABCDBCD SSSS 扇形 2 (cm )， 所以， 12 (8)(164)38SS 2 (cm )，故3811mn 【答案】11 【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和和 4，求两个阴影部分的面积差，求两个阴影部分的面积差( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解左边的阴影是

30、大扇形减去小扇形，再扣除一个长方 形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇 形减去小扇形，再减去长方形则为： 4422423 3.1481.42 44 【答案】1.42 【例【例 23】如图，矩形如图，矩形 ABCD 中，中，AB6 厘米，厘米，BC4 厘米，扇形厘米，扇形 ABE 半径半径 AE6 厘米，扇形厘米，扇形 CBF 的半的半径径 CB4 厘米，求阴影部分的面积厘米，求阴影部分的面积( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不

31、规则 的空白部分 ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键 我们先确定 ABFD 的面积，因为不规则部分 ABFD 与扇形 BCF 共同构成长方形 ABCD， 所以不规则部分 ABFD 的面积为 2 1 64412 4 (平方厘米)， 再从扇形 ABE 中考虑，让扇形 ABE 减去 ABFD 的面积， 则有阴影部分面积为 2 1 61215 4 (平方厘米) 方法二：利用容斥原理 22 11 644615 44 EABBCFABCD SSSS 阴影扇形扇形长方形 (平方厘米) 【答案】15 【巩固】求图中阴影部分的面积【巩固】求图中阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难

32、度】3 星【题型】解答 【解析】阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积 222 11211 () 121241.04 2282 【答案】41.04 【巩固】如右图，正方形的边长为【巩固】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，平方厘米，( (3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头 求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求 出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积

33、就等于三角形ABD的面积减去扇 形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了 因为45ADB， 所以扇形ADE的面积为： 22 4545 3.1459.8125 360360 AD(平方厘米)， 那么左下边空白的面积为： 1 5 59.81252.6875 2 (平方厘米)， 又因为半圆面积为： 2 15 9.8125 22 (平方厘米)， 所以阴影部分面积为：9.81252.68757.125(平方厘米) 【答案】7.125 【例【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？如图所示，阴影部分的面积为多少？( (圆周率取圆周率取3) ) ? B ? A ? 3 ? 3 ? A ? 1.5 ? 1.

34、5 ? 1.5 ? 45 ? 45 ? B ? 3 ? 3 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积 所以 22 927 1.5 1.5 343 3 328498 416 AB SS 【答案】 27 16 【巩固】图中阴影部分的面积是【巩固】图中阴影部分的面积是( (取取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面 积 所分成的弓形的面积为： 2 2 131199 3 2242168 ； 另一部分的面积为： 22 11

35、99 33 8484 ； 所以阴影部分面积为： 99992727 1.923751.92 16884168 【答案】1.92 【例【例 25】已知右图中正方形的边长为已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以厘米，中间的三段圆弧分别以 1 O、 2 O、 3 O为圆心，求阴影部分的为圆心，求阴影部分的 面积面积( (3) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积而这一块的面积，等于大正方形的面 积减去一个90扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为： 21 42020202020100475 4 SSSS

36、圆正方形正方形扇形 (平方厘米)，所以 阴影部分的面积为752150(平方厘米) 【答案】150 【例【例 26】一个长方形的长为一个长方形的长为 9，宽为，宽为 6，一个半径为，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法 运动到的部分，面积的和是运动到的部分，面积的和是_( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下 图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相 似，我们就

37、可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍 阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到： 每个角阴影部分面积为 2 901 1 1 1 3604 ； 那么圆无法运动到的部分面积为 1 41 4 方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 2 223 11 【答案】1 【例【例 27】已知半圆所在的圆的面积为已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积平方厘米，求阴影部分的面积( (3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算从图中可以看出，阴影 部分的面积是一个45的

38、扇形与一个等腰直角三角形的面积差 由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以 2 62.83.1420OA 因此： 2 2210 AOB SOA OBOA (平方厘米) 由于AOB是等腰直角三角形，所以 2 20240AB 因此：扇形ABC的面积 2 4545 4015.7 360360 AB(平方厘米) 所以，阴影部分的面积等于：15.7105.7(平方厘米) 【答案】5.7 【例【例 28】如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形 ABC 的腰为的腰为 10；以；以 A 为圆心，为圆心，EF 为圆弧，组成扇形为圆弧，组成扇形 AEF；两个阴影部分；两个阴影部分 的面积相等求扇形所在的圆面积的面

39、积相等求扇形所在的圆面积 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】题目已经明确告诉我们 ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通 过空白部分联系起来 等腰直角三角形的角 A 为 45 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的 8 倍 而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即 1 10 1050 2 S 扇形 ， 则圆的面积为50 8400 【答案】400 【例【例 29】如图，直角三角形如图，直角三角形 ABC 中，中，AB 是圆的直径，且是圆的直径，且20AB ，阴影，阴影甲甲的面积比阴影的面积比阴影乙乙的面积大的面积大 7，求求 BC 长长( (3.1

40、4) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是 如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成 1 个半圆和 1 个直角三角形， 这个时候我们就可以利用面积公式来求解了 因为阴影甲比阴影乙面积大 7，也就是半圆面积比直角三角形面积大 7 半圆面积为： 2 1 10157 2 ，则直角三角形的面积为 1577150，可得 BC21502015 【答案】15 【巩固】【巩固】三角形三角形ABC是是直直角角三角三角形，形，阴影阴影I的面积比阴影的面积比阴影II的面积小的面积小 2 25

41、cm，8cmAB ，求，求BC的长度的长度 ? I I ? A ? B ? C ? I 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于阴影I的面积比阴影II的面积小 2 25cm，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积 为 2 25cm，则直角三角形ABC面积为 2 18 25825 22 ( 2 cm)， BC的长度为8252826.2512.53(cm) 【答案】12.53 【巩固【巩固】如图如图， 三角形三角形ABC是直角三角形是直角三角形， 阴影部分阴影部分比阴影部分比阴影部分的面的面积小积小 28 平方厘米平方厘米，AB长长 40 厘米厘米 求求 BC的长度的长度

42、？( (取取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】图中半圆的直径为AB，所以其面积为 2 1 202003.14628 2 有空白部分与的面积和为 628，又-28，所以、部分的面积和62828656 有直角三角形ABC的面积为 1 2 ABBC 1 40656 2 BC所以32.8BC 厘米 【答案】32.8 【例【例 30】图中的长方形的长与宽的比为图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试题 【解析】如下图，设半圆的圆心为O，连接OC 从图中可以看出，20OC

43、，20416OB ，根据勾股定理可得12BC 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积， 为： 2 1 20(162) 12200384244 2 【答案】244 【例【例 31】如图，求阴影部分的面积如图，求阴影部分的面积( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】如图， 图中阴影部分为月牙儿状， 月牙儿形状与扇形和弓形都不相同， 目前我们还不能直接求出它 们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙 儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就 找到了解决问题的方法了 阴影部

44、分面积 1 2 小圆面积 1 2 中圆面积三角形面积 1 2 大圆面积 222 1111 3 434 5 2222 6 【答案】6 【例【例 32】如图如图，直角三角形的三条边长度为直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？图中阴影部分的面积为多少？ 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】SSS 阴影直角三角形半圆， 设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为： 610 8 22 rr r 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为 1 6 824 2 ， 所以824r ，3r 所以 1 249=244.5 2 S 阴影

45、 【答案】244.5 【例【例 33】大圆半径为大圆半径为R，小圆半径为小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形两个同心圆构成一个环形以圆心以圆心O为顶点为顶点，半径半径R为边长作一个为边长作一个 正方形：正方形：再以再以O为顶点，以为顶点，以r为边长作一个小正方形为边长作一个小正方形图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环平方厘米，求环 形面积形面积( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华校第一学期，期中测试，第 6 题 【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能题中已知阴 影部分的面

46、积，也就是 22 50Rr平方厘米，那么环形的面积为： 2222 ()50=157RrRr(平方厘米) 【答案】157 【巩固】图中阴影部分的面积是【巩固】图中阴影部分的面积是 2 25cm，求圆环的面积，求圆环的面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有 22 25 22 Rr ，即 22 50Rr 则圆环面积为： 22222 ()50157(cm )RrRr 【答案】157 【例【例 34】已知图中正方形的面积是已知图中正方形的面积是 20 平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是( (取取3.14)

47、) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【关键词】101 中学，考题 【解析】设图中大圆的半径为r， 正方形的边长为a， 则小圆的直径等于正方形的边长， 所以小圆的半径为 2 a ， 大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即 222 (2 ) raa，得 2 2 2 a r 所以，大圆的面积与正方形的面积之比为： 22 :2ra ，所以大圆面积为：20210；小圆 的面积与正方形的面积之比为： 22 ( ) :4 2 a a ，所以小圆的面积为：2045；两个圆的面 积之和为：1051515 3.1447.1(平方厘米) 【答案】47.1 【巩固】图中小圆的面积是【巩固】图中小圆的面积是

48、 30 平方厘米，则大圆的面积是平方厘米，则大圆的面积是平方厘米平方厘米( (取取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】设图中大圆的半径为r， 正方形的边长为a， 则小圆的直径等于正方形的边长， 所以小圆的半径为 2 a ， 大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即 222 (2 ) raa，得 2 2 2 a r 所以，大圆的面积与小圆的面积之比为： 222 222 :( ):2:1 2424 aaaa rr， 即大圆的面积是小圆面积的 2 倍，大圆的面积为30260(平方厘米) 【答案】60 【巩固】【巩固】( (2008 年四中考题年四中考题) )图中大正方形

49、边长为图中大正方形边长为a，小正方形的面积是，小正方形的面积是 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】设图中小正方形的边长为b，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a，而从图中可 以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以 2222 2abbb，故 22 1 2 ba，即小正方形的面 积为 2 1 2 a 【答案】 2 1 2 a 【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示已知最小圆的半径为【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示已知最小圆的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少，请问阴影部分的面积为多少 平方厘米？平方厘米？( (取取 22 7 ) ) 【考点

50、】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛 【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算 内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是 2 12222 内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部 分面积是 22 (22 )42224 中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为 22 228， 外部正方形的对角线的平方即为外圆的 直径的平方，即为8216，所以外圈阴影部分的面积是 164848 所以阴影部分的面积是 22 7147148 7 (平方厘米) 【答案】8 【例【例 35】图中大正方形边长为图中