2021年全国甲卷文科数学高考真题(Word档含答案）.docx

1、绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国甲卷) 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 M=1,3,5,7,9. N=x|2x 7，则 MN= A.7,9 B.5,7,9) C.3,5,7,9

2、 D.1,3,5,7,9 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭 年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图: 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 A.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B.该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3已知(1-i)2z =3+2i，则 z = A. -1- 2 3 i B. -1+ 2 3 i C. - 2 3 +i D. - 2 3

3、 -i 4下列函数中是增函数的为 A.f(x)= -x B.f(x)= x 3 2 C.f(x)=x2 D.f(x)= 3 ? 5点(3,0)到双曲线 916 22 yx =1 的一条渐近线的距离为 A. 5 9 B. 5 8 C. 5 6 D. 5 4 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分 记录法和小数记录法记录视力数据， 五分记录法的数据L和小数记录法的数据V 满足 ? t h + lg?。 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9， 则其视力的小数 记录法的数据约为 ?t ?t ? ?thh? A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6 7.在

4、一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G，该正方体截去三棱 锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是 A. B. C. D. 8.在ABC中，已知 ? t ?ht, ? t?, ? t h, 则 ? t A. 1B.hC.hD. 3 9.记?为等比数列 ?的前n项和。若?ht , ?t t，则?tt A. 7B. 8C. 9D. 10 10.将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8 11、若(0, h),tanh= cos h-sin,则tan= A. ?h ?

5、h B. h h C. h 3 D. ?h 3 12.设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1+x)=f(-x).若 f(- ? 3)= ? 3,则 f( h 3)= A.- h 3 B.- ? 3 C. ? 3 D. h 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若向量 a,b 满足 a =3, a-b =5,ab=1,则 b =_. 14.已知一个圆锥的底面半径为 6， 其体积为 30， 则该圆锥的侧面积为_. 15.已知函数 f(x)=2cos x+ 的部分图像如图所示，则 f( h)=_. 16.已知?,?h为椭圆 C: ?h ?t + ?h t

6、? 的两个焦点， P， Q 为 C 上关于坐标原点 对称的两点，且 PQ = ?h，则四边形 P?Q?h的面积为_. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生 根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 甲、乙两台机床生产同种产品产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两 台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品产品的质量情况统计 如下表: 一级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 (1)甲机床、乙机床生

7、产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)能否有 99%的把握为机品质量与乙机床的产品质量有差异? 附:Kht n(adbc)h (a +b)(c +d)(a+c)(b+d), P(Kh k)tttht 0.0100.001 ?3t8?ttt3h?tt8h8 18.(12 分) 记?,为数列 ?的前 n 项和，已知?,0，?3t 3?,，且数列 ?是等差数 列，证明: ?是等差数列. 19.(12 分) 已知直三棱柱ABC-?中,侧面,A?B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为 AC 和 C?的中点，BF?， (1)求三棱锥 F-EBC 的体积: (2)已知 D 为棱?上的点，证明: BFD

8、E. 20.（12 分） 设函数f(x)=?h?h+ ? 3?+ ?，其中 a0。 （1）讨论f(x)的单调性； （2）若 y=f(x)的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围。 21.（12 分） 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在 x 轴上，直线l:x=1 交C于P，Q两点， 且OPOQ，已知点 M(2,0)，且M 与 l 相切。 （1）求C，M 的方程； （2）设A1，A2，A3是 C 上的三个点，直线A1A2，A2A3均与M相切，判断 直线A2A3与M的位置关系，并说明理由。 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按 所做的第一题计分。 2

9、2.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线C的极坐标方程为=h hcos?。 （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足? ? ?= h? ?，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点。 23. 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。 （1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像； （2）若f(x+a)g(x)，求 a 的取值范围。 2021 年普通高等学校招生全国统一考

10、试 文科数学甲卷（参考答案） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 1-5BCBDA 6-10 CADAC 11-12 AB 13.3 14.51 15.- 16.8 17. 解： （1）甲机床生产一级品 150 件，合计 200 件，故甲机床生产一级品的概率为 乙机床生产一级品 120 件，合计 200 件，故乙机床生产一级品的概率为 （

11、2）由题意， 有 99%的把握认为军机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。 18. 解： 由是等差数列， 得 即的公差为 当 当时， 是等差数列 19. (1) 直三棱柱 ABC-A1B1C1,A1B1/AB,CC1面 ABC. BFA1B1,BFAB. 正方形 AA1B1B,ABBB1，AB=BB1=2. BFBB1=B,AB面 BB1C1C,ABBC. 在 RtABC 中，E 为 AC 中点，AB=BC=2, = ABBC=1. F 是 CC1 中点，CF= CC1= BB1=1 =CF= 11= . (2)连 A1E,B1E,A1F，则 A1E=,A1F=3, EF= AC1= A1E

12、2+EF2=A1F2,A1EEF. 由(1)在 RtABC 中,E 是 AC 中点，BEAC. 面 AA1C1C面 ABC,面 AA1C1C面 ABC=AC,BE面 AA1C1C BEA1E EFBE=E,A1E面 BEF,A1EBF BFA1B1，A1B1A1E=A1,BF面 A1EB1 DE面 A1EB1，BFDE. 20 解: f(x)=a2x2+ax-3lnx+1 (1)=2a2x+a-(x0) 令0,则 x , 令0，则 0 x f(x)的增区间为( ,+),减区间为(0,) (2)由(1)知 f(x)在(0,+)上的极小值为 f( ),也是最小值. f(x)与 x 轴没有公共点，当

13、且仅当 f( )0. a2( )2+a -3ln +10 a 21. 解： 22.解: （1） x2+y2=2x 即(x-)2 +y2=2 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-)2 +y2=2 23. 解： （1） f(x)=|x-2|= g(x)= 如下图： （2） 法 1：当时，f(x)在 2-a 处取得最小值为 0，且 2-a ，g(2-a)=4 则 f(x+a)0 a0 时，由（1）知在（2-a，+）上 f(x) 只需 f4 即可 a 的取值范围为，+） 法二： 由（1）得 2-aa f(x)在，+） fa 证明：当 a时f 当 当时又aa+x0f f 当 x 时g(x)=4f f 综上 a时 f恒成立 a 的取值范围为，+）