（腾讯企鹅辅导-高考）四心与向量.docx

1、三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的 向量形式 一知识点总结 1）O 是 ABC 的重心 0OCOBOA ; 若 O 是 ABC 的重心，则 ABCAOBAOCBOC S 3 1 SSS 故 0OCOBOA ; 1( ) 3 PGPAPBPC G为ABC的重心. 2）O 是 ABC 的垂心 OAOCOCOBOBOA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心， 则 CtanBtanAtanSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCCtanOBBtanOAAtan 3）O 是 ABC 的外心 |OC|OB|OA| (或 222 OCOBOA )

2、若 O 是 ABC 的外心 则 C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4）O 是内心 ABC 的充要条件是 0) |CB| CB |CA| CA (OC) |BC| BC |BA| BA (OB) AC AC |AB| AB (OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 CA,BC,AB 的 单位向量为 321 e ,e ,e ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以 写成 0)ee(OC)ee(OB)ee(OA 322131 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 0OCc

3、OBbOAa 若 O 是 ABC 的内心，则 cbaSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa 或或 ; |0AB PCBC PACA PBP ABC的内心; 向量()(0) | ACAB ABAC 所在直线过ABC的内心(是BAC 的角平分线所在直线)； 二范例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三 个点，动点 P 满足)( AC AC AB AB OAOP，, 0则 P 点的轨 迹一定通过ABC的（） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析： 因为 AB AB 是向量AB

4、 的单位向量设AB 与AC 方向上的 A C B 1 e 2 e P 单位向量分别为 21 ee 和，又APOAOP，则原式可化为 )( 21 eeAP，由菱形的基本性质知 AP 平分BAC，那么在 ABC中，AP 平分BAC，则知选 B. 点评： 这道题给人的印象当然是 “新颖、 陌生” ， 首先 AB AB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单 位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的 加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性 质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道 题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

5、例 2H是ABC所在平面内任一点， HAHCHCHBHBHA点H是ABC的垂心. 由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(, 同理ABHC ，BCHA .故H是ABC的垂心. （反之亦然 （证 略） ） 例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若 PAPCPCPBPBPA，则 P 是ABC 的（D） A外心B内心C重心D垂心 解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得. 即0, 0)(CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB,同理 所以 P 为ABC的垂心. 故选 D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直” 、三角形垂心定义等

6、相关知识.将三角形 垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量 所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。 (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4G是ABC所在平面内一点，GCGBGA=0 点G是ABC的重心. 证明作图如右，图中GEGCGB 连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边 形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将GEGCGB代入GCGBGA=0， 得EGGA=0GDGEGA2，故G是ABC的重心.（反之 亦然（证略） ） 例 5P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心 A B C E D O )( 3 1 PCPBPAPG. 证明 C

7、GPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G是ABC的重心 GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3 由此可得)( 3 1 PCPBPAPG.（反之亦然（证略） ） 例 6 若O为ABC内一点，0OAOBOC ，则O是ABC的 （） A内心B外心C垂心D重心 解析：由0OAOBOC 得OBOCOA ，如图以 OB、OC 为相 邻两边构作平行四边形，则OBOCOD ，由平行四边形性质 知 1 2 OEOD ，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质， 所以是重心，选 D。 点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线 互相平分及三角形重心性质：重心是

8、三角形中线的内分点， 所分这比为 2 1 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运 算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相 关知识巧妙结合。 (四)将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若O为ABC内一点，OAOBOC ，则O是ABC的 （） A内心B外心C垂心D重心 解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC的外心 ，选 B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质 等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8已知向量 1 OP， 2 OP， 3 OP满足条件 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0， | 1 OP|=| 2

9、 OP|=| 3 OP|=1， 求证P1P2P3是正三角形.（ 数学第一册（下） ，复 习参考题五B组第 6 题） 证明由已知 1 OP+ 2 OP=- 3 OP，两边平方得 1 OP 2 OP= 2 1 ， 同理 2 OP 3 OP= 3 OP 1 OP= 2 1 ， | 21P P|=| 32P P|=| 13P P|=3，从而P1P2P3是正三角形. 反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0 且| 1 OP|=| 2 OP|=| 3 OP|. 即O是ABC所在平面内一点， 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0 且| 1 OP|=| 2 OP

10、|=| 3 OP|点O是正P1P2P3 的中心. 例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、 重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。 AB(x1,0) C(x2,y2) y x H Q G D E F 【证明】 ：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如 图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B（x1,0） 、C(x2,y2)，D、 E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有： 112222 ,0)(,)(,) 22222 xxxyxy EF D（、 由题设可设 1 324 ,)(,) 2 x QyH xy（、, 122 (,) 33 x

11、xy G 212 243 (,)(,) 222 xxy AHxyQFy ， 212 (,)BCxxy 22124 221 4 2 ()0 () AHBC AHBCxxxy y xxx y y 212 223 2212 3 2 ()()0 222 () 22 QFAC xxy QFACxyy xxxy y y 1212212 243 23() (,),) 22 xxxxxxy QHxyy 2 （ 22y 21122122212 3 212212212212 2() (,),) 32332 23()23()1 (,)(,) 632 1 = 3 xxxyxxyxxxy QGy xxxxxyxxxxx

12、y QH 2 22 （ 62y 66y22y 即=3QHQG ，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 【注】 ：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和 几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向 量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密 地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题 的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。 例 10若O、H分别是ABC的外心和垂心. 求证OCOBOAOH. 证明若ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD. ABAD ，BCCD .又垂心为H，BCAH ，ABCH ， AHCD，CHAD，

13、 四边形AHCD为平行四边形， OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心” 外心、重心、垂心的位置关系： （1） 三角形的外心、 重心、 垂心三点共线 “欧拉线” ； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线 的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。 “欧拉定理” 的向量形式显得特别简单， 可简化成如下的 向量问题. 例 11设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、 垂心. 求证OHOG 3 1 证明按重心定理G是ABC的重心)( 3 1 OCOBOAOG 按垂心定理OCOBOAOH 由此可得OHOG 3 1 .

14、补充练习 1已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足 OP= 3 1 ( 2 1 OA+OB 2 1 +2OC),则点 P 一定为三角形 ABC 的 （ B） A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等 分点（非重心） C.重心D.AB 边的中点 1. B 取 AB 边的中点 M，则OMOBOA2，由OP= 3 1 ( 2 1 OA +OB 2 1 +2OC)可得 3MCOMOP23，MCMP 3 2 ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且点 P 不 过重心，故选 B. 2在同一个平面上有ABC及一点满足关系式： 2 OA 2

15、BC 2 OB 2 CA 2 OC 2 AB ，则为ABC的 （ D ） 外心内心C重心D垂心 2已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： 0PAPBPC ，则 P 为ABC的 （ C ） 外心内心C重心D垂心 3已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三 个点，动点 P 满足： )(ACABOAOP，则 P 的轨迹一定通过ABC 的 （ C ） 外心内心C重心D垂心 4已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满 足： 0PA PCPA PBPB PC ，则 P 点为三角形的 （ D） 外心内心C重心D垂心 5 已知ABC， P 为三角形所在平

16、面上的一点， 且点 P 满足： 0a PAb PBc PC ，则 P 点为三角形的 （ B） 外心内心C重心D垂心 6在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CPABCBCA2 22 ，则 P 点轨迹一定通过ABC 的： （B） 外心内心C重心D垂心 7.已知非零向量与满足(+)=0 且=1 2 , 则ABC 为() A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非 等边三角形D.等边三角形 解析：非零向量与满足( | ABAC ABAC )=0，即角 A 的平分线垂 直于 BC， AB=AC，又cos A | | ABAC ABAC =1 2 ，A= 3 ，所以 ABC 为等边三角形，选 D

17、8.ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， )(OCOBOAmOH，则实数 m =1 9.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 OAOCOCOBOBOA，则点 O 是ABC的（B ） A B C M N G 图 1 A B C M N G 图 1 （A）三个内角的角平分线的交点（B） 三条边的 垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点（D）三条高的交 点 10. 如图 1，已知点 G 是ABC的重心，过 G 作直 线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且AMxAB ， ANyAC ，则 11 3 xy 。 证 点 G 是ABC的重心，知GAGBGC O， 得()()AGABAGACAG O，有 1 () 3 AGABAC 。 又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上） ， 于是存在, ，使得(1)AGAMAN 且， 有AGxAByAC = 1 () 3 ABAC ， 得 1 1 3 xy ，于是得 11 3 xy