2021福建省福州市重点高中高二下学期开学考试 数学试题（及答案）.pdf

1、三明一中高二数学试卷第 1 页，总 6 页 2020-2021学年高二下开学考 数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 第卷（选择题 共 60 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项符合题目要求。 1一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 2已知 2 ( )3f xx=，则( 1)f = A3 B6 C3 D6 3直线的倾斜角为 A B C D 4设抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，则该抛物线的标准方程是 A 2 4yx= B 2 4yx= C

2、2 4xy= D 2 4xy= 5“直线l和曲线C只有一个交点”是“l与C相切”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6圆 上到直线的距离为 的点共有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3060 120150 22 2220 xyxy+=:20l xy+=1 三明一中高二数学试卷第 2 页，总 6 页 7设点和直线 分别是双曲线 的一个焦点和一条渐近 线，若关于直线 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为 A2 B C D 8如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， (1,2,8) i P i = 是 上 底 面 上 其

3、余 的 八 个 点 ， 则 集 合 ,1 2 38iy yAB AP i=、 、 、中的元素个数是 A1 B2 C4 D8 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。 9下列推断正确的是 A命题“若023 2 =+ xx ，则1=x”的逆否命题为“若1x，则 023 2 + xx ” B命题p：存在 Rx 0 ，使得01 0 2 0 + xx，则p ：任意Rx，都有 01 2 + xx C若p且q为假命题，则 p、q均为假命题 D“1=a”是“直线01=+ y

4、ax与直线01=+ayx平行”的充分不必要条件 10已知是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中错误的是 A若，则 B若，则 C若m，n，则 D若，则 Fl() 22 22 10,0 xy ab ab = Fl 3 52 nm, , ,mm ,/ mn /,/mm/ 三明一中高二数学试卷第 3 页，总 6 页 11已知双曲线C过点()3, 2，且渐近线方程为 3 3 yx= ，则下列结论正确的是 AC的方程为 2 2 1 3 x y= BC的离心率为3 C曲线 2 1 x ye =经过C的一个焦点 D直线310 xy =与C有两个公共点 12已知正方体 1111 ABCDABC D中，E、

5、F、G、H 分别为棱 1 CC、BC、CD、 1 BB的中 点，则下列结论正确的是（ ） A 1 BGBC B平面AEF平面 111 AAD DAD= C 1 AH面 AEF D二面角EAFC的大小为 4 第卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13在空间直角坐标系中，已知点()5,1,Pa与点()5, ,4Qb关于坐标平面xOy对称， 则ab+=_ 14已知函数 ( )yf x= 的图象如图所示，则函数( )yfx = 的图象可能是_. (填上所有你认为正确的序号) 15能说明“若()2 0m n+，则方程 22 1 2 xy mn +=

6、 + 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错 误的一组 ,m n的值是_(只需填一组满足题意的值) 三明一中高二数学试卷第 4 页，总 6 页 16某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心 工艺品（如图所示） 该工 艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分 （球心与正方体的中心重合） 已知其中一个截面圆的周长为6，则该球的半径 为 ；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫 做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截 得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高 是h，那么球冠的表面积计算公式是2SRh=由此可 知，该实心 工艺品的表面积是 注：本小题第一空答对

7、得 2 分，第二空答对得 3 分。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。 17（10分） 已知0m ，p：(2)(6)0 xx+，q：22mxm+ （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若5m =，“p q ”为真命题，“p q ”为假命题，求实数x的取值范围 18（12 分） 已知圆经过，三点 （1）求圆的方程； （2）求轴被圆截得的弦长 M() 2,3A ()1,6B ()6,7C M x M 三明一中高二数学试卷第 5 页，总 6 页 19 （12 分） 如图，在三棱锥中，分别是， 的中点 （1）求证：DE平面； （2）在图

8、中作出点P在底面的正投影，并说明 作法和理由 20(12 分) 已知抛物线C: 2 2xy=，过点() , 1P t 作C的两条切线，切点分别为,A B. （1）若 1 2 t =，求直线AB的方程； （2）若tR，证明直线AB过定点，并求出该定点. PABCPBPC=ABAC=DEBC PB PAC ABC 三明一中高二数学试卷第 6 页，总 6 页 21(12 分) 在三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC=， 1 3AA =，ABAC， 1 BC 平面ABC，E是 1 BC的中点 （1）求证：平面 1 ABC 平面 11 ABB A； （2）求直线AE与平面 11 AACC所成角的正

9、弦值 22(12 分) 已知椭圆，四个点 1 P， 2 P ， 3 P ， 4 P中恰有 3 点在椭圆上. （1）求的方程； （2）设直线:4l xmy=+与相交于A、B两点，求OA OB 的取值范围. () 22 22 :10 xy Mab ab +=() 2,0 () 2, 3 3 3, 2 3 3, 2 M M M 高二数学参考答案第1页 2020-2021学年高二下开学考 数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A D C C A 二、多选题 9. AB 10. ABD 11. AC 12. BC 三、填空题 13. 3 14. 15.答案不唯

10、一，只需满足20mn=+，或者 0,20mn+ 即可 16. 5 ； 94 四、解答题 17解：（1）: 26px ， . 1 分 p是q的充分条件， 2,6是2,2mm+的子集， 0 224 26 m mm m + ， . 4 分 m的取值范围是)4,+ . 5 分 （2）由题意可知，当5m =时， , p q一真一假， . 6 分 p真q假时， 26, 37, x xx 或 x， 高二数学参考答案第2页 p假q真时， 37, 26, x xx 或 得)(3, 26,7x ， . 9 分 所以实数x的取值范围是)(3,26,7 . 10 分 18解：（1）设圆的方程为，其中 22 40EFD

11、 + 因为圆经过， 所以 . 2 分 解得， . 5 分 所以所求圆的方程为 . 6 分 （2）由（1）可得圆的圆心，半径 . 8 分 所以圆心到轴的距离， 所以轴被圆截得的弦长为 . 12 分 19解：（1）证明：因为，分别是，的中点， 所以DEPC . 2 分 因为平面， PC 平面， 所以DE平面 . 4 分 （2）如图，在中，过作于，则点为点在底面的 正投影 . 5 分 M 22 0 xyDxEyF+= M() 2,3A ()1,6B ()6,7C 49230, 1 3660, 3649670, DEF DEF DEF += += += 6D = 6E = 7F = M 22 6670

12、 xyxy+= M()3,3M= 5r M x3 M dy= x M 22 222598rd= DEBCPB DE PAC PAC PAC PADPPOADOOPABC 高二数学参考答案第3页 . 6 分 理由如下：因为，是的中点， 所以， 因为PDADD=，PD 平面PAD，AD 平面PAD， 所以平面 . 8 分 因为平面， 所以BCPO，. 9 分 又，BC 平面ABC，AD 平面ABC，BCADD= 所以平面， . 11 分 故点为点在底面的正投影 . 12 分 20解法一：（1）设切点坐标为 2 0 0 (,) 2 x x，因为 2 2 y x =，y x = ， 所以曲线C在点 2

13、 0 0 (,) 2 x x处的切线方程为 2 0 00 () 2 x yx xx=， . 2 分 又切线过点 1 , 1 2 P ，所以 2 0 00 1 1() 22 x xx =， 即 2 00 20 xx=，解得 0=2 x或 0= 1 x， . 4 分 所以切点分别为(2,2)A， 1 ( 1, ) 2 B ， PBPC=ABAC=DBC PDBCADBC BCPAD PO PAD POAD PO ABC OPABC 高二数学参考答案第4页 所以直线AB的方程为 1 2 2 2(2) 2 1 yx = + ，整理得220 xy+=. . 6 分 （2）由（1）知曲线C在点 2 0 0

14、 (,) 2 x x处的切线方程为 2 0 00 () 2 x yx xx=， 若切线过点(), 1P t ，则有 2 0 00 1() 2 x x tx =， 整理得 2 00 220 xtx=， . 7 分 设切点 2 1 1 ( ,) 2 x A x， 2 2 2 (,) 2 x B x，则 1 x， 2 x为方程 2 220 xtx= 的两根， 所以有 12 2xxt+=， 1 2 2x x = ， . 9 分 又直线AB的方程为 2 22 2 1 1 2 1 1 22 () 2 xx x yxx xx = ， 即 2121 22 xxx x yx + =， . 10 分 所以直线AB

15、：1ytx=+， . 11 分 所以直线AB过定点(0,1). . 12 分 解法二：（1）依题意过点 1 , 1 2 P 与抛物线C相切的直线斜率一定存在， 设其方程为： 1 1() 2 yk x+ =， 高二数学参考答案第5页 由 2 1 1( 2 ) 2 yk x xy + = = ， ， 得 2 22+0 xxkk+= ， . 2 分 由 2 4(2)40kk+=可得2k =或1k = ， . 3 分 代回方程 2 22+0 xxkk+= 可解得2x =或1x = ， . 4 分 故(2,2)A， 1 ( 1, ) 2 B ， 所以直线AB的方程为 1 2 2 2(2) 2 1 yx

16、= + ，整理得220 xy+=. . 6 分 （2）依题意过点(), 1P t 与抛物线C相切的直线斜率一定存在， 设PA： 1 1()yk xt+ =，PB： 2 1()yk xt+ =， 由 1 2 ) 2 1(yk xt yx + = = ，得 2 11 22+20kkxxt+=， 2 11 4(22)40kk t=+=得 2 11 =22kk t+， 方程即为 22 11 20 xk xk+=，解得 1 xk=， . 7 分 即切点A的横坐标为 1 k，故 2 1 1 ( ,) 2 k A k， 同理可得 2 2 2 (,) 2 k B k， . 8 分 高二数学参考答案第6页 故直

17、线AB的方程为 2 22 2 1 1 2 1 1 22 () 2 kk k yxk kk = ，即 2121 22 kkk k yx + =，9 分 因为 2 11 =22kk t+，同理 22 2=2+2 kk t， 即 12 ,k k满足方程 2 220 xtx= ，由韦达定理得： 12 1 2 2 2 kkt k k += = ， . 10 分 所以直线AB：1ytx=+， . 11 分 所以直线AB过定点(0,1). . 12 分 21解：（1）由 1 BC 平面ABC，AB平面ABC，得 1 ABBC， . 1 分 又ABAC， 1 CBACC=，故AB 平面 1 ABC， . 3

18、分 因为AB平面 11 ABB A，故平面 11 ABB A 平面 1 ABC. . 4 分 （2）以C为原点，CA为x轴， 1 CB为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C，()1,0,0A，()1,1,0B， . 5 分 又 2BC = ， 11 3BBAA=， 故 1 1CB =， () 1 0,0,1B， 1 0,0, 2 E ， . 6 分 所以 1 1,0, 2 AE = ，() 11 1, 1,1AABB= ， ()1,0,0CA =， . 8 分 高二数学参考答案第7页 设平面 11 AACC的一个法向量为 (), ,nx y z= ，则 1 0 0 n CA

19、n AA = = ，即 0 0 x xyz = += ，令1y =，则1z =， 所以()0,1,1n =， . 10 分 设直线AE与平面 11 AACC所成的角为， 则 1 10 2 sin 101 21 4 n AE n AE = + ， 即直线AE与平面 11 AACC所成角的正弦值为 10 10 . . 12 分 22解：（1）因为与关于轴对称， 由题意知在上， . 1 分 当在上时， . 2 分 ， . 3 分 当在上时， 与矛盾， . 5 分 3 3, 2 3 3, 2 x 3 3, 2 M ()2,0C2a = 2 33 1 44b += 2 3b = () 2, 3 M 22

20、 23 1 ab += 22 33 1 4ab += 22 49ba=ab 高二数学参考答案第8页 故椭圆的方程为. 6 分 （2）由 22 4 1 43 xmy xy =+ += ， ， 得： 22 (34)24360mymy+=，. 7 分 222 0(24 )4 36(34)04mmm +由， . 8 分 设 11) ( ,A x y， 22) (,B xy，则 1212 22 2436 , 3434 m yyy y mm += = + ， 21212211 44OA OBx xy ymymyy y=+=+（） ()() 2 1212 =1416my ym yy+ 222 22 36+369616 34 3434 mmm mm + =+ + （） 2 2 12100 = 34 m m + + . 10 分 2 116 4 34m = + + ， . 11 分 2 4m 2 3416m + ， 13 4, 4 OA OB ， OA C的取值范围是 13 4, 4 . 12 分 M 22 1 43 xy +=