第四章 高考专题突破二　高考中的解三角形问题.docx

1、高考专题突破二高考专题突破二高考中的解三角形问题高考中的解三角形问题 题型一 利用正、余弦定理解三角形 例 1 (10 分)(2020新高考全国)在ac 3， csin A3， c 3b 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin A 3sin B，C 6，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 规范解答 解方案一：选条件. 由 C 6和余弦定理得 a2b2c2 2ab 3 2 .2 分 由 sin A 3sin B 及正弦定理得

2、a 3b. 于是3b 2b2c2 2 3b2 3 2 ，6 分 由此可得 bc.7 分 由ac 3，解得 a 3，bc1.9 分 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时 c1.10 分 方案二：选条件. 由 C 6和余弦定理得 a2b2c2 2ab 3 2 .2 分 由 sin A 3sin B 及正弦定理得 a 3b. 于是3b 2b2c2 2 3b2 3 2 ，6 分 由此可得 bc，BC 6，A 2 3 .7 分 由csin A3，得 cb2 3，a6.9 分 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时 c2 3.10 分 方案三：选条件. 由 C 6和余弦定理得 a2b2c2 2ab 3

3、2 .2 分 由 sin A 3sin B 及正弦定理得 a 3b. 于是3b 2b2c2 2 3b2 3 2 ，6 分 由此可得 bc.7 分 由于c 3b，与 bc 矛盾9 分 因此，选条件时问题中的三角形不存在10 分 第一步：根据 C 6及余弦定理得出 a，b，c 的关系； 第二步：根据条件 sin A 3sin B 得出 a，b 的关系，从而得出 b，c 的关系； 第三步：结合自然条件即可求出各边长； 第四步：下结论，判断三角形解的情况 高考改编题 在cos 2B 3sin B20；2bcos C2ac；b a cos B1 3sin A 三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，并加

4、以解答 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若_，且 a，b，c 成等差数列， 则ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解选条件. 因为 cos 2B12sin2B， 所以 2sin2B 3sin B30， 即(2sin B 3)(sin B 3)0， 解得 sin B 3(舍去)或 sin B 3 2 . 因为 0B，所以 B 3或 2 3 . 又因为 a，b，c 成等差数列， 所以 2bac，所以 b 不是三角形中最大的边， 即 B 3. 由 b2a2c22accos B， 得 a2c22ac0，

5、 即 ac，从而 abc， 故ABC 是等边三角形 选条件. 由正弦定理可得 2sin Bcos C2sin Asin C， 故 2sin Bcos C2sin(BC)sin C， 整理得 2cos Bsin Csin C0. 因为 0C0，即 cos B1 2. 因为 0B，所以 B 3. 又因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac. 由余弦定理 b2a2c22accos B， 可得 a2c22ac0，即 ac. 故ABC 是等边三角形 选条件. 由正弦定理得sin B sin A cos B1 3sin A . 因为 sin A0，所以3sin Bcos B1， 即 sin B 6 1

6、 2. 因为 0B，所以 6B 6 5 6 ， 即 B 6 6，可得 B 3. 又因为 a，b，c 成等差数列， 所以 2bac， 由余弦定理 b2a2c22accos B， 可得 a2c22ac0，即 ac. 故ABC 是等边三角形 跟踪训练 1 (2019全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin Bsin C)2 sin2Asin Bsin C. (1)求 A； (2)若2ab2c，求 sin C. 解(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C， 故由正弦定理得 b2c2a2bc， 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2

7、， 因为 0A180，所以 A60. (2)由(1)知 B120C， 由题设及正弦定理得2sin Asin(120C)2sin C， 即 6 2 3 2 cos C1 2sin C2sinC， 可得 cos(C60) 2 2 . 由于 0C0，所以 x 31， 所以 cosBDCcosABD 31. 思维升华 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形， 然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理求解 (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 跟踪训练 2 (2021河南、河北重点中学联考)如图，在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别 为 a

8、，b，c，已知 c4，b2,2ccos Cb，D，E 均为线段 BC 上的点，且 BDCD，BAE CAE. (1)求线段 AD 的长； (2)求ADE 的面积 解(1)因为 c4，b2,2ccos Cb， 所以 cos C b 2c 1 4. 由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab a 2416 4a 1 4， 所以 a4，即 BC4. 在ACD 中，CD2，AC2， 所以 AD2AC2CD22ACCDcos C6， 所以 AD 6. (2)因为 AE 是BAC 的平分线， 所以S ABE SACE 1 2ABAEsin BAE 1 2ACAEsin CAE AB AC2， 又S A

9、BE SACE BE EC，所以 BE EC2， 所以 CE1 3BC 4 3，DEDCEC2 4 3 2 3. 又因为 cos C1 4，所以 sin C 1cos 2C 15 4 . 所以 SADESACDSACE 1 2ACCDsin C 1 2ACECsin C 1 2AC(CDEC)sin C 1 2DEACsin C 15 6 .即ADE 的面积为 15 6 . 题型三 解三角形中的最值与范围问题 例 3 (2020湖北七市联考)在锐角三角形 ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且cos A a cos B b 2 3sin C 3a . (1)求角

10、 B 的大小； (2)若 b2 3，求 ac 的取值范围 解(1)由已知条件，得 bcos Aacos B2 3 3 bsin C. 由正弦定理，得 sin Bcos Acos Bsin A2 3 3 sin Bsin C， 即 sin(AB)2 3 3 sin Bsin C. 又在ABC 中，sin(AB)sin C0， 所以 sin B 3 2 .因为 B 是锐角，所以 B 3. (2)由正弦定理，得 a sin A c sin C b sin B 2 3 3 2 4， 则 a4sin A，c4sin C. 所以 ac4sin A4sin C4sin A4sin 2 3 A 6sin A2

11、 3cos A4 3sin A 6 . 由 0A 2，0 2 3 A 2，得 6A 2， 所以 3A 6 2 3 ，所以 3 2 sin A 6 1， 所以 6ac4 3.故 ac 的取值范围为(6,4 3 思维升华 本题涉及求边的取值范围，一般思路是 (1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值 (2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不等式求出范围或最值 跟踪训练 3 给出两个条件：2c 3b2acos B；(2b 3c)cos A 3acos C，从中选出一 个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题(选出一种可行的条件解答，若两个都 选，则按第一个解答计分) 在

12、ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边 (1)求 A； (2)若 a 31，求ABC 面积的最大值 解(1)选2c 3b2acos B， 由正弦定理可得，2sin C 3sin B2sin Acos B， 即 2sin(AB) 3sin B2sin Acos B， 2cos Asin B 3sin B， B(0，)，sin B0， 2cos A 3， 即 cos A 3 2 ， 又 A(0，)，A 6. 选(2b 3c)cos A 3acos C， 由正弦定理可得，(2sin B 3sin C)cos A 3sin Acos C， 2sin Bcos A 3sin(AC) 3

13、sin B， B(0，)，sin B0，cos A 3 2 ， 又 A(0，)，A 6. (2)由余弦定理得，a2b2c22bccos Ab2c2 3bc， 又 b2c22bc，当且仅当“bc”时取“”， a2(2 3)bc，即( 31)2(2 3)bc，bc2， SABC1 2bcsin A 1 4bc 1 2， ABC 的面积的最大值为1 2. 课时精练课时精练 1(2021兰州模拟)已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asin Bbcos A 0. (1)求角 A 的大小； (2)若 a2 5，b2，求边 c 的长 解(1)因为 asin Bbcos A0，

14、所以 sin Asin Bsin Bcos A0， 即 sin B(sin Acos A)0， 由于 B 为三角形的内角， 所以 sin Acos A0， 所以2sin A 4 0， 而 A 为三角形的内角，所以 A3 4 . (2)在ABC 中，a2c2b22cbcos A， 即 20c244c 2 2 ， 解得 c4 2(舍去)或 c2 2. 2(2020全国)在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C. (1)求 A； (2)若 BC3，求ABC 周长的最大值 解(1)由正弦定理和已知条件得 BC2AC2AB2ACAB. 由余弦定理得 BC2AC2AB22ACABc

15、os A 由得 cos A1 2. 因为 0A，所以 A2 3 . (2)由正弦定理及(1)得 AC sin B AB sin C BC sin A2 3， 从而 AC2 3sin B， AB2 3sin(AB)3cos B 3sin B. 故 BCACAB3 3sin B3cos B 32 3sin B 3 . 又 0B 3， 所以当 B 6时，ABC 的周长取得最大值，为 32 3. 3在b a cos B1 3sin A ；2bsin Aatan B；(ac)sin Acsin(AB)bsin B 这三个条件中任 选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 已知ABC 的内角 A，B，C 所

16、对的边分别是 a，b，c，若_ (1)求角 B； (2)若 ac4，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积 解(1)选，由正弦定理得sin B sin A cos B1 3sin A ， sin A0， 3sin Bcos B1， 即 sin B 6 1 2， 0B， 6B 6 5 6 ， B 6 6，B 3. 选，2bsin Aatan B,2bsin Aasin B cos B ， 由正弦定理可得，2sin Bsin Asin Asin B cos B， sin A0，且 sin B0， cos B1 2， B(0，)，B 3. 选，sin(AB)sin(C)sin C， 由已知

17、结合正弦定理可得，(ac)ac2b2， a2c2b2ac，cos Ba 2c2b2 2ac ac 2ac 1 2， B(0，)，B 3. (2)b2a2c22accos B(ac)23ac163ac，即 3ac16b2， 16b23 ac 2 2，解得 b2，当且仅当 ac2 时取等号， bmin2，ABC 周长的最小值为 6，此时ABC 的面积 S1 2acsin B 3. 4.(2020潍坊模拟)如图，在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bcosBAC asin B0. (1)求BAC； (2)若 ABAD，AC2 2，CD 5，求 AD 的长 解(1)在ABC

18、中， 由正弦定理得 sin BcosBACsinBACsin B0， sin B0，tanBAC1， BAC(0，)，BAC 4. (2)ABAD，且BAC 4， CAD 4， 在ACD 中，AC2 2，CD 5，CAD 4. 由余弦定理得 CD2AC2AD22ACADcosCAD， 即 58AD222 2AD 2 2 ， 解得 AD1 或 AD3. AD 的长为 1 或 3. 5.如图，在ABC 中，已知 B 3，AC4 3，D 为 BC 边上一点 (1)若 AD2，SDAC2 3，求 DC 的长； (2)若 ABAD，试求ADC 的周长的最大值 解(1)SDAC2 3，AC4 3，AD2，

19、 1 2ADACsin DAC2 3， sin DAC1 2， B 3，DACBAC 3 2 3 ， DAC 6， 在ADC 中，由余弦定理得， DC2AD2AC22ADACcos 6， DC2448224 3 3 2 28， DC2 7. (2)ABAD，B 3， ABD 为正三角形， DAC 3C，ADC 2 3 ， 在ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C 4 3 sin 2 3 DC sin 3C ， AD8sin C，DC8sin 3C， ADC 的周长为 ADDCAC8sin C8sin 3C4 3 8 sin C 3 2 cos C1 2sin C4 3 8 1 2sin C 3 2 cos C 4 3 8sin C 3 4 3， ADC2 3 ，0C 3， 3C 3 2 3 ， 当 C 3 2，即 C 6时，sin C 3 的最大值为 1， 则ADC 的周长的最大值为 84 3.