第一章 §1.2　充分条件与必要条件.docx

1、1.2充分条件与必要条件充分条件与必要条件 考试要求理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 充分条件、必要条件与充要条件的概念 一般地，如果 pq，那么称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件pq，且 qp p 是 q 的必要不充分条件pq，且 qp p 是 q 的充要条件pq p 是 q 的既不充分又不必要条件pq，且 qp 微思考 若条件 p，q 以集合的形式出现，即 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则由 AB 可得，p 是 q 的充 分条件，请写出集合 A，B 的其他关系对应的条件 p，q 的关系 提示若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；

2、若 AB，则 p 是 q 的必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件； 若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件() (2)已知集合 A，B，则 ABAB 的充要条件是 AB.() (3)q 不是 p 的必要条件时，“pq”成立() (4)若 pq，则 p 是 q 的充分不必要条件() 题组二教材改编 2“x30”是“(x3)(x4)0”的_条件(选填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分

3、又不必要”) 答案充分不必要 3 “sin sin ”是“”的_条件 (选填“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分又不必要”) 答案必要不充分 4函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是_ 答案m2 题组三易错自纠 5设 x0，yR，则“xy”是“x|y|”的() A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分又不必要条件 答案C 解析由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出 xy，所以“xy”是“x|y|”的必要不充分条件 6已知 p：xa 是 q：2x3 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，2 解析由已知，可得x|2xa，a

4、2. 题型一 充分、必要条件的判定 例 1 (1)已知 p： 1 2 x1，q：log2x0，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案B 解析由 1 2 x0，所以 p 对应的 x 的范围为(0，)，由 log2x0 知 0 x2，b2”是“ab4，ab4”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案A 解析若 a2，b2，则 ab4，ab4. 当 a1，b5 时，满足 ab4，ab4，但不满足 a2，b2，所以 ab4，ab4a2，b2， 故“a2，b2”是“ab4，ab4”的充分不必要条件 思

5、维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断，适用于定义、定理判断性问题 (2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围 的推断问题 跟踪训练 1 (1)已知 a，b，c，d 是实数，则“adbc”是“a，b，c，d 成等比数列”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案B 解析当 abcd0 时，adbc，但 a，b，c，d 不成等比数列， 当 a，b，c，d 成等比数列时，adbc，则“adbc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要 不充分条件 (2)设R，则“3”是

6、“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案A 解析若直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行， 则 2(1)6(1)0， 解得1 或3， 经检验1 或3 时两直线平行，故选 A. 题型二 充分、必要条件的应用 例 2 已知集合 Ax|x28x200，非空集合 Bx|1mx1m若 xA 是 xB 的 必要条件，求 m 的取值范围 解由 x28x200，得2x10， Ax|2x10 由 xA 是 xB 的必要条件，知 BA. 则 1m1m， 1m2，0m3. 1m10， 当 0m3 时，xA 是

7、xB 的必要条件， 即所求 m 的取值范围是0,3 若将本例中条件改为“若 xA 是 xB 的必要不充分条件”， 求 m 的取值范围 解由 xA 是 xB 的必要不充分条件，知 BA， 1m1m， 1m2， 1m2， 1m10， 解得 0m3 或 0m3，0m3， 故 m 的取值范围是0,3 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)要注意区间端点值的检验 跟踪训练 2 (1)使2 x1 成立的一个充分不必要条件是( ) A1x3B0

8、 x2 Cx2D0 x2 答案B 解析由2 x1 得 0 x2， 依题意由选项组成的集合是(0,2的真子集，故选 B. (2)若关于 x 的不等式|x1|a 成立的充分不必要条件是 0 x4，则实数 a 的取值范围是 _ 答案3，) 解析|x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a 成立的充分不必要条件是 0 x4 或 1a4 Ca1Da1 答案B 解析要使“对任意 x1,2)，x2a0”为真命题，只需要 a4，所以 a4 是命题为真的 充分不必要条件 (2)(2021武汉质检)关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是 _ 答案ac0， c a0. 即 ac0.

9、课时精练课时精练 1“log2(2x3)8”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案A 解析由 log2(2x3)102x323 2x82x3x3 2，所以“log 2(2x3)8”的充分不必要条件，故选 A. 2设 a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的() A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 答案A 解析由(ab)a20 可知 a20，则一定有 ab0，即 ab；但是 ab 即 ab0 时，有可能 a0，所以(ab)a20 不一定成立，故“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件，故选 A. 3“|x1|

10、2”是“x3”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案A 解析由|x1|2，可得1x3， x|1x3x|x3， “|x1|2”是“x3”的充分不必要条件 4“x0”是“ln(x1)0”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案B 解析由 ln(x1)00 x11， 即1x0， 故“x0”是“ln(x1)1”是“不等式 2xax 成立”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是() Aa3Ba4Daax， 即 2xxa.设 f(x)2xx， 则函数 f(x)为增函数 由题意知“2xxa 成立， 即 f(x)a

11、成立”能得到“x1”，反之不成立因为当 x1 时，f(x)3，a3. 6已知 p：xk，q：(x1)(2x)0，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围 是() A2，)B(2，) C1，)D(，1 答案B 解析由 q：(x1)(2x)0，得 x2，又 p 是 q 的充分不必要条件，所以 k2，即 实数 k 的取值范围是(2，)，故选 B. 7(多选)若 x2x20 是2xa 的充分不必要条件，则实数 a 的值可以是() A1B2C3D4 答案BCD 解析由 x2x20，解得1x2. x2x20 是2x 1 b”是“ab0”是“anbn(nN，n2)”的充要条件 答案BC 解

12、析A 项，acbc 不能推出 ab，比如 a1，b2，c0，而 ab 可以推出 acbc，所 以“acbc”是“ab”的必要不充分条件，故错误； B 项，1 a 1 b不能推出 a 1 3，但是 23；a 1 b，比如23， 1 2 1 b”是“abn(nN，n2)不能推出 ab0，比如 a1，b0,1n0n(nN，n2)满足，但是 ab0 不满足，所以必要性不满足，故错误 9 已知命题 p： 1 a 1 4， 命题 q： xR， ax 2ax10， 则 p 成立是 q 成立的_条件 (选 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案充分不必要 解析命题 p 等价于 0a

13、0 等价于 a0， 10 或 a0， a24a0， 则 0a0，b0，则“ab”是“aln abln b”成立的_条件(填 “充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分又不必要”) 答案充要 解析设 f(x)xln x，显然 f(x)在(0，)上单调递增，ab，f(a)f(b)， aln abln b，充分性成立； aln abln b， f(a)f(b)，ab，必要性成立， 故“ab”是“aln abln b”成立的充要条件 13(2021深圳模拟)对于任意实数 x， x表示不小于 x 的最小整数，例如1.12， 1.11，那么“|xy|1”是“xy”的() A充分不必要条件B必要不充分条

14、件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案B 解析令 x1.8，y0.9，满足|xy|1，但1.82， 0.91， xy ，可知充分 性不成立当xy时，设xxm， yyn，m，n0,1)，则|xy|n m|1，可知必要性成立所以“|xy|1”是“xy”的必要不充分条件故选 B. 14已知 p：实数 m 满足 3am0)，q：方程 x2 m1 y2 2m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 若 p 是 q 的充分条件，则 a 的取值范围是_ 答案 1 3， 3 8 解析由 2mm10，得 1m3 2，即 q：1m0，x，yR，p：|x|y| 2 1，q：x2y2r2，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实 数 r 的取值范围是_ 答案 0，2 5 5 解析画出|x|y| 2 1 表示的平面区域(图略)，由图可得 p 对应的平面区域是一个菱形及其内部， 当 x0，y0 时， 可得菱形的一边所在的直线的方程为 xy 21，即 2xy20.由 p 是 q 的必要不充分条件， 可得圆 x2y2r2的圆心(0,0)到直线 2xy20 的距离 d 2 221 2 5 5 r，又 r0，所以 实数 r 的取值范围是 0，2 5 5.