1、空间向量的基本定理 1我们把具有 和 的量叫做空间向量 2什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3空间向量加法满足 、 4你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？ 大小方向 交换律结合律 1共线向量与共面向量 共线(平行)向量共面向量 定 义 表示空间向量的有向线段所在 的直线 ，则 这些向量叫做 或 平行向量 平行于 的向量叫做共面向量 充 要 条 件 互相平行或重合 共线向量 同一平面 共线(平行)向量共面向量 推 论 如图，空间一点P位于平面MAB内的充 要条件是存在有序实数对(x，y)， 使 或对空间任意一
2、点O来说，有 方向向量 来表示呢？量用任意三个不共面的向 一个空间向量能否定理），类似地，任意来表示（平面向量基本 都可以用不共线的向量意一个向量我们知道，平面内的任 cba cbaP , , 给出证明。使得 （存在唯一的有序实数组间向量，那么对于任意一个空有公共起点 有向线段的向量，且表示它们的是空间中三个两两垂直如图所示，设 ?, ), , zkyjxip zyxPO kji 的分向量。在分别为向量我们称 ），使得唯一的有序实数组（ 存在空间向量向量，那么对任意一个是空间三个两两垂直的因此，如果 从而 ，使得 存在唯一的有序实数对面向量基本定理可知，所确定的平面上，由平而在 而，使得实数共
3、线，因此存在唯一的，又向量 向量，则所确定的平面上的投影在为，解：设 kjipzkyjxi zkyjxipzyx Pkji zkyjxizkOQOP yjxiOQyx ji zkOQOPzkQPzkQP QPOQPOjiOPOQOPP , , , ),( , , , ？你能得到类似的结论吗 代替向量三个不共面的向量在空间中，如果用任意,kjicba 不共面 ._ ,_ 1 间向量进行垂直的向量，叫作把空 为三个两两表示，把空间向量分解常用这个基底叫 ，两垂直，且长度都为个基底中三个基向量两特别地，如果空间的一 cba 单位正交基底 正交分解 自主练习 判断: (1)向量a,b,c共面,即表示这
4、三个向量的有向线段所在的直线 共面.() (2)若向量e1,e2不共线,则空间任意向量a,都有a=e1+e2 (,R) .() (3)若ab,则存在唯一的实数,使a=b.() 【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平 移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=e1+e2,R). 3)错误.当b=0,a0时,不存在实数,使a=b. 答案:(1)(2)(3) 2.对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析解析2ab2
5、a(1)b， 2ab与a，b共面. 典例导航 题型一：空间向量的共线问题 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， 连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为 PAB、BC、PCD、PDA的重心， 应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面 题型二：空间向量的共面问题 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R. E、F、G、H分别是所在三角形的重心， M、N、Q、R为所在边的中点， 顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形， 证明： 题型三：用基底表示向量 例例3 3如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，P是CA的中点， M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41， 用基底a，b，c表示以下向量.
