（教师版）函数的奇偶性、对称性和周期性.docx

1、知识梳理 （一）函数)(xfy 图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(xafxaf)(xfy 的图象关于直线ax 对称。 2、)2()(xafxf)(xfy 的图象关于直线ax 对称。 3、)2()(xafxf)(xfy 的图象关于直线ax 对称。 4、)()(xbfxaf)(xfy 的图象关于直线 22 )()(baxbxa x 对称。 5、bxafxaf2)()()(xfy 的图象关于点),(ba对称。 6、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称。 7、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称。 8、cxbfxaf2)()()(xfy 的图

2、象关于点), 2 (c ba 对称。 （二）函数的周期性 1、)()(xfaxf)(xfy 的周期为 2、()()f xaf xb)(ba )(xfy 的周期为 学学科科数学数学教师姓名教师姓名教材版本教材版本人教版新教材人教版新教材 学生姓名学生姓名所在年级所在年级上课时间上课时间 课题名称课题名称函数的奇偶性、对称性和周期性函数的奇偶性、对称性和周期性 教学目标教学目标 1、函数对称的常用结论函数对称的常用结论 2、函数奇偶性判断函数奇偶性判断 教学重点教学重点 教学难点教学难点 3、)()(xfaxf)(xfy 的周期为 4、 )( 1 )( xf axf)(xfy 的周期为 5、 )(

3、 1 )( xf axf)(xfy 的周期为 6、 1)( 1 )( xf axf)(xfy 的周期为aT3 7、)(xfy 有两条对称轴ax 和bx （)ba )(xfy 周期为)(2abT 8、)(xfy 有两个对称中心)0 ,(a和)0 ,(b)(xfy 周期为)(2abT 9、)(xfy 有一条对称轴ax 和一个对称中心)0 ,(b)(xfy 周期为)(4abT 10、奇函数)(xfy 满足)()(xafxaf)(xfy 周期为aT4 11、偶函数)(xfy 满足)()(xafxaf)(xfy 周期为aT2 典型例题 题型 1函数奇偶性的判定 【例 1-1】（2019全国）下列函数中，

4、为偶函数的是() A 2 (1)yxB2 x y C|sin|yxD(1)(1)ylg xlg x 【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可 【解答】解：A函数关于1x 对称，函数为非奇非偶函数， B函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数， C，() |sin()| |sin| |sin|( )fxxxxf x ， 则函数( )f x是偶函数，满足条件 D由 10 10 x x 得 1 1 x x 得1x ，函数的定义为(1,)，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数， 故选：C 【跟踪训练 1-1】（2020 春龙华区校级月考） 已知函数 21 ( ), ( )2 21 x x f xg

5、xx ， 则下列结论正确的是() A( ) ( )f x g x为奇函数B( ) ( )f x g x为偶函数 C( )( )f xg x为奇函数D( )( )f xg x为非奇非偶函数 【分析】判断可知函数( )f x，( )g x均为奇函数，利用奇函数的性质即可得解 【解答】解： 2112 ()( ) 2112 xx xx fxf x ，故函数( )f x为奇函数，显然函数( )g x也为奇函数， ( ) ( )f x g x为偶函数，( )( )f xg x为奇函数， 故选：BC 题型 2函数奇偶性的应用 【例 2-1】(1)(2019高考全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，

6、f(x)x1，则当 x0 时，x0 时，f(x)f(x)e ax，所以 f(ln 2)ealn 2 1 2 a 8， 所以 a3. (2)因为 f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)x1， 所以当 x0， f(x)f(x)(x1)， 即 x0 时，f(x)(x1)x1. (3)设 F(x)f(x)1x3sin x， 显然 F(x)为奇函数 又 F(a)f(a)11， 所以 F(a)f(a)11， 从而 f(a)0. 【跟踪训练 2-1】 （2019新课标）设( )f x为奇函数，且当0 x时，( )1 x f xe，则当0 x 时，( )(f x ) A1 x eB1 x eC1 x eD1

7、 x e 【分析】设0 x ，则0 x ，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得0 x 时的( )f x 【解答】解：设0 x ，则0 x ， ()1 x fxe， 设( )f x为奇函数，( )1 x f xe， 即( )1 x f xe 故选：D 【跟踪训练 2-2】（2020上海）若函数 1 3 3 x x ya为偶函数，则a 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 () () 11 33 33 xx xx aa ，变形分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 1 3 3 x x ya为偶函数，则()( )fxf x， 即 () () 11 33 33 xx xx aa ， 变形可得：

8、(33 )(33 ) xxxx a ， 必有1a ； 故答案为：1 【跟踪训练 2-3】（2020迎泽区校级模拟）已知( )f x为奇函数，当0 x 时，( )3f xlnxx，则( 1)f 的 值为 【分析】结合已知函数解析式及奇函数的定义代入即可求解 【解答】解：因为( )f x为奇函数，当0 x 时，( )3f xlnxx， 则( 1)ff （1）( 13)3ln 故答案为：3 题型 3函数的周期性 【例 3-1】（2019上海）已知函数( )f x周期为 1，且当01x 时， 2 ( )logf xx，则 3 ( ) 2 f 【分析】由题意知函数( )f x周期为 1，所以化简 3 (

9、 ) 2 f再代入即可 【解答】解：因为函数( )f x周期为 1，所以 31 ( )( ) 22 ff， 因为当01x 时， 2 ( )logf xx，所以 1 ( )1 2 f ， 故答案为：1 【例 3-2】 （2020安阳二模）已知( )yf x是定义在R上的函数，且(4)( )f xf x ，如果当 4x ，0) 时，( )( 2) x f x ，则(266)f 【分析】 推导出(8)(4)( )f xf xf x ， 再由当 4x ，0)时，( )3 x f x ， 得到(266)(33 82)fff （2）( 2)f ，由此能求出结果 【解答】解：( )yf x是定义在R上的函数

10、，且(4)( )f xf x ， (8)(4)( )f xf xf x ， 当 4x ，0)时，( )( 2) x f x ， (266)(33 82)fff （2） 2 ( 2)( 2)2f 故答案为：2 【跟踪训练 3-1】（2020 春红旗区校级月考）已知( )f x是定义在R上周期为 2 的函数，当 1x ，1时， ( ) |f xx，那么当 7x ，5时，( )(f x ) A|3|x B|3|x C|6|x D|6|x 【分析】当 7x ，5时，6 1x ，1再利用周期性即可得出 【解答】解：当 7x ，5时，6 1x ，1 ( )(6) |6|f xf xx， 故选：C 【跟踪训

11、练 3-2】(2019山西八校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x2) 1 f（x），当 2x3 时，f(x)x，则 f 11 2 _ 【分析】先求出函数的周期，再根据周期函数的性质计算即可. 【解答】f(x2) 1 f（x），f(x4)f(x)， f 11 2 f 5 2 ，又 2x3 时，f(x)x， f 5 2 5 2，f 11 2 5 2. 题型 4函数性质的综合应用 【例 4-1】 （2020山东）若定义在R的奇函数( )f x在(,0)单调递减，且f（2）0，则满足(1) 0 xf x 的x的取值范围是() A 1，13 ，)B 3，10 ，1 C 1，01

12、，)D 1，01 ，3 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可 【解答】解：定义在R的奇函数( )f x在(,0)单调递减，且f（2）0，( )f x的大致图象如图： ( )f x在(0,)上单调递减，且( 2)0f ； 故( 1)0f ； 当0 x 时，不等式(1) 0 xf x 成立， 当1x 时，不等式(1) 0 xf x 成立， 当12x 或12x 时，即3x 或1x 时，不等式(1) 0 xf x 成立， 当0 x 时，不等式(1) 0 xf x 等价为(1) 0f x ， 此时 0 01 2 x x ，此时13x ， 当0 x 时，不等式(

13、1) 0 xf x 等价为(1) 0f x ， 即 0 210 x x ，得10 x， 综上10 x 或13x ， 即实数x的取值范围是 1，01 ，3， 故选：D 【例 4-2】（2020安庆模拟）已知奇函数( )f x的定义域为R，若(1)f x 为偶函数，且f（1）2，则 (2019)(2020)(ff) A2B1C0D1 【分析】根据题意，由(1)f x 为偶函数，分析可得()(2)fxfx且f（1）2，结合函数周期即可得 答案 【解答】解：根据题意，函数( )f x为奇函数，则( )()f xfx， 又由(1)f x 为偶函数，则函数( )f x的图象关于1x 对称，则有()(2)(

14、)( )fxfxfxf x ， 所以(4)( )f xf x即函数的周期为 4，且f（1）2， 则(2019)( 12020)( 1)ffff （1）2 ，(2020)(0)0ff， 则(2019)(2020)2ff 故选：A 【例 4-3】（多选）（2020烟台模拟）已知( )f x是定义域为(,) 的奇函数，(1)f x 是偶函数，且当 (0 x，1时，( )(2)f xx x ，则() A( )f x是周期为 2 的函数 B(2019)(2020)1ff C( )f x的值域为 1，1 D( )f x的图象与曲线cosyx在(0,2 )上有 4 个交点 【分析】A，根据题意得( )(4)

15、f xf x，( )f x是周期为 4 的周期函数，A错误； B，因为( )f x是周期为 4 的周期函数，则(2020)(0)0ff；当(0 x，1时，( )(2)f xx x ，则f（1） 1 (12)1 ，则(2019)( 12020)( 1)ffff （1）1 ，进而得出B正确 C，当(0 x，1时，( )(2)f xx x ，此时有0( ) 1f x，又由( )f x为R上的奇函数，则 1x ，0)时， 1( )0f x，进而得出C正确 D，由函数图象可知，D正确 【解答】解：根据题意， 对于A，( )f x为R上的奇函数，(1)f x 为偶函数，则( )(1 1)(2)(2)(4)

16、f xf xfxf xf x ； 则( )f x是周期为 4 的周期函数，A错误； 对于B，( )f x为定义域为R的奇函数，则(0)0f， ( )f x是周期为 4 的周期函数，则(2020)(0)0ff； 当(0 x，1时，( )(2)f xx x ，则f（1）1 (12)1 ， 则(2019)( 12020)( 1)ffff （1）1 ， 则(2019)(2020)1ff ；故B正确 对于C，当(0 x，1时，( )(2)f xx x ，此时有0( ) 1f x， 又由( )f x为R上的奇函数，则 1x ，0)时，1( )0f x， 所以函数( )f x的值域 1，1故C正确 对于D，

17、由函数图象可知，D正确 故选：BCD 【跟踪训练 4-1】（2020新课标）设函数 3 3 1 ( )f xx x ，则( )(f x) A是奇函数，且在(0,)单调递增 B是奇函数，且在(0,)单调递减 C是偶函数，且在(0,)单调递增 D是偶函数，且在(0,)单调递减 【分析】先检验()fx与( )f x的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性 【解答】解：因为 3 3 1 ( )f xx x ， 则 3 3 1 ()( )fxxf x x ，即( )f x为奇函数， 根据幂函数的性质可知， 3 yx在(0,)为增函数，故 1 3 1 y x 在(0,)为减函数， 2 3 1

18、 y x 在(0,)为增 函数， 所以当0 x 时， 3 3 1 ( )f xx x 单调递增， 故选：A 【跟踪训练 4-2】（2020和平区二模）已知( )f x是定义在R上的偶函数，且在区间(，0上单调递增， 若实数a满足 3 log (2)(2) a ff，则a的取值范围是 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论 【解答】解：因为( )f x是定义在R上的偶函数，且在区间(，0上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，( )f x在(0,)上单调递减， 因为 3 log (2)(2) a ff， 所以 3 22 log a ，即 3 1 log 2 a ， 解可得，03a

19、故答案为：(0, 3) 提高练习 例 1 ： 设( )f x为 定 义 在R上 的 奇 函 数 ，(2)( )f xf x ， 当01x时 ，( )f xx， 则 (7.5)f_ 思路：由(2)( )f xf x 可得： fx的周期4T ，考虑将(7.5)f用01x中的函数值进行表示： (7.5)3.50.5fff， 此时周 期性已经 无法再进 行调整，考虑利 用奇偶性 进行微调 ： 1 0.50.5 2 ff ，所以 1 (7.5) 2 f 答案： 1 (7.5) 2 f 例 2： 定义域为R的函数 f x满足 22f xf x， 当0,2x时， 3 2 1 2 x f x ， 则 5 2

20、f （） A. 1 4 B. 1 8 C. 1 2 D. 1 4 思路：由 1 222 2 f xf xf xf x，可类比函数的周期性，所以考虑将 5 2 x 向 0,2x进行转化： 33 22 51113111 22242424 fff 答案：D 小炼有话说： f x虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔 2 个单位的自变量， 函数值呈 2 倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。 例 3：定义在R上的函数 f x对任意xR，都有 11 2,2 14 f x f xf f x ，则2016f等于 （） A. 1 4 B. 1 2 C. 1

21、3 D. 3 5 思 路 ： 由 1 2 1 f x f x f x 及 所 求2010f可 联 想 到 周 期 性 ， 所 以 考 虑 1 1 121 4 112 1 1 f x f xf x f xf x f xf x f x ， 所 以 f x是 周 期 为 4 的 周 期 函 数 ， 故 20164ff，而由已知可得 123 4 125 f f f ，所以 3 2016 5 f 答案：D 例 4（2009 山东）：定义在R上的函数 f x满足 2 log1,0 12 ,0 xx f x f xf xx ，则2009f的 值为（） A.1B.0C.1D.2 思路：所给 f x的特点为0

22、x 才有解析式能够求值，而0 x 只能通过 12f xf xf x减 少 自 变 量 的 取 值 ， 由 所 求2009f可 联 想 到 判 断 f x是 否 具 有 周 期 性 ，0 x 时 ， 12f xf xf x， 则 有123f xf xf x， 两 式 相 加 可 得 ： 3f xf x ，则 36f xf xf x ，即 f x在0 x 时周期是 6，故 200952fff ，而 21001011fffffff 答案：C 小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而 2009x 数较大，所以考虑判断函数周期性。 （2）如何快速将较大自

23、变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与 余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中200963345，从 而 20095ff （3）本题推导过程中 3f xf x 也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值互为相反数，相 比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区 间内 例 5：函数 f x是周期为4的偶函数，当0,2x时， 2 log11f xx，则不等式 0 xf x 在 1,3上的解集为_ 思路：从已知出发可知0,2x时， f x为增函数，且 2 1log 210f ，所以

24、0,1x时， 0f x ，1,2x时， 0f x ，由偶函数可得：1,0 x 时， 0f x ， 2, 1f x 时， 0f x 。 从而可作出草图。 由所解不等式 0 xf x 可将1,3分为1,00,3 两部分，当0 x 时， 0f x ，所以1,0 x ，当0 x 时， 0f x ，所以 1,3f x ，综上解 集为：1,01,3 答案：1,01,3 例 6：已知 f x是定义在R上的函数，满足 0,11f xfxf xf x，当0,1x时， 2 f xxx ，则函数 f x的最小值为（） A. 1 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 1 2 思路： 由11f xf x可得 f x是周

25、期为 2 的周期函数， 所以只需要求出一个周期内的最值即可。 由 0f xfx可 得 f x为 奇 函 数 ， 所 以 考 虑 区 间1,1， 在0,1x时 ， 2 11 24 f xx ，所以 max 11 24 f xf ，而由于 f x为奇函数，所以在1,0 x 时， min 111 224 f xff ， 所以 1 2 f 即为 f x在1,1的最小值， 从而也是 f x在R上 的最小值 答案：B 例 7：已知定义域为R的函数 f x满足4fxf x ，且函数 f x在区间2,上单调递增， 如果 12 2xx，且 12 4xx，则 12 f xf x的值（） A.可正可负B.恒大于 0

26、C. 可能为 0D. 恒小于 0 思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而 12 4xx 可得 21 4xx，因为 1 2x ，所以 1 42x，进而将 21 ,4xx装入了2,中，所以由 21 4xx可 得 21 4f xfx，下一步需要转化 1 4fx，由4fxf x 可得 fx关于2,0中心 对 称 ， 所 以 有 4fxf x 。 代 入 1 x可 得 11 4fxf x ， 从 而 2112 0f xf xf xf x 思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从4fxf x 分析出 fx关于2,0中心对称，令 2x 代入到4fxf x 可得

27、20f。中心对称的函数对称 区 间 单 调 性 相 同 ， 从 而 可 作 出 草 图 。 而 12 12 42 2 xx xx ，即 12 ,x x的中点位于2x 的左侧，所以 1 x比 2 x距离2x 更远，结合图象便可分析出 12 f xf x恒小于 0 答案：D 小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值 关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称 性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系 （2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是

28、呈“对称” 的 关 系 ， 从 而 在 图 像 上 才 能 看 出 12 f xf x的 符 号 ； 第 二 个 是 20f， 进 而 可 知 2,0;,2 ,0 xf xxf x ；第三个是 12 12 42 2 xx xx ，既然是数形结合， 则题中条件也要尽可能转为图像特点，而 12 4xx表现出中点的位置，从而能够判断出 12 ,x x距离中心 对称点的远近。 例 8：函数 f x的定义域为R，若1f x 与1f x 都是奇函数，则（） A. f x是偶函数B. f x是奇函数 C. 2f xf xD.3f x 是奇函数 思路：从已知条件入手可先看 f x的性质，由1 ,1f xf x

29、为奇函数分别可得到： 11 ,11f xfxf xfx ，所以 f x关于 1,0 ,1,0中心对称，双对称出周期 可求得2114T ，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合,A B。对于D选项，因为 4T ，所以511f xf xfx ，进而可推出 f x关于3,0中心对称，所以3f x 为 f x图像向左平移3个单位，即关于0,0对称，所以3f x 为奇函数，D正确 答案：D 例 9：已知定义域为R的函数 yf x在0,7上只有1和3两个零点，且2yf x与7yf x 都是偶函数，则函数 yf x在0,2013上的零点个数为（） A.404B.804C.806D.402 思路：已知区间

30、仅是0,7，而所求区间为0,2013，跨度如此之大，需要函数性质。从条件入手 2 ,7f xf x为偶函数可得 f x关于2,7xx轴对称，从而判断出 f x是周期函数，且 27210T ，故可以考虑将0,2013以 10 为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以 组数，加上剩余部分的零点即可 解：2 ,7f xf x为偶函数 22 ,77f xfxf xfx f x关于2,7xx轴对称 f x为周期函数，且27210T 将0,2013划分为0,1010,202000,20102010,2013 f x关于2,7xx轴对称 4,14f xfxf xfx 160ff 814860fff

31、34310fff 在0,10中只含有四个零点 而0,1010,202000,2010共201组 所以201 4804N 在2010,2013中，含有零点 201110,201330ffff共两个 所以一共有 806 个零点 答案：C 小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几 个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计 （2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分 段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分 析。 （3）当一个周期内含

32、有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称 产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看 是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解） 例 10：设函数 yf x是定义在R上以 1 为周期的函数，若 2g xf xx在区间2,3上的值域为 2,6，则函数 g x在12,12上的值域为（） A.2,6B.20,34C.22,32D.24,28 思 路 ： 设 0 2,3x ， 则 0 2,6g x ， 因 为 f x为 周 期 函 数 ， 故 以 f x为 突 破 口 ， 000000 2222g xnf xn

33、xnf xxng xn，考虑在12, 11中14n ， 所 以 000 142142826,34g xg xg x ， 在11,12中9n ， 所 以 000 92 91820, 12g xg xg x ，所以 g x在12,12的值域为20,34 答案：B 同步练习 1、已知函数)(xf是 R 上的偶函数，且满足3)() 1(xfxf，当1,0 x 时，( )2f xx，则 )5 .2007(f的值为（） A0.5B1.5C1.5D1 2、设函数 f x满足 sinf xf xx，当0,x时， 0f x ，则 23 6 f （） A. 1 2 B. 3 2 C.0D. 1 2 3、设 f x

34、是定义在R上的周期为 2 的函数，当1,1x 时， 2 42, 10 ,01 xx f x xx ，则 3 2 f _ 4、设函数 ,f xg x的定义域都为R，且 f x是奇函数， g x是偶函数，则下列结论中正确的是 （） A. f x g x是偶函数B. fx g x是奇函数 C. fx g x是奇函数D. fx g x是奇函数 5、已知 11 ,2f xf xf xfx ，方程 0f x 在0,1内有且只有一个 1 2 ，则 f x在 区间0,2014内根的个数为（） A.1006B.1007C.2013D.2014 6、已知定义在R上的函数( )f x满足：()( ),(1)(1)f

35、xf xfxfx ，当1,1x 时， 3 ( )f xx， 则(2009)f_ 7、已知定义在R上的函数 f x满足 ,22fxf xf xf x ，且1,0 x 时， 1 2 5 x f x ，则 2 log 20f（） A.1B. 4 5 C.1D. 4 5 8、已知( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有(2)( )f xf x ，当0,2x时， 2 ( )2f xxx，求(0)(1)(2)(2012)ffff 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析： 由3)() 1(xfxf可得：( )(1)3f xf x， 两式相减可得：11f xf x， 所以 f x 的周期2T

36、，再由 f x是偶函数可得：2007.50.50.51.5fff 2、答案：A 解析：由 sinf xf xx可知 231717171 sin 66662 fff ， 171111111 sin 66662 fff ， 1155511 sin 666622 fff ，所以 可得： 231 62 f 3、答案：1 解析： 2 311 421 222 ff 4、答案：C 解析： f x为奇函数，可知 f x为偶函数，所以根据奇偶性的规律可得： f x g x为奇函数， fx g x是偶函数， fx g x是奇函数， fx g x是偶函数，故 C 正确 5、答案：D 解析：112f xf xT， ,

37、2f xfx 可得 f x关于1x 轴对称，因为 f x在 0,1内有且只有一个零点 1 2 ，所以由对称性可得 f x在0,2只有两个零点 1 3 , 2 2 。所以一个周期中含有 两个零点，区间0,2014共包含 1007 个周期，所以有 2014 个零点 6、答案：1 解析： 由()( )fxf x 可得： fx关于0,0中心对称， 由(1)(1)fxfx可得： fx关于1x 轴对称，所以可求出 fx的周期4T ，则 200911ff 7、答案：1 解 析 ： fxf x 可 知 f x为 奇 函 数 ，22f xf x可 得4T ， 所 以 2 4 log 5 2222 5541 log 204logloglog21 4455 ffff 8、答案：0 解析：由(2)( )f xf x 可得： fx的周期4T ，由于 fx具备周期性，故求和时可考虑按照周期 将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果，在考虑求和的式子中含有多少组周期即可： 11,200,3111,400ffffffff 12340ffff 故 (0)(1)(2)(2012)0503 00fffff