1、- 1 - 2019年北京大学自主招生测试2019年北京大学自主招生测试 1若a,bR， 求满足不等式x2-2 ax+a2 +x2-2 bx+b2 a2+b2的x取值范围. 解析: P=x2-2 ax+a2 +x2-2 bx+b2 =x- 2 2 a 2 + 0- 2 2 a 2 +x- 2 2 b 2 + 0- 2 2 b 2 代数式的几何意义为:平面内x轴上一点到两个动点A 2 2 a, 2 2 a ,B 2 2 b, 2 2 b 的距离之和,设B 关于x轴的对称点为B,则Pa2+b2,Pa2+b2,此时x为直线BA与x轴交点的横坐标,则 lBA:y= b+a b-a x- 2 2 b +
2、 2 2 b,令y=0,解得:x= 2 ab a+b ,x的范围为x= 2 ab a+b 2复数z1,z2满足 z1-3i=2, z2-8=1， 则由复数z1-z2围成的面积是 () A.4B.8C.10D.以上全错 解析:设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i, 由题意可得:x1 2+ y 1-3 2=4, x 2-8 2+y 2 2=1 令: x1=2cos y1=2sin+3 , x2=cos+8 y2=sin , x=x1-x2 y=y1-y2 ,则 x+8 2+ y-3 2=5-4 - cos 复数z1-z2围城的面积为一个圆环的面积 S= 9-1=8 答案:B 3从 1,2,3,
3、4,5,6,7,8,9取出4个不同的数， 分别记为a,b,c,d， 求a+b和 c+d奇偶性相同的概率. 解析:P= A4 4+2A 2 4A 2 5+A 4 5+4C 1 5C 1 4C 1 4C 1 3 A49 = 11 21 4正方形 ABCD， K为BCD内一点， 满足KDB=KBC=10， 则KAD= A.45B.60C.70D.以上错误 解析:设正方形边长为1， 在BKD中， 由正弦定理可知: DK 35sin = 2 135sin ,DK=2 135sin 在ADK中,由余弦定理可得:AK2=1+4 235 sin-435sin55cos=1, DAK为等腰三角形,KAD=70.
4、 答案:C 5设x,yZ， 若 x2+x+1 2+ y2+y+1 2为完全平方数， 则数对 x,y 有 () 组 A.0B.1C.无穷多D. 以上全错 解析:令A=x2+x+1,B=y2+y+1 当x为奇数时,A为奇数,当x为偶数时,A还是奇数,同理可得,B也为奇数,两个奇数的平方和一定不 会是完全平方数. 6方程xsin= x 13 的根的个数为 ( ) A.3个B.7个C.1个D.以上全错 解析:数形结合可知答案为B 7设P为椭圆 x2 25 + y2 16 =1上一点， F1,F2为椭圆的左、 右焦点， I为PF1F2的内心， 若内切圆半径为1， 求 IP的长度. A BC D K 博观而约取厚积而薄发 - 2 - 解析:设内切圆半径为r,F1PF2=,r= 2SPF1F2 2a+2c ,SPF 1F2=8, 又SPF1F2=b2 2 tan, 2 tan= 1 2 , 2 sin= 5 5 , IP= r 2 sin = 5 8已知 an数列满足:ak+1+ak=4k+3 k=1,2,求a2+a2020. 解析:ak+1+ak=4k+3an+2-an=4 当n为偶数时,则an=a2+4 n 2 -1 =2n+a2-4 当n为奇数时,则an=a1+4 n+1 2 -1 =2n+a1-2 a2+a2020=4036+2a2,a2不确定,a2+a2020也不确定.
