考点18随机抽样和样本估计总体学生版.docx

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 18随机抽样和样本估计总体 玩前必备 1.统计的基本概念 (1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体 (2)个体：构成总体的每一个元素作为个体 (3)样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本 (4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量 2简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(nN)，如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 (2)最常用的简单随机抽样方法有两种抽签法和随机数法 (3)应用范围：总体个体数较少 3分层抽

2、样 (1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数 量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样 (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法 4.频率分布表 (1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表 (2)频率分布表的画法步骤： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距极差 组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表 5. 频率分布直方图 利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频

3、率分布直方图 (1)作频率分布直方图的方法 先制作频率分布表，然后作直角坐标系 把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率 组距， 这样得出一系列的矩形 每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图 (2)频率分布直方图的特征 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 直方图中各小长方形的面积之和为 1. 直方图中纵轴表示频率 组距，故每组样本的频率为组距 频率 组距，即矩形的面积 直方图中每组样本的频数为频率总体数 6茎叶图 茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的 个位数)，一

4、般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶 图其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳 定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好 茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧 7条形图、折线图及扇形图 (1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数 量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的

5、数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的 顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图 (2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样 本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数 据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图 (3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那 部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图 8样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差 (1)众数：一组数

6、据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数 (2)中位数：把 n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 (3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x 1 n(x 1x2xn) (4)标准差与方差：设一组数据 x1，x2，x3，xn的平均数为 x，则这组数据的标准差和方差分别是 s 222 12 1 ()()() n xxxxxx n ， s21 n(x 1 x )2(x2 x )2(xn x )2 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方通常用样本方差估

7、计总体方差，当样本 容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差 (5)标准差和方差的一些结论 若取值 x1，x2，xn的频率分别为 p1，p2，pn，则其平均值为 x1p1x2p2xnpn；若 x1，x2， xn的平均数为x，方差为 s2，则 ax1b，ax2b，axnb 的平均数为 axb，方差为 a2s2. 玩转典例 题型题型一一随机抽样随机抽样 例例 1从某年级的 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是() A500 名学生是总体 B每个学生是个体 C抽取的 60 名学生的体重是一个样本 D抽取的 60 名学生的体重是样本容量 例例 2（2013江西）总体

8、由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个 个体，选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的 第 5 个个体的编号为() 78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 A08B07C02D01 例例 3(2017江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检 验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽 取

9、_件 玩转跟踪 1假设从高一年级全体同学(500 人)中随机抽出 60 人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将 500 名同学按 000,001，499 进行编号，如果从随机数表第 8 行第 11 列的数开始，按三位数连续向右读取， 最先抽出的 5 名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第 7 行和第 8 行)() 84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879 A455068047447176 B1

10、69105071286443 C050358074439332 D447176335025212 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2(2020河南名校联考)九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百 五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有 甲带了 560 钱，乙带了 350 钱，丙带了 180 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照钱的多少按比 例出钱”，则丙应出_钱(所得结果四舍五入，保留整数) 3某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生 数比

11、高一学生数多 300 人，现在按 1 100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( ) A8B11 C16D10 题型题型二二频率分布直方图频率分布直方图 例例 4 4(山东,8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位： kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为 第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为() A6B8C12D18 例例 5 （2017

12、山东）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两 组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为() A3，5B5，5C3，7D5，7 例例 6 6(2017全国)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 根据该折线图，下列结论错误的是() A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 1

13、2 月，波动性更小，变化比较平稳 玩转跟踪 1.（湖北）某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2019 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位： 万元）都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如图所示 （1）直方图中的a （2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为 2.（重庆）重庆市 2013 年各月的平均气温()数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是() A19B20C21.5D23 3.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图 中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约

14、为 5.下面叙述不正确的是 () 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 题型题型三三用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 例例 7（2019新课标）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的 数字特征是() A中位数B平均数C方差D极差 例例 8 8甲、乙两人在一次射击比赛中

15、各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则() A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 例例 9 9（安徽高考）若样本数据 x1，x2，x10的标准差为 8，则数据 2x11,2x21，2x101 的标准 差为() A8B15C16D32 玩转跟踪 1如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数 据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A2,5B5,5C5,8

16、D8,8 2某公司 10 位员工的月工资(单位：元)为 x1，x2，x10，其均值和方差分别为x和 s2，若从下月起每位 员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为() A.x，s21002B.x100，s21002C.x，s2D.x100，s2 题型题型四四综合应用综合应用 例例 10（2019新课标）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随 机分成A、B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给 服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百

17、分 比根据试验数据分别得到如图直方图： 记C为事件： “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5” ，根据直方图得到P（C）的估计值为 0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.(新课标全国,18)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得 如下频数分布表： 质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125) 频数62638228 (1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：

18、 (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全 部产品 80%”的规定？ 玩转练习 1.（2019 全国 II 理 13）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的 正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车 次的平均正点率的估计值为_. 2(2018 全国卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解

19、该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 3 （2015 新课标 2）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以 下结论不正确的是 A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化硫排放显

20、现成效 C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4 （2020安徽省淮北市高三一模（理）国庆 70 周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某 省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检 测.现从两个品种中各抽测了 10 株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（） A甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐 B甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐 C乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐 D乙品种的

21、平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 5 （2020广西师大附属外国语学校高三一模（理） ）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外 语3门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位 次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级 30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人 作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（） A55B80C90D110 6 （2020河南省安阳市高三一

22、模（理）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是 （） A12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为 1 3 B12 个月的 PMI 值的平均值低于 50% C12 个月的 PMI 值的众数为 49.4% D12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3% 7.（2020陕西省高三教学质量检测一（理） ）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分 别为 600，400，300，若用分层抽样方法抽取 n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中

23、抽取了 6 名学生， 则 n 的值为（） A20B22C23D26 8(2019全国卷)西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国 古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西 游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过 红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A0.5B0.6 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 C0.7D.0.8 9(多选)(2020济南市模拟考试)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加某家庭 201

24、8 年全 年的收入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现 统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中错误的是() A该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活用品的消费额的两倍 10 (多选)(2020四省八校双教研联考)如图 1 为某省 2019 年 14 月份快

25、递业务量统计图， 图 2 为该省 2019 年 14 月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是() A2019 年 14 月份快递业务量 3 月份最高，2 月份最低，差值接近 2 000 万件 B2019 年 14 月份快递业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致 D从 14 月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 11.为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示 的频率分布直方图已知

26、图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 135，第 2 个小组的频数为 15，则 被抽查的美术生的人数是_ 12 (2018 江苏)已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这 5 位裁判打出的分数的平均 数为 13.（2019 江苏 5）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是. 14.（2018新课标）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： 3) m和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量0，0.1)0.1，0.2) 0.2，0.3) 0.3，0.4) 0

27、.4，0.5) 0.5，0.6) 0.6，0.7) 频数13249265 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6) 频数151310165 （1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 3 0.35m的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据 所在区间中点的值作代表） 15.(2016 年四川)我国是世界上严重缺水的国家，

28、某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水 收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨） 、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超 出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单 位：吨） ，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I）求直方图中 a 的值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨） ，估计x的值，并说明理由. 玩转数学培优题型

29、篇安老师培优课堂 16.(2020福建五校第二次联考)某服装店对过去 100 天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制 成频率分布直方图如下： (1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去 100 天的销售中，实体店和网店销售量都不低于 50 的概率为 0.24，求过去 100 天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于 50 的天数； (2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为 500 元，门市成本为 1 200 元，每售出 一件利润为 50 元，求该实体店一天获利不低于 800 元的概率； (3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到 0.01)