考点13 平面向量数量积学生 .docx

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 13平面向量数量积 玩前必备 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，AOB(0180)叫作向量 a 与 b 的夹角，记作当0时，a 与 b 同向；当180时，a 与 b 反向；当90时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 ab. 2平面向量的数量积 已知两个向量a和b， 它们的夹角为， 我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)， 记作ab， 即ab|a|b|cos . 3平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b

2、 方向上的射影|a|cos 的乘积 注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos ab |a| ，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ab |b| ，投影是一个数量，它可 以为正，可以为负，也可以为 0. 4平面向量数量积的重要性质 (1) abab0； (2)当 a 和 b 同向时，ab|a|b|；当 a 和 b 反向时，ab|a|b|；特别地，aa |a|2，|a| aa； (3)cos ab |a|b|； 5平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1) abx1x2y1y2，(2) |a|2x12y12或|a| x12y12.(3

3、) abx1x2y1y20. (4) cos x1x2y1y2 x12y12 x22y22 玩转典例 题型题型一一平面向量数量积的计算平面向量数量积的计算 例例 1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4B2C2D4 例例 2（2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt ，| 1BC ，则(AB BC ) A3B2C2D3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.（2018新课标）已知向量a ，b 满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4B3C2D0 2

4、.（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 3.（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中60BAD ，E 为CD中点， 则AE BD 、 题型二题型二利用数量积求模长利用数量积求模长 例例 3（2020香坊区模拟）已知单位向量, a b 的夹角为，且 1 tan 2 ，若向量53mab ，则| (m ) A2B3C26D2或26 例例 4（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac ，/ /bc ，则ab _. 玩转

5、跟踪 1.（2020全国 1 卷）设, a b为单位向量，且| 1ab ，则|ab _. 2.（2020北京卷）已知正方形ABCD的边长为 2，点P满足 1 () 2 APABAC ，则|PD _； PB PD _ 题型题型三三利用数量积求夹角利用数量积求夹角 例例 5（2020临汾模拟）已知夹角为的向量a ，b 满足()2a ab ，且| 2| 2ab ，则向量a ，b 的关 系是() A互相垂直B方向相同C方向相反D成120角 例例 6 （2020江西省南昌市新建二中高三二模 （理） ） 已知向量a ，b 满足1a ，1, 3b ， 若2aab ， 则a 与b 的夹角为_. 玩转数学培优题

6、型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.（2020全国 3 卷）已知向量a a，b b满足| 5a ，| 6b ，6a b ，则cos ,=a ab （） A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 2.（2020山东高三下学期开学）已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b 的夹角为，则sin_. 题型题型四四利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问题 例例 7（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量a ，b 满足|ab |=|，则“ 22abab ”是 “ab ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解: 例例

7、 8（2020吉林省高三二模（理） ）已知(1,3),(2,2),( , 1)abcn ，若()acb ，则n等于（） A3B4C5D6 玩转跟踪 1.（2020全国 2 卷）已知单位向量a ,b 的夹角为 45，k a b 与a 垂直，则k=_. 2.（2020 届山东省淄博市高三二模）已知向量a =（4，3） ，b =（6，m） ，且ab ，则 m=_. 题型题型五五利用数量积求射影利用数量积求射影 例例 9 9(湖北，7)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为() A. 3 2 2 B. 3 15 2 C3 2 2 D3 15

8、2 玩转跟踪 1.（2020天水市第一中学高三月考（文） ）已知 12 , e e 为单位向量且夹角为 3 ，设 12a ee ， 2b e ，a 在b 方向上的投影为_ 玩转练习 1.（2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD ，则AC AD 的值为() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A3B8C12D16 2.（2020内蒙古模拟）已知向量(1,2)ab ，( 3,0)ab ，则(a b ) A1B1C3D3 3 （2020随州模拟）已知向量a ，b 满足| | 2aab ，向量b 在向量a 方向上的投影为 3，则向量a 与 向量b 的夹角为() A

9、30B45C60D90 4（2020湘潭一模） 在平行四边形ABCD中，60BAD，3ABAD，E为线段CD的中点， 若6AE AB ， 则(AC BD ) A4B6C8D9 5 （2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120，(1)ctatb 若1a c 则实数t的 值为() A1B1C2D2 6.（2020福州一模）已知两个单位向量 12 ,e e ，若 121 (2)eee ，则 12 ,e e 的夹角为() A 2 3 B 3 C 4 D 6 7.（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量a 和b 的夹角为 3 ，且2,3ab ，则 (2)(2 )ab ab

10、 （） A10B7 C4D1 8 （2020江西省名高三第二次大联考（理） ）若1a ，2b ，则ab 的取值范围是（） A1,9B 1,9C1,3D1,3 9 （2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理） ）已知在边长为 3 的等边ABC中， 1 2 BDDC ，则 AD AC （） A6B9C12D6 10 （2020河南省实验中学高三二测（理） ）若| 3a ，| 2b ，237ab ，则a 与 b 的夹角为 _. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 11 （2020北京市西城区高三一模）若向量 2 21axbx ， ，满足 3a b ，则实数x的取值范围是 _. 12（2020四川省成都市树德中学高三二诊 （理） ） 已知向量AB = （1， 2） ，AC = （-3， 1） ， 则AB BC =_ 13 （2020广西师大附属外国语学校高三一模（理） ）已知, a b 为两个单位向量，且向量a b 与b 垂直， 则23ab =_ 14 （2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac ，/ /bc ，则ab _. 15.（2020福建省泉州市高三质检（理） ）已知向量,2ax ，2,1b ，且 /a b ，则a _