新高一数学暑期衔接教材第6讲-一元二次不等式的解法.doc

1、1 主主题题 一元二次不等式的解法 教学内容教学内容 1. 掌握一元二次不等式的解法； 2. 学会用区间表示集合； 3. 通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集，培养数形结合的数学思想。 一、一元二次不等式的解法：一、一元二次不等式的解法： 探究：我们来考察它与其所对的二次函数 2 5yxx及二次方程 2 50 xx的关系： （1）当0 x 或5x 时，0y ，即在x轴上方； （2）当0 x 或5x 时，0y ，即在x轴上； （3）当05x时，0y ，即在x轴下方. 其中0 x ，5x 是二次函数 2 5yxx与x轴的交点，是二次方程 2 50 xx的两根. 探究得出：结合图像知不等

2、式 2 50 xx 的解集是05xx 那么对于一般的不等式 2 0axbxc或 2 00axbxca又怎样去寻求解集呢？ 请同学们思考下列问题： 如果相应的一元二次方程0 2 cbxax分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数 )0( 2 acbxaxy的图像与 x 轴的位置关系如何？ 可以提问程度较好的学生 【答】二次函数cbxaxy 2 的图像开口向上且分别与 x 轴交于两点，一点及无交点。 现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。 acb4 2 000 2 二次函数 )0( 2 acbxaxy 的图像 0 2 cbxax的根 a b x 2 2, 1

3、 a b xx 2 21 0 2 cbxax的解集 0 2 cbxax的解集 【答】0 2 cbxax的解集依次是.R; 2 R; 21 a b xxxxxxxx但或 0 2 cbxax的解集依次是.; 21 xxxx 它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函 数)0( 2 acbxaxy的图像。 练习：不等式 2 230 xx的解集 解：解：因为124250 方程 2 230 xx的解是 12 3 ,1 2 xx , 故原不等式的解集为 3 1 2 x xx 或. 二、区间：二、区间： 设 a，b 是实数，且 ab，我们规定： （1）集合x

4、axb叫做闭区间，表示为, a b （2）集合x axb叫做开区间，表示为, a b （3）集合x axb或x axb叫做半开半闭区间，表示为 , )a b或( , a b 在上述的所有区间中，a，b 叫做区间的端点以后我们可以用区间表示不等式的解集 （4）把实数集 R 表示为 (，)，把集合 x xax xax xbx xb、分别用区间 ,) ( ,) (, (, )aabb、表示。a，b 也叫做区间的端点符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无 3 穷大” 练习： 1. 用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间： (1) 2x3； (2) 3x4；(3) 2x3； (4) 3

5、x4； 答案： （1） 2,3；（2）( 3,4；（3） 2,3)；（4）( 3,4) 2. 用集合的描述法表示下列区间：(1) (4，0)；(2) (8，7 解(1) x | 4x0；(2) x | 8x7 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 解不等式 2 2350 xx. 解：整理，得 2 2350 xx 因为940490 ， 方程 2 2350 xx的解是 12 5 ,1 2 xx ， 故原不等式的解集为 5 ( 1, ) 2 . 试一试：解下列不等式 （1）0273 2 xx（2）026 2 xx 解集： （1） 1 ( ,2) 3 （2

6、） 21 (, ,) 32 小结：小结：解一元二次不等式的步骤： （1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为 0、最高次的系数为正） ； （2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； （3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式. 4 例 2.解不等式 2 4410 xx . 解：解：因为16 160 ， 方程 2 4410 xx 的解是 12 1 2 xx 故原不等式的解集为 1 2 x x . 例 3. 解不等式 2 230 xx. 解：整理，得 2 230 xx 因为4 1280. 方程 2 230 xx无实数根，所以原不等式的解集为. 试一试：解下列不等式 （1

7、）0144 2 xx（2）053 2 xx 解集： （1）； （2）R （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 不等式 2 620 xx的解集是() A 3 |2 2 xxB 3 | 2 2 xx C 3 |2 2 x xx 或D 3 |2 2 x xx 或 解：D 2. 设集合=02Mxx ， 2 =23Nx xx 0，则有 MN() A0 xx 1B0 xx 2C0 xx1D0 xx 2 解：B 5 3. 解下列不等式： （1） 2 2320 xx(2) 2 91 0 xx (3) 2 45xx(4) 2 210 xx 解： （1） 1 2 2 x xx 或；（2） 1

8、, 3 x xxR ；（3）R；（4）。 本节课主要知识点：一元二次不等式的解法及注意事项 【巩固练习】 1. 若代数式26 2 xx的值恒取非负实数，则实数 x 的取值范围是。 12 23 x xx 或 2. 解不等式：0169 2 xx 答案： 1 3 x x 【预习思考】 解一元二次不等式0) 1)(4(xx，我们还可以用分类讨论的思想来求解 6 因为满足不等式组 01 04 x x 或 01 04 x x 的 x 都能使原不等式0) 1)(4(xx成立，且反过来也是对的， 故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集 试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？ （1）0)3)(2(xx （2）0)2(xx （3）)(0)(babxax