1、1 主主题题 一元二次不等式的解法 教学内容教学内容 1. 掌握一元二次不等式的解法; 2. 学会用区间表示集合; 3. 通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集,培养数形结合的数学思想。 一、一元二次不等式的解法:一、一元二次不等式的解法: 探究:我们来考察它与其所对的二次函数 2 5yxx及二次方程 2 50 xx的关系: (1)当0 x 或5x 时,0y ,即在x轴上方; (2)当0 x 或5x 时,0y ,即在x轴上; (3)当05x时,0y ,即在x轴下方. 其中0 x ,5x 是二次函数 2 5yxx与x轴的交点,是二次方程 2 50 xx的两根. 探究得出:结合图像知不等
2、式 2 50 xx 的解集是05xx 那么对于一般的不等式 2 0axbxc或 2 00axbxca又怎样去寻求解集呢? 请同学们思考下列问题: 如果相应的一元二次方程0 2 cbxax分别有两实根、惟一实根,无实根的话,其对应的二次函数 )0( 2 acbxaxy的图像与 x 轴的位置关系如何? 可以提问程度较好的学生 【答】二次函数cbxaxy 2 的图像开口向上且分别与 x 轴交于两点,一点及无交点。 现在请同学们观察表中的二次函数图,并写出相应一元二次不等式的解集。 acb4 2 000 2 二次函数 )0( 2 acbxaxy 的图像 0 2 cbxax的根 a b x 2 2, 1
3、 a b xx 2 21 0 2 cbxax的解集 0 2 cbxax的解集 【答】0 2 cbxax的解集依次是.R; 2 R; 21 a b xxxxxxxx但或 0 2 cbxax的解集依次是.; 21 xxxx 它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函 数)0( 2 acbxaxy的图像。 练习:不等式 2 230 xx的解集 解:解:因为124250 方程 2 230 xx的解是 12 3 ,1 2 xx , 故原不等式的解集为 3 1 2 x xx 或. 二、区间:二、区间: 设 a,b 是实数,且 ab,我们规定: (1)集合x
4、axb叫做闭区间,表示为, a b (2)集合x axb叫做开区间,表示为, a b (3)集合x axb或x axb叫做半开半闭区间,表示为 , )a b或( , a b 在上述的所有区间中,a,b 叫做区间的端点以后我们可以用区间表示不等式的解集 (4)把实数集 R 表示为 (,),把集合 x xax xax xbx xb、分别用区间 ,) ( ,) (, (, )aabb、表示。a,b 也叫做区间的端点符号“”读作“正无穷大”,“”读作“负无 3 穷大” 练习: 1. 用区间记法表示下列不等式的解集,并在数轴上表示这些区间: (1) 2x3; (2) 3x4;(3) 2x3; (4) 3
5、x4; 答案: (1) 2,3;(2)( 3,4;(3) 2,3);(4)( 3,4) 2. 用集合的描述法表示下列区间:(1) (4,0);(2) (8,7 解(1) x | 4x0;(2) x | 8x7 (采用教师引导,学生轮流回答的形式)(采用教师引导,学生轮流回答的形式) 例 1. 解不等式 2 2350 xx. 解:整理,得 2 2350 xx 因为940490 , 方程 2 2350 xx的解是 12 5 ,1 2 xx , 故原不等式的解集为 5 ( 1, ) 2 . 试一试:解下列不等式 (1)0273 2 xx(2)026 2 xx 解集: (1) 1 ( ,2) 3 (2
6、) 21 (, ,) 32 小结:小结:解一元二次不等式的步骤: (1)化标准:将不等式化成标准形式(右边为 0、最高次的系数为正) ; (2)考虑判别式:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根; (3)下结论:注意结果要写成集合或者区间的形式. 4 例 2.解不等式 2 4410 xx . 解:解:因为16 160 , 方程 2 4410 xx 的解是 12 1 2 xx 故原不等式的解集为 1 2 x x . 例 3. 解不等式 2 230 xx. 解:整理,得 2 230 xx 因为4 1280. 方程 2 230 xx无实数根,所以原不等式的解集为. 试一试:解下列不等式 (1
7、)0144 2 xx(2)053 2 xx 解集: (1); (2)R (学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解) 1. 不等式 2 620 xx的解集是() A 3 |2 2 xxB 3 | 2 2 xx C 3 |2 2 x xx 或D 3 |2 2 x xx 或 解:D 2. 设集合=02Mxx , 2 =23Nx xx 0,则有 MN() A0 xx 1B0 xx 2C0 xx1D0 xx 2 解:B 5 3. 解下列不等式: (1) 2 2320 xx(2) 2 91 0 xx (3) 2 45xx(4) 2 210 xx 解: (1) 1 2 2 x xx 或;(2) 1
8、, 3 x xxR ;(3)R;(4)。 本节课主要知识点:一元二次不等式的解法及注意事项 【巩固练习】 1. 若代数式26 2 xx的值恒取非负实数,则实数 x 的取值范围是。 12 23 x xx 或 2. 解不等式:0169 2 xx 答案: 1 3 x x 【预习思考】 解一元二次不等式0) 1)(4(xx,我们还可以用分类讨论的思想来求解 6 因为满足不等式组 01 04 x x 或 01 04 x x 的 x 都能使原不等式0) 1)(4(xx成立,且反过来也是对的, 故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集 试着用这种方法解下列三个不等式,你发现和我们用图像解的答案一样吗? (1)0)3)(2(xx (2)0)2(xx (3))(0)(babxax