新高一数学暑假衔接学习第11讲《一元二次不等式的解法》（含答案）.docx

1、【第【第 11 讲】讲】 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1一元二次不等式一元二次不等式 形如 2 0(0) (0)axbxca或其中 的不等式称为关于x的一元二次不等式 知识点知识点 2 2“三个二次三个二次”之间的关系之间的关系 设 000 22 acbxaxcbxax或 相应的一元二次方程 00 2 acbxax 的两根为 2121 xxxx且、 ， acb4 2 ，则不等式的解的各种情况如下表： 000 二次函数 cbxaxy 2 （ 0a ）的图象 cbxaxy 2 cbxaxy 2 cbxaxy 2 的根0 0 2 a

2、cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 12 ,x x 那么“ 0 ”型的解为 12 xxxx或 (俗称两根之外)；“ 0 ”型的解为 12 xxx (俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 2 22 4 () 24 bac

3、b axbxca x aa ，结合完全 平方式为非负数的性质求解 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一因式分解后分类讨论解一元二次不等式因式分解后分类讨论解一元二次不等式 【例【例 1-1】解不等式 2 60 xx 【解析】：原不等式可以化为：( 3)(2)0 xx ， 于是： 30 20 x x 或 30 20 x x 33 32 22 xx xx xx 或或 所以，原不等式的解集是 | 32x xx 或 归纳总结归纳总结：当把一元二次不等式化为 2 0(0)axbxc或 的形式后，只要左边可以分 解为两个一次因式，即可运用本题的解法 【练习练习 1-1】解下列不等式 （1） 2 320

4、xx （2） 2 654xx （3） 2 320 xx （4） 2 210 xx 【解析】：(1) 不等式可化为( 1)(2)0 xx ， 不等式的解集是 |1 2xx ； (2) 不等式可化为(2 1)(34)0 xx ， 不等式的解集是 41 | 32 xx ； (3) 不 等 式 可 化 为 2 230 xx ， 即 (1)(3)0 xx ， 不 等 式 的 解 集 是 | 13xx ； （4）不等式可化为(2 1)(1)0 xx 不等式的解是 1 1 2 |x xx 或 【例【例 1-2】解下列不等式： (1) 2 120 xx (2) 2 40 xx 【分析】：要先将不等式化为 2

5、0(0)axbxc或 的形式，通常使二次项系数为正数 【解析】：(1) 原不等式可化为： 2 120 xx ，即( 3)(4)0 xx 于是： 3030 34 4040 xx x xx 或 ， 所 以 原 不 等 式 的 解 是 34x (2) 原不等式可化为： 2 40 xx ，即 2 40(4)0 xxx x 于是： 00 04 4040 xx xx xx 或或 所以原不等式的解是 04xx或 【练习练习 1-2】解下列不等式 （1） 2 4410 xx ；（2） 2 530 xx 【解析】：(1) 不等式可化为 2 (21)0 x ， 不等式的解集是 1 | 2 x x ； （2） 2

6、530 xx 的根为 513 2 x ， 不等式的解集是 513513 | 22 xx ； 【例【例 1-3】不等式 22 1200 xaxaa 的解是_ 【答案】 ： |4 3 xaxa 【练习练习 1-3】若0 1a ，则不等式 1 0axx a 的解是_ 【答案】 ： 1 |x ax a 探究二探究二利用利用“三个二次三个二次”之间的关系解一元二次不等式之间的关系解一元二次不等式 【例【例 2-1】解下列不等式： (1) 2 280 xx (2) 2 440 xx (3) 2 20 xx （4） 2 60 xx 【解析】：(1) 不等式可化为( 2)(4)0 xx 不等式的解集是 | 2

7、 4xx (2) 不等式可化为 2 (2)0 x 不等式的解集是2 (3) 不等式可化为 2 17 ()0 24 x ，所以无解 （4） 不等式可化为( 2)(3)0 xx 不等式的解集是 | 23x xx 或 归纳归纳总结总结：若 1 x ， 2 x 是一元二次方程的两个根，且 12 xx ，则有： （1） 1212 ()()0 xxxxxxx （2） 121 ()()0 xxxxxx 或 2 xx 【例【例 2-2】已知不等式 2 10axbx 的解为 11 23 x ，求a和b的值，并解不等式 2 50bxxa 【解析】：依题意， 1 2 和 1 3是方程 2 10axbx 的两根， 方

8、法 1：由韦达定理， 11 23 b a ， 111 23a ，解得 6a ， = 1b 方法 2：直接代入方程得， 2 2 11 ()() 10 22 11 ( )( ) 10 33 ab ab ，解得 6a ， = 1b 不等式 2 50bxxa 为 2 560 xx ，解得 1x 或 6x 不等式 2 50bxxa 的解集为 | 16x xx 或 【练习练习 2-1】设一元二次不等式 2 10axbx 的解为 1 1 3 x ，则ab的值是（） A 6 B 5 C6D5 【答案】 ：C 探究三探究三恒成立问题恒成立问题 【例例 3】已知对于任意实数x， 2 2kxxk 恒为正数，求实数k

9、的取值范围 【解析】：显然 0k 时，不合题意，于是： 222 000 1 11( 2)4010 kkk k kkkk 或 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 3】已知对于任意实数x， 2 26kxx 恒为正数，求实数k的取值范围 【解析】：显然 0k 时， 2 2626kxxx 不恒为正数，不合题意，于是： 2 0 1 6( 2)460 k k k 【课后作业】【课后作业】 1解下列不等式： （1） 0273 2 xx （2） 026 2 xx （3） 0144 2 xx （4） 053 2 xx 2不等式 1 20 xx 的解是_ 3不等式 2 230 xx 的解是_ 4不等式 2 560

10、xx 的解是_ 5若代数式 26 2 xx 的值恒取非负实数，则实数 x 的取值范围是 6已知不等式 2 1680kxx 的解是 4 2 5 xx 或 ，则k _ 7已知不等式 2 0 xpxq 的解集是 32xx ，则 pq _ 8不等式 2 0axbxc 的解集为2 3x ，则 2 0axbxc 的解是_ 9已知一元二次方程 2 40 xxk ，求下列各条件下，实数k的取值范围 （1）方程有两个正根； （2）方程有一正一负两个根； （3）有两个大于 1 的根 10解不等式 （1） 0169 2 xx （2） 2 1 ()10(0,)xaaa a 为实数 11.解关于x的不等式： 2 20(

11、)xxaa为实数 【参考答案】【参考答案】 1 （1） 1 2 3 x ； （2） 12 23 xx 或 ； （3）无解； （4）全体数 21 2x 3 3x 或 1x 4 23x 5 12 23 xx 或 6 4 7 5 8 32x 9 （1）0 4x （2） 0 x （3）3 4x 10 （1） 3 1 xx （2）原不等式可变为： 1 ()()0 xa x a ， （1）当 1a 或 01a 时， ax a x 1 ； （2）当 1a 时，无解； （3）当 10 a 或 1a 时， a xax 1 11.【解析】 ：原不等式对应的一元二次方程为： 2 20 xxa ， 44a ， 当 1a 时， 440a ，原不等式无解； 当 1a 时，对应一元二次方程的两个解为： 11xa ， 所以 2 20 xxa 的解为： 1111axa 综上所述， 1a 时，原不等式无解； 当 1a 时，原不等式的解为： | 1 111xaxa