2021届青海省海东市2021届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题.docx

1、高三数学试卷（理科）高三数学试卷（理科） 第第卷卷 一、选择题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的 1设集合 2 1Ax x，37Bxx，则AB（） A1,1B 3 , 11, 7 C 7 1, 3 D 7 , 11, 3 2设复数2iz ，若 a a z R的虚部为 2，则a （） A10B5C5D10 3设向量3,2a ，,bm n ，若ab ，则（） A320nmB320mnC320nmD320mn 4双曲线 22 1mxy的渐近线方程为2yx ，则m（） A4B2C 1 2 D 1 4 5如图，根据已知的散点图，得到y关于x的线性回归方程为 0.2ybx，则

2、 b （） A1.5B1.8C2D1.6 6设，是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线下列说法不正确的是（） A若/a b，/a c，则/b cB若a，b，则/a b C若ab，则/bD若，b，a，ab，则a 7已知函数 sin 40f xx 图象的一个对称中心为 ,0 10 ，则（） A 2 5 B 3 10 C 3 5 D 7 10 8已知a，b都是正实数，则“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 3 3 b a ”的（） A充要条件B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件 9执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（） A252yx的图象上B232yx的图象

3、上 Ccos yx的图象上D2sin yx的图象上 10 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知3a ，15 cossinbAaB， 则ABC 面积的最大值是（） A 3 15 2 B 3 15 4 C 3 15 8 D 3 15 16 11早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四 面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等已知正二十面体是由 20 个等边 三角形所组成的正多面体， 共有 12 个顶点， 30 条棱， 20 个面， 正二十面体的体积公式为 3 155 5 12 Va （其中a为棱长） ，已知

4、一个正二十面体各棱长之和为30 3，则该正二十面体内切球的半径为（） A 35 2 B 35 4 C 35 6 D 35 12 12已知函数 32 1,0 235,0 xx xxx f x x ，若函数 27 a yf x恰有 3 个零点，则满足条件的整数a的个 数为（） A1B2C3D4 第第卷卷 二、填空题：二、填空题： 13若 234 log 3 log 4 log 5a ，则2_ 14若实数x，y满足约束条件 0 7510 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为_ 15黄金矩形的短边与长边的比值为黄金分割比 51 2 黄金矩形能够给画面带来美感，如图，在黄金矩 形画框ABCD中，设

5、BAC，BCA，则tan_ 16已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点点D为OA的中点， B，D在y轴上的投影分别为P，Q，则PQ的最小值是_ 三三、解答题解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须 作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17已知 n a是等差数列， 1 1a ， 8 50a （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 22 n n a的前n项和 n S 18菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，8BD ，6AC ，将ACD沿AC折到PAC的位 置，使得4PD

6、 ，如图所示 （1）证明：PBAC （2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 19某大型商场国庆期间举行抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满 200 元的顾客就可以从装有 3 个红 球，5 个白球（除颜色外，其它完全相同）的抽奖箱中无放回地摸出 3 个小球，摸到红球才能中奖，摸到 1 个红球奖励 1 元，摸到 2 个红球奖励 4 元，摸到 3 个红球奖励 10 元活动第一天有 700 人次购物满 200 元， 其中有 140 人次没有参与抽奖活动 （1）求活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率； （2）设每次参与抽奖活动所得奖金的金额为X元，求X的分布列，并求活

7、动第一天该商场投入奖金总金 额的数学期望 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 5 5 ，且焦距为 8 （1）求C的方程； （2）设直线l的倾斜角为 3 ，且与C交于A，B两点，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值 21已知函数 ln1 x f xex （1）求 f x的单调性； （2）若对任意的0,x， x f x a 恒成立，求a的取值范围 （二）选考题：（二）选考题： 22选修 4-4：坐标系与参数方程 太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、 武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，

8、其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因 而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的极坐标中，阴阳鱼图案中实线部分中的弧 AB， OB， OA所在 圆的圆心分别为0,0， 1, 2 ， 3 1, 2 ，曲线 1 M是弧 AB，曲线 2 M是弧 OB，曲线 3 M是弧 OA （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在M上，且3OP ，求P的极坐标 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 f xxaxax （1）当0a 时，求不等式 2f x 的解集； （2）若1,x 时， 0f x ，求a的取值范围 参考答案参考答案 1D 【解析】因

9、为, 11,A ， 7 3 Bx x ， 所以 7 , 11(, 3 )AB 2A【解析】因为2iz ，所以 2i 5 aaa z ，则2 5 a ，解得10a 3B【解析】因为ab ，所以320a bmn 4A【解析】由题意可得 2 1 a m ， 2 1b ，则 2 2 4 b m a 5D 【解析】因为 12345 3 5 x ， 23578 5 5 y ， 所以 530.2b，解得 1.6b 6C 【解析】由平行公理知 A 对； 垂直于同一平面的两条直线平行，故 B 对； 若ab，a，则/b或b在平面内，故 C 错误； 由面面垂直性质定理知 D 对 7C 【解析】 2 sin0 105

10、 f ，0 ， 3 5 8A 【解析】由 33 1 loglog b a ，得ab，则ab ， 从而33 ab ，即 1 3 3 b a ； 由 1 3 3 b a ，得ab， 因为0a ，0b ，所以 11 0 ab ， 所以 33 11 loglog ab ，即 33 1 loglog b a 故“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 3 3 b a ”的充要条件 9B 【解析】由程序框图知，第一次输出0,1，第二次输出1, 1， 第三次输出2, 1，第四次输出3,1， 经检验得，这些点都在函数232yx的图象上，选 B 10B 【解析】因为15 cossinbAaB，所以15si

11、ncossinsinBAAB， 所以15cossinAA，即tan15A ， 则 15 sin 4 A ， 1 cos 4 A 由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 即 22 113 92 222 bcbcbcbcbc，则6bc ， 故ABC的面积 11153 15 sin6 2244 SbcA 11B 【解析】由题可知，正二十面体的棱长3a ， 设正二十面体内切球的半径为r， 所以 22 155 5 13 20 3412 ara ，解得 35 4 r 12C 【解析】当0 x 时， 235 xx f x 单调递增， 此时函数的值域为3, 当0 x 时， 2 32fxxx， 由 0f

12、x，得 2 3 x ，则 max 231 327 fxf 因为 32 0011 ，且函数 27 a yf x恰有 3 个零点， 所以 31 1 2727 a ，即2731a， 故整数a的个数为 3 135【解析】因为 22 22 22 log 4 log 5 log 3log 5 log 3 log 4 a ，所以25 a 1415 【解析】作出可行域（图略）知， 当直线2zxy经过点5,5A时，z取得最大值，且最大值为 15 15 1 2 【解析】由题意可得， 251 tan 251 ， 51 tan 2 ， 则 5151 1 22 tan 25151 1 22 164 2 【解析】如图，设

13、直线l的方程为2xmy， 11 ,A x y， 22 ,B xy 联立 2 2 8 xmy yx 整理得 2 8160ymy， 则 12 8yym， 12 16y y 因为D为OA的中点，所以 11 , 22 xy D ，则 1 0, 2 y Q ， 2 0,Py， 从而 12 1 2 24 2 22 y yy PQOPOQy， 当且仅当 1 2 2 y y，即 1 4 2y ， 2 2 2y 或 1 4 2y ， 2 2 2y 时，等号成立 17解： （1）因为 1 1a ， 8 50a ，所以公差 50 1 7 8 1 d ， 则 n a的通项公式为1 7176 n ann （2）由（1）

14、知2222 76 nn n an， 所以 12 2 1 2 1 76 22752 1 22 n n n nn Snn 18 （1）证明：因为ABCD是菱形，所以ACBD， 则BEAC，PEAC 因为BE 平面PBE，PE 平面PBE，且BEPEE， 所以AC 平面PBE 因为PB 平面PBE，所以PBAC （2）解：取DE的中点O，连接OP，取CD的中点F，连接OF 因为8BD ，所以4DEPE 因为4PD ，所以 PDPE，所以PODE 由（1）可知AC 平面PBE， 所以平面PBD 平面ABCD，则PO 平面ABCD 故以O为坐标原点，以OF ，OD ，OP 的方向分别为x，y，z轴的正方

15、向， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 由题中数据可得3, 2,0A ，0, 6,0B，3, 2,0C， 0,2,0D，0,0,2 3P， 则3, 4,0ABDC ， 0,6,2 3BP ， 0, 2,2 3DP 设平面PAB的法向量为 111 ,mx y z ，则 11 11 340 62 30 m ABxy m BPyz ， 令4x ，得 4,3, 3 3m 设平面PCD的法向量为 222 ,nxy z ，则 22 22 340 22 30 n DCxy n DPyz ， 令4x ，得 4,3, 3n 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为， 则 22 2222 4 43 3 3 3

16、34 91 cos 91 433 3433 m n m n 19解： （1）活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率为 140 10.8 700 （2）X的可能取值为 0，1，4，10， 3 5 3 8 5 0 28 C P X C ， 12 35 3 8 15 1 28 C C P X C ， 21 35 3 8 15 4 56 C C P X C ， 3 3 3 8 1 10 56 C P X C ， 则X的分布列为 X01410 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以 51515125 01410 2828565614 EX ， 故活动第一天该商场投入红

17、包总金额的数学期望为700 1401000EX元 20解： （1）依题意可知 2 2 222 2 5 1 5 28 b a c abc ，解得 2 2 20 4 a b 故C的方程为 22 1 204 xy （2）依题意可设直线l的方程为3yxm， 联立 22 3 1 204 yxm xy ，整理得 22 1610 35200 xmxm， 则 22 30064 5200mm ，解得88m 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 5 3 8 m xx ， 2 12 520 16 m x x ， 222 2 1212 755205320 1 342 6444 mmm ABxxx x

18、， 原点到直线l的距离 21 3 mm d ， 则AOB的面积 2 2 2 5325120 115320 222416 m mm SdAB ， 当且仅当 2 32m ，即4 2m 时，AOB的面积有最大值，且最大值为2 5 21解： （1）由题意， 1 ln1 1 x fxex x ，1,x 令 1 ln1 1 g xx x ，则 22 11 1 11 x gx x xx ， 所以 g x在1,0上单调递减，在0,上单调递增，则 01g xg， 从而 0fx，所以函数 f x在1, 上单调递增 （2）由题意，ln1 x x ex a 对0,x恒成立 当0a 时，0,x ， 00f xf，0 x

19、 a ，符合题意 当0a 时，ln1 x x ex a 可化为ln10 x axxe， 令 ln1 x h xaxxe，0,x， 则 2 1 11 x xx x aaex hxexe xxe ，其中10 x xe 令 2 1 x p xaex，0,x，则 p x在0,上单调递增， 当1a 时， 010p xpa ， 所以对0,x ， 0h x，从而 h x在0,上单调递增， 所以对任意0,x， 00h xh， 即不等式ln1 x x ex a 在0,上恒成立 当01a时， 010pa ， 10pae及 p x在0,上单调递增， 所以存在唯一的 0 0,1x 使得 0 0p x，且当 0 0,x

20、x时， 0 0p x， 从而当 0 0,xx时， 0h x，所以 h x在 0 0,x上单调递减， 则当 0 0,xx时， 00h xh，即ln1 x x ex a ，不符合题意 综上所述，a的取值范围为,01, 22解： （1）由题意得， 1 3 :2, 22 M ， 2 :2sin0, 2 M ， 3 3 :2sin, 2 M （2）解方程 2sin30, 2 ，得 3 ，此时P的极坐标为 3, 3 ； 解方程 3 2sin3, 2 ，得 4 3 ，此时P的极坐标为 4 3, 3 故P的极坐标为 3, 3 ， 4 3, 3 23解： （1）当0a 时，原不等式可化为 2 2xx，即 2 20 xx， 解得21x ， 所以11x ，即原不等式的解集为1,1 （2）当1a 时，因为1,x ， 所以由 0f x ，可得0 xax xa， 即10 xax，显然恒成立，所以1a 满足题意； 当1a 时， 1, 1 1 , xxaxa f x xaxxa ， 因为当1xa 时， 0f x 显然不能成立，所以1a 不满足题意 综上，a的取值范围是, 1