1987数学二真题答案解析（试卷三）.pdf

1、一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） (1) 设)1ln(axy, 其中a为非零常数，则 2 2 )1 ( , 1ax a y ax a y . (2) 曲线yarctgx在横坐标为 1 点处的切线方程是 4 2 2 1 xy； 法线方程是 4/ )8(2xy. (3) 积分中值定理的条件是( ) , f xa b在闭区间上连续，结论是 , ,( )( )() b a a bf x dxfba 使得 (4) 3 2 () 1 n n n line n . (5) dxxf)(cxf)(； b a dxxf)2()

2、2( 2 1 )2( 2 1 afbf. 二、 （本题满分二、 （本题满分 6 分）分） 求极限 0 11 lim() 1 x x xe 解：解： 2 00000 111111 lim()limlimlimlim 1(1)222 xxx xx xxxxx exexex xex exxx . 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） 设 )cos1 (5 )sin(5 ty ttx ，求 2 2 ,. dy d y dx dx 解：解：因5sin ,5 5cos dydx tt dtdt ， 5sin )sin 5(1 cos1 cos dytt dxtt （0+ ） ，故 t t dx

3、dy cos1 sin ， 且 2 22 sin1 () 1 cos5(1 cos ) d ydtdt dxdttdxt 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 计算定积分 1 0 arcsinxdxx. 解：解： 22 111 21 0 22000 111 arcsinarcsin 2242 11 xx xxdxxxdxdx xx ， 1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答数学试题参考解答 数数 学（试卷） 学（试卷） 令sinxt， 有 22 1 2 200 sin cos cos4 1 xt dxtdt t x ， 因此 1 0 1

4、arcsin 42 48 xxdx . 五、 （本题满分五、 （本题满分 8 分）分） 设D是曲线sin1yx与三条直线0 x ,x,0y 围成的曲边梯形.求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积. 解：解： 2 2 0 3 (sin1)4 2 Vxdx . 六、证明题（本题满分六、证明题（本题满分 10 分）分） (1)（5 分）分）若( )f x在( , )a b内可导，且导数)(x f 恒大于零，则( )f x在( , )a b内单调增加. 证：证： 12 ,( , )x xa b，不妨设 12 xx，则( )f x在 12 ,x x上连续，在 12 ( ,)x x内可导， 故由拉格朗日

5、中值定理， 12 ( ,)( , )x xa b ，使得 2121 ()( )( )()f xf xfxx. 由于)(x f 在( , )a b内恒大于零，所以( )0f，又 21 0 xx，因此 21 ()()0f xf x， 即 21 ()( )f xf x，表明( )f x在( , )a b内单调增加. (2)（5 分）分）若( )g x在xc处二阶导数存在，且0)( c g,0)( c g，则( )g c为( )g x 的一个极大值. 证：证： 因 ( )( ) ( )lim0 xc g xg c g c xc ， 而0)( c g， 故 ( ) lim0 xc g x xc .由极限

6、的保号性， 0，当(, )xcc时，有 ( ) 0 g x xc ，即( )0g x，从而( )g x在(, )cc单增； 当( ,)xc c时，有 ( ) 0 g x xc ，即( )0g x，从而( )g x在(, )cc单减. 又由0)( c g知，xc是( )g x的驻点，因此( )g c为( )g x的一个极大值. 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 计算不定积分 xbxa dx 2222 cossin ( 其中, a b为不全为零的非负数 ) 解：解： 当0a 时，原式= 2 22 11 sectanxdxxc bb ； 当0b 时， 原式= 2 22 11 ccot

7、csxdxxc aa ； 当0ab 时，原式= 2 222 2 (tan ) sec11 arctan(tan ) tan (tan )1 a dx xdxa b xc a axbababb x b . 八、 （本题满分八、 （本题满分 15 分）分） (1)（7 分）分）求微分方程yx dx dy x，满足条件0| 2x y的解 解：解：原方程即 1 1 dy y dxx ，故其通解为 11 2 1 1 ()() 2 dxdx xx yeedxcxc x . 因0| 2x y，所以1c .于是所求初值问题的解为 x x y 1 2 . (2)（8 分）分）求微分方程 x exyyy 2 的通

8、解. 解：解：由特征方程 2 210rr ，知其特征根根为 1,2 1r. 故对应齐次方程的通解为 12 () x yCC x e ，其中 12 ,C C为任意常数. 设原方程的特解为 *( ) () x y xe axb，代入原方程可得a 1 4 ，b 1 4 . 因此，原方程的通解为 *2 12 ( )() x y xyyCC x e 1 4 (1) x xe. 九、选择题（每小题九、选择题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） (1).xexxxf x -,sin)( cos 是 （D） （A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数 (2). 函数( )sinf xxx

9、(D) （A）当x时为无穷大（B）当x时有极限 （C）在),(内有界（D）在),(内无界 (3) 设( )f x在xa处可导，则 x xafxaf x )()( lim 0 等于(B) （B）)(2a f （C）0（D）)2( a f 在第一象限内，求曲线1 2 xy上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成 的面积为最小，并求此最小面积. 解：解： 设切点的横坐标为a， 则切线方程为 2 (1)2 ()yaa x a， 即 2 21yaxa 故所围面积 23 1 22 0 1112 (1)(1) 224243 aaa saxdx aa . 令0s得驻点a 3 3 . 由于 3/3 0 a s ，故所求点的坐标为 3 2 (, ) 33 ，其最小值为 3/3a s 42 3 93 . （A）?f (a) 十、（本题满分 10 分） (4) 设. A 为? n 阶方阵, 且Aa 0, 而?A*是? A 的伴随矩阵， 则 * A=(C) (A)a(B)1/a(C) n1 a(D) n a