1988数学一真题答案解析（试卷一）.pdf

1、1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 数 学（试卷一） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求幂级数 1 (3) 3 n n n x n 的收敛域. 解：解：因 1 1 (3) 1(1) 3 limlim33 , (3)3(1)3 3 n n n nn n x nn xx xn n 故 1 31 06 3 xx即时， 幂级数收敛. 3 分 当0 x 时，原级数成为交错级数 1 1 ( 1)n n n ，是收敛的. 4 分 当6x 时，原级数成为调和级数 1

2、1 n n ，是发散的. 5 分 所以，所求的收敛域为0,6. (2) 已知 f(x)= e 2 x ,f( )x=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域. 解：解：由 2 ( ) 1 x ex ，得 ( )ln(1)xx.3 分 由ln(1)0 x，得11x即0 x . 5 分 所以( )ln(1)xx，其定义域为(,0). (3)设 S 为曲面1 222 zyx的外侧， 计算曲面积分 s dxdyzdxdxydydzxI 333 . 解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 222 3()Ixyz dv （其中是由S所围成的区域） 2 分 21 22 000 3dsi

3、ndrrdr 4 分 12 5 .5 分 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若 f(t)= x limt tx x 2 ) 1 1 ( ，则( )f t 2 (21) t te (2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1 , 1上的定 f(x)= 01, 2 10 , 3 x xx ,则 f(x)的付立叶级 数在 x=1 处收敛于 2 3 . (3) 设 f(x)是连续函数，且 1 0 3 ,)( x xdttf则 f(7)= 1 12 . (4) 设 4*4 矩阵 A=),( 4, 3, 2 ，B=),( 4, 3, 2

4、 ，其中， 4, 32, ,均为 4 维列向量， 且已知行列式 , 1, 4BA则行列式BA=.40. 三、选择题三、选择题 ( 本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若函数 y=f(x)有 2 1 )( 0 x f，则当0 x时，该函 x= 0 x处的微分 dy 是 (B) (A) 与x等价的无穷小(B) 与x同阶的无穷小 (C) 比x低阶的无穷小(D) 比x高阶的无穷小 (2) 设( )yf x是方程042 yyy的一个解，若( )0f x ，且0)( 0 x f，则函数 ( )f x在点 0 x(A) (A) 取得极大值(B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单

5、调增加(D) 某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域 2222 1: Rzyx,; 0z及 2222 2: Rzyx, 0, 0, 0zyx则 (C) (A) 12 4xdvxdv (B) 12 4ydvydv (C) 12 4zdvzdv (D) 12 4xyzdvxyzdv (4) 若 n n n xa) 1( 1 在 x=-1 处收敛， 则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛(B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 12 ,(3) s sn 线性无关的充分必要条件是(D) (A) 有一组不全为 0 的数 12 , s k kk使 1122 0

6、 ss kkk. (B) 12 , s 中任意两个向量都线性无关. (C) 12 , s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. (D) 12 , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 四四(本题满分本题满分 6 分分) 设)()( x y xg y x yfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 22 2 uu xy xx y . 解：解：. uxyyy fgg xyxxx 2 分 22 23 1 . uxyy fg xyyxx 3 分 2 22 . uxxyy fg x yyyxx 5 分 所以 22 2 0 uu xy xx y . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分

7、分) 设函数 y=y(x)满足微分方程,223 x eyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线 1 2 xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为 2 12 xx YCeC e. 2 分 设原方程的特解为 * , x yAxe 3 分 得2A . 4 分 故原方程通解为 22 12 ( )2 xxx y xCeC exe.5 分 又已知有公共切线得 00 |1,|1 xx yy ，7 分 即 12 12 1, 21 cc cc 解得 12 1,0cc. 8 分 所以 2 (1 2 ). x yx e 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 设位于点(0，1)的质

8、点 A 对质点 M 的引力大小为 2 r k (k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之 间的距离)， 质点 M 沿曲线 2 2xxy自 B(2,0)运动到 O(0， 0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解：解：0,1MAxy 2 分 22 (1) .rxy 因引力f 的方向与MA 一致， 故 3 ,1 k fxy r . 4 分 从而 3 (1) BO k Wxdxy dy r 6 分 1 (1) 5 k. 9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 已知PBAP ,其中 112 012 001 , 100 000 001 PB求 A 及 5 A. 解：解：先求

9、出 1 100 210 411 P . 2 分 因PBAP ，故 1 100100100 210000210 211001411 APBP 100100100 200210200 201411611 . 4 分 从而 5 5 5111511 AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个 个 （）() ()=. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 已知矩阵 x A 10 100 002 与 100 00 002 yB相似， (1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足BAPP 1 的可逆矩阵P. 解：解：(1) 因A与B相似，故| |EAEB，即 1 分 200200 0100

10、 01001 y x ， 亦即 22 (2)(1)(2)(1)xyy. 比较两边的系数得0,1xy.此时 200 001 010 A ， 200 010 001 B . 3 分 (2) 从B可以看出A的特征值2,1, 1.4 分 对2，可求得A的特征向量为 1 1 0 0 p . 对1，可求得A的特征向量为 2 0 1 1 p . 对1 ，可求得A的特征向量为 3 0 1 1 p . 7 分 因上述 123 ,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令 123 100 (,)011 011 p pp P，则P可逆，且有BAPP 1 . 8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分)

11、 设函数)(xf在区间ba,上连续， 且在),(ba内有0)( x f.证明： 在),(ba内存在唯一 的， 使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积 1 s是曲线)(xfy 与两直 线axy),(所围平面图形面积 2 s的 3 倍. 证：存在性证：存在性 在 , a b上任取一点t，令 b t t a dxtfxfdxxftftF)()(3)()()( ( )()( )3( )( )() tb at f t taf t dxf x dxf t b t 3 分 则( )F t在 , a b上连续. 又因0)( x f,故( )f x在 , a b上是单调增加的. 于是在( , )

12、a b内取定点c，有 ( )3 ( )( )3 ( )( )3 ( )( ) bcb aac F af xf a dxf xf a dxf xf a dx 11 3 ( )( )3( )( ) ()0, b c f xf a dxff abccb . ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) bcb aac F bf bf x dxf bf x dxf bf x dx ( )( ) c a f bf x dx 22 ( )() ()0,f bfcaac. 5 分 所以由介值定理知，在( , )a b内存在 ,使0)(F，即.3 21 SS 6 分 唯一性唯一性 因( )( )()3()

13、0F tf ttabt， 8 分 故)(tF在( , )a b内是单调增加的.因此，在( , )a b内只有一个 , 使.3 21 SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分) (1) 设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于 27 19 ，则 事件A在一次试验中出现的概率为 1 3 . (2) 在区间) 1 , 0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 5 6 ”的概率为 17 25 . (3) 设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=due u x 2 2 2 1 ， 9938. 0)5 . 2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量X的概率密度函数为 )1 ( 1 )( 2 x xfx ，求随机变量 3 1XY的概率密 度函数)(yfY. 解：解：因Y的分布函数 ( )() Y FyP Yy1 分 333 11(1) PXyPXyP Xy 2 分 33 3 (1)(1) 2 11 arctanar ( ctan(1 1) ) 2 yy dx xy x . 4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY 3 6 3(1) ( ) 1 (1) Y dy Fy dyy . 6 分