2002年数学三真题答案解析.pdf

1、1 2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】 1 1 2a 【详解】ln“”里面为1“ ”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1 (1 2 ) 1 2 211 limlnlimln 1 (1 2 )(1 2 ) nna a nn nna nana (1 2 ) 11 limln 1 1 2(1 2 ) na n ana 11 ln 1 21 2 e aa (2)【答案】 2 1 2 0 ( , ) x x dxf x y dy 【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域 1 D与 2 D，将它们的

2、并集记为D 于是 111 422 1 0 4 ( , )( , ) y yy dyf x y dxdyf x y dx ( , ) D f x y d 再将后者根据积分定义化为如下形式，即 2 1 0 2 xyxx从， 从，所以 2 1 2 0 ( , )( , ). x x D f x y ddxf x y dy (3)【答案】1 【详解】 122 212123 , 304134 aa Aa a 由于A与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有 2 2334 11 aaa a ，得2334,1.aaa 或,(0)Akk(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出

3、) 即231 341 aa ak a ，得23 34 aka ak ak ，得1.(1)ak (4)【答案】0.02 【详解】 2 X、 2 Y和 2 X 2 Y都是0 1分布，而0 1分布的期望值恰为取1时的概率p 由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得 2 X的可能取值为 0 和 1，且 2 Y的可 能取值也为 0 和 1，且X和Y的边缘分布为 00.070.180.150.4P X ；10.080.320.200.6P X ； 10.070.080.15P Y ；00.180.320.5P Y ； 10.150.200.35P Y ； 故有 X01 0.40.6 Y101 0.150

4、.50.35 22 0,00,00.18,P XYP XY 22 0,10,10,10.070.150.22,P XYP XYP XY 22 1,01,00.32,P XYP XY 22 1,11,11,10.080.200.28,P XYP XYP XY 而边缘分布律： 2 000.4P XP X， 2 110.6P XP X， 2 000.5P YP Y， 2 1110.150.350.5P YP YP Y 所以， 22 (,)XY的联合分布及其边缘分布为 3 2 Y 2 X 01 0018022040 1032028060 0500501 由上表同理可求得 22 X Y的分布律为 22

5、X Y 01 P072028 所以由0 1分布的期望值恰为取 1 时的概率p得到： 2222 222222 ()0.5()0.60,(0.28 cov() ()0.280.6 0.50.02 E XE YE X Y XYE X YE XE Y ，） （，） （） (5)【答案】1X 【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只 需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 () ()( )1 x E Xxf x dxxedx 样本均值 1 1 n i i XX n 用样本均值估计期望有EXX，即 1 1 1 n i i X n ， 解

6、得未知参数的矩估计量为 1 1 11 n i i XX n 二、选择题二、选择题 (1)【答案】(B) 【详解】方法方法 1：论证法由题设( )f x在开区间( , )a b内可导，所以( )f x在( , )a b内连续， 因此， 对于( , )a b内的任意一点， 必有lim ( )( ). x f xf 即有lim ( )( )0 x f xf 故 选(B) 方法方法 2：排除法 (A)的反例： 1( , ( ) 1 xa b f x xa ，有( )1,( )1,( ) ( )10f af bf a f b ， 4 但( )f x在( , )a b内无零点 (C)与(D)的反例， (

7、1,1 ( ) 11 xx f x x ( 1)(1)1ff，但( )1fx(当 ( 1,1)x )，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论故选(B) (2)【答案】(D) 【详解】方法方法 1：A是m n矩阵，B是n m矩阵，则AB是m阶方阵，因 ()min( ( ), ( )r ABr A r B 当mn时，有()min( ( ), ( )r ABr A r Bnm(系数矩阵的秩小于未知数的 个数)方程组0AB x 必有非零解，故应选(D) 方法方法 2：B是n m矩阵, 当mn时,，则( )r Bn，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方 程组0Bx 必有非零解，即存在 0

8、0 x ，使得 0 0Bx ，两边左乘A，得 0 0ABx ， 即0ABx 有非零解，故选(D) (3)【答案】(B) 【详解】方法方法 1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A，A是n阶实对称矩阵， 故 T AA设 1 T P APB ，则 111 () TT TTTTT BP A PP APP A P 上式左乘 1 T P ，右乘 T P，得 111 ()()() TTTTTT PBPPP A PP ，即 1 TT APBP ， 所以 1 () TT APBP 两边左乘 T P，得 1 ()() TTTT P PBPP 得() TT B PP 根据特征值和特征向量的定义，知 1 ()TBP

9、 AP 的对应于特征值的特征向量为 T P，即应选(B) 方法方法 2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定 义，A，A是n阶实对称矩阵，故 T AA设 1 T P AP 属于特征值的特征 5 向量为，即 1 T P AP ，其中 111 TTT TTT P APP A PP AP 对(A)，即令 1 P ，代入 111 () T T P APPP 对(B)， 1 () T TT P APP 1 () T TT P A PP 1 () TTT P A PP T P A() T P 成立故应选(B) (4)【答案】C 【分析】(i) 2 变量的典型

10、模式是： 2222 12n XXX，其中 i X要求满足： i X相互 独立，(0,1) i XN称 2 为参数为n的 2 变量 (ii)F变量的典型模式是： 1 2 / / X n F Y n ，其中,X Y要求满足：X与Y相互独立， 22 12 (),()XnYn，称F为参数为 12 ,n n的F变量 【详解】方法方法 1：根据题设条件，X和Y均服从(0,1)N故 2 X和 2 Y都服从 2(1) 分布， 答案应选(C) 方法方法 2：题设条件只有X和Y服从(0,1)N，没有X与Y的相互独立条件因此， 2 X与 2 Y 的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确 题中条件既没有X与Y独立

11、，也没有(, )X Y正态，这样就不能推出XY服从正 态分布的选项(A)根据排除法，正确选项必为(C) 三三【详解】 22 0000 00 3 arctan(1)arctan(1) limlim 1 (1 cos ) 2 xuxu xx t dt dut dt du xx x 等 2 0 0 2 arctan(1) lim 3 2 x x t dt x 洛洛 2 0 arctan(1) 2 lim 3 x xx x 2 3 46 四四【详解】方法方法 1：用一阶微分形式不变性求全微分 123 duf dxf dyf dz ( , )zz x y由 xyz xeyeze所确定，两边求全微分，有

12、()()()()() xyzxyz d xeyed zed xed yed ze 6 xxyyzz xe dxe dxye dye dyze dze dz， 解出 (1)(1) ,(10). (1) xy z exdxeydy dzz ez 设 所以du 123 (1)(1) (1) xy z exdxeydy f dxf dyf ez 1323 (1)(1) (1)(1) xy zz exey ffdxffdy ezez 方法方法 2： 1323 , uzuz ffff xxyy (根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到 z x ， z y 由 xyz xeyeze两边对x求

13、偏导数，有 (), xxzz z xeezee x 得 xx zz zxee xzee ，(10)z 设类似可得， yy zz zyee yzee ，代入, uu xy 表达式 1323 (),() xxyy zzzz uxeeuyee ffff xzeeyzee ， 再代入 uu dudxdy xy 中，得 du 1323 (1)(1) (1)(1) xy zz exey ffdxffdy ezez 五五【详解】首先要从 2 (sin) sin x fx x 求出( )f x 命 2 sinux，则有sin xu，arcsinxu，于是 arcsin ( ) u f u u (通过换元 求出

14、函数的表达式) arcsin ( ) 11 xxx f x dxdx xxx arcsin 1 x dx x sin 2sin cos cos xt t ttdt t (换元积分法) 7 sinttdt 2cossintttC(分部积分法) 21arcsinxxxC 六六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:( )()yf x axb，( )0f x 与直线 ,xa xb及x轴围成平面图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积 2 ( ) b a Vf xdx. 【详解】(1) 2 2 25 1 4 2(32) 5 a Vxdxa 2 2 2224 2 0 202 a Vaax dyaa (2) 5

15、4 12 4 (32) 5 VVVaa 根据一元函数最值的求法要求驻点，令 3 4(1) 0 dV aa da =, 得1a . 当01a时0 dV da ，当12a时0 dV da ，因此1a 是V的唯一极值点且 是极大值点，所以是V的最大值点， 129 max 5 V 七七【解】(1) 36933 1 ( )11 3(3 )!(3 )! nn n xxxxx y x nn + ！ 6！ 9！ ， 由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得 33 11 ( )(1) (3 )!(3 )! nn nn xx y x nn 31 1 3 (3 )! n n nx n 31

16、 1(3 1)! n n x n ， 同理得 32 1(3 2)! n n x y n 从而( )( )( )y xy xy x 32313 111 ()()(1) (32)!(31)!(3 )! nnn nnn xxx nnn 1 1 ! n n x n (由 x e的麦克劳林展开式) x e 这说明， 3 0 ( ) (3 )! n n x y x n 是微分方程 x yyye的解，并且满足初始条件 8 3 1 0 (0)1 (3 )! n n y n 1， 31 1 0 (0) (31)! n n y n 0. (2)微分方程 x yyye对应的齐次线性方程为0yyy，其特征方程为 2

17、10 ，其特征根为 13 22 i，所以其通解为 2 12 33 cossin 22 x yeCxCx . 另外，该非齐次方程的特解形式为 x yce，代入原非齐次方程得 xxxx cececee， 所以 1 3 c .故微分方程 x yyye的通解为 2 12 331 cossin 223 x x yeCxCxe . 故 22 1212 1333331 cossinsincos 2222223 xx x yeCx CxeCxCxe 22 2112 1331331 (2)sin(2)cos 2222223 xx x eCCxeCCxe 由初始条件(0)1,(0)0y y 得 0 0 2 121

18、 00 0 22 2112 12 3311 1cos0sin0 2233 1331331 0(2)sin0(2)cos0 2222223 131 223 eCCeC eCCeCCe CC 解得 1 12 1 1 3 131 0 223 C CC ， 于是得到惟一的一组解： 12 2 ,0. 3 CC从而得到满足微分方程 x yyye及初始 条件(0)1,(0)0y y 的解，只有一个，为 9 2 231 cos 323 x x yexe 另一方面，由(1)已知 3 0 ( ) (3 )! n n x y x n 也是微分方程 x yyye及初始条件 (0)1,(0)0y y 的解，由微分方程解

19、的唯一性，知 3 2 1 231 1cos(). (3 )!323 xn x n x exex n 八八【详解】方法方法 1：因为( )f x与( )g x在, a b上连续，所以存在 1 x 2 x使得 1 , ()max( ) xa b f xMf x ， 2 , ()min( ) xa b f xmf x ， 满足( )mf xM又( )0g x ，故根据不等式的性质 ( )( ) ( )( )mg xf x g xMg x 根据定积分的不等式性质有 ( )( ) ( )( ), bbb aaa mg x dxf x g x dxMg x dx 所以 ( ) ( ) . ( ) b a

20、b a f x g x dx mM g x dx 由连续函数的介值定理知，存在 , a b，使 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx f g x dx 即有( ) ( )( )( ) bb aa f x g x dxfg x dx 方法方法 2： 因为( )f x与( )g x在, a b上连续， 且( )0g x ， 故( ) ( ) b a f x g x dx 与( ) b a g x dx 都 存在，且( )0. b a g x dx 记 ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx h g x dx ，于是( ) ( )( )( ),

21、bbb aaa f x g x dxhg x dxhg x dx 即 ( ( ) ( )0 b a f xh g x dx 因此必存在( , )a b使( )fh不然，则在( , )a b内由连续函数的零点定理知要么 10 ( )f xh恒为正， 从而根据积分的基本性质得( ( ) ( )0 b a f xh g x dx ； 要么( )f xh 恒为负，同理得( ( ) ( )0 b a f xh g x dx ，均与( ( ) ( )0 b a f xh g x dx 不符由此推 知存在( , )a b使( )fh，从而 ( ) ( )( )( ) bb aa f x g x dxfg x

22、 dx 九九【详解】方法方法 1：对系数矩阵记为A作初等行变换 21 31 1 00 00 00 n abbbabbb babbbaab Abbabbaab bbbabaab 行行 行行 行行 当(0)ab时， 1,0r AAX的同解方程组为 12 0 n xxx，基础解 系中含有1n个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取 23 ,., n x xx为自 由 未 知 量 ， 分 别 取 23 1,0,.,0 n xxx， 23 0,1,.,0 n xxx， , 23 0,0,.,1 n xxx得方程组1n个线性无关的解 121 1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1

23、TTT n ， 为 基 础 解 系 ， 方 程 组0AX 的 全 部 解 为 1 12211nn Xkkk ， 其 中 (1,2,1) i k in是任意常数 当ab时， 00 00 00 abbb baab Abaab baab 2 3 1100 1010 1001 a b a b na b abbb 行/() 行/() 行/() 12 13 1 (1)000 1100 1010 1001 b b nb anb 行行 行行 行行 当ab且(1)anb 时，(1)0Aanb，( ),0r An AX仅有零解. 11 当(1)anb 时， 1,0r AnAX的同解方程组是 12 13 1 0,

24、0, 0, n xx xx xx 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取 1 x为自由未知量，取 1 1x ，得方程组1个 非零解1,1,1 T ，即其基础解系，故方程组的全部解为 Xk，其中k是任意常数 方法方法 2：方程组的系数行列式 abbb babb Abbab bbba (1) (1) 2. (1) 1 (1) anbbbb anbabb n anbbab anbbba 把第 ， 列 加到第 列 1 1 1(1) 1 1 bbb abb anbbab bba 提取第 列的公因子 1 21 000 3-1 (1) 000 -1 000 bbb ab anbab n ab 第 行第 行

25、第 行 第 行 第 行 第 行 1 (1) ()nanb ab (1)当ab且(1)anb 时，0A ，( )r An方程组只有零解 (2)当(0)ab时， a a aa a a aa Aa a aa a a aa 21 0 0 00 31 0 0 00 1 0 0 00 a a aa n 第 行 第行 第 行 第行 第 行 第行 1 1 11 0 0 00 1 10 0 00 0 0 00 a 第行 12 方程组的同解方程组为 12 0 n xxx 基础解系中含有1n个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取 23 ,., n x xx为自由未知量， 分别取 23 1,0,.,0

26、n xxx， 23 0,1,.,0 n xxx， , 23 0,0,.,1 n xxx得方程组1n个线性无关的解 121 1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1 TTT n ， 为 基 础 解 系 ， 方 程 组0AX 的 全 部 解 为 1 12211nn Xkkk ， 其 中 (1,2,1) i k in是任意常数 (1)当(1) (0)anb b 时， (1) (1) (1) (1) n bbbb bn bbb Abbn bb bbbn b 1,2,., 1 1111 1111 1111 1111 n b n n n n 行 分别 1111 21 00 31 00 1 00

27、n nn nn n nn 行行 行行 行行 1111 1100 2,., 1010 1 1001 n n n 行 分别 0000 1100 2,., 1010 1001 n 把第行都 依次加到第1行 1r An，其同解方程组是 12 13 1 0, 0, 0, n xx xx xx 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取 1 x为自由未知量，取 1 1x ，得方程组1个 非零解1,1,1 T ，即其基础解系，故方程组的全部解为 13 Xk，其中k是任意常数 十十【详解】(1) 设是A的任意特征值，是A的属于的特征向量，根据特征值、特征 向量的定义，有,0,A 两边左乘A，得 2 AA 2 +2

28、*得 22 22AA 因 2 20AA，0，从而上式 22 220AA ， 所以有 2 20，故A的特征值的取值范围为0, 2 因为A是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由A的特征值 组成，且( )( )2r Ar ，故A的特征值中有且只有一个 0. (若没有 0，则 2 2 2 ，故( )( )3r Ar 与已知矛盾；若有两个 0，则 2 0 0 ， 故( )( )1r Ar 与已知矛盾；若三个全为 0，则 0 0 0 ，故( )( )0r Ar 与已知 矛盾). 故 2 2 0 A 即A有特征值 123 2,0 (2)AkE是实对称矩阵，A有特征值 123 2,0 ，知Ak

29、E的特征值为 2,2,kkk因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故 AkE正定 20 0 k k 2 0 k k 2k 故2k 时AkE是正定矩阵 十一十一【分析】(, )X Y有四个可能值，可以逐个求出在计算过程中要注意到取值与U的值 有关U的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即 14 可 【详解】(, )X Y只有四个可能值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)(1,1) 和依照题意，有 1 ( 2)1 1,11,11; 2( 2)4 P XYP UUP U 1,11,10;P XYP UUP 1 1,11,111; 2 P XYP UUP

30、U 1 1,11,11. 4 P XYP UUP U 于是，(, )X Y分布为 Y X 11 1 1 4 0 1 1 2 1 4 (2) 因为 22 ()() ()D XYE XYE XY， 所以我们应该知道XY和 2 ()XY 的分布律 对离散型随机变量，XY的取值可能有2,0,2; 2 ()XY的取值可能有 0 和 4； 1 21,1, 4 P XYP XY 11 01,11,10, 22 P XYP XYP XY 1 21,1, 4 P XYP XY 21 00, 2 PXYP XY 21 422 2 PXYP XYP XY XY和 2 ()XY的分布律分别为 和 所以由离散 2 ()

31、XY04 P 1 2 1 2 XY 202 P 1 4 1 2 1 4 15 型随机变量的数学期望计算公式有： 1 () n kk k E XxP Xx 所以有， 2 224 ()0,()2 442 E XYE XY 22 ()() ()2D XYE XYE XY 十二十二 【详解】 首先找出随机变量Y的表达式Y由X和 2(小时)来确定， 所以min(,2)YX 指数分布的X的分布参数为 11 , ()5E X 其密度函数为： 1 5 1 0 ( ) 5 00 x X ex fx x 其中0是参数 由分布函数的定义：( )min(,2)F yP YyPXy (1) 当0y 时，( )0 Y Fy (因为min,2YX，其中X和2都大于0，那么小于0是 不可能事件) (2) 当2y 时，( )1 Y Fy (因为min,2YX最大也就取到2，所以小于等于2是一 定发生的，是必然事件) (3) 当02y时,( )min(,2)F yP YyPXyP Xy 11 55 0 1 ( )1 5 xyyy X fx dxedxe 所以 1 5 00 ( )102 12 y Y y Fyey y