1、2020 年数一真题 一、选择题 (1)当 x 0+时，下列无穷小量中阶最高的是 () (A) x 0 (et 2 1)dt.(B) x 0 ln(1 + t3)dt. (C) sinx 0 sint2dt.(D) 1cosx 0 sin3tdt. (2)设函数 f(x) 在区间 (1,1) 内有定义，且 lim x0 f(x) = 0，则 () (A) 当 lim x0 f(x) |x| = 0 时，f(x) 在 x = 0 处可导. (B) 当 lim x0 f(x) x2= 0 时，f(x) 在 x = 0 处可导. (C) 当 f(x) 在 x = 0 处可导时，lim x0 f(x)
2、 |x| = 0. (D) 当 f(x) 在 x = 0 处可导时，lim x0 f(x) x2= 0. (3)设函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处可微，f(0,0) = 0，n = ( f x, f y,1 )? ? ? (0,0)，非零向量 与 n 垂直， 则 () (A)lim (x,y)(0,0) |n(x,y,f(x,y)| x2+y2 存在.(B)lim (x,y)(0,0) |n(x,y,f(x,y)| x2+y2 存在. (C)lim (x,y)(0,0) |(x,y,f(x,y)| x2+y2 存在.(D)lim (x,y)(0,0) |(x,y,f(x,y)| x2+
3、y2 存在. (4)设 R 为幂级数 n=1 anxn的收敛半径，r 是实数，则 () (A) 当 n=1 a2nr2n发散时，|r| R.(B) 当 n=1 a2nr2n收敛时，|r| R. (C) 当 |r| R 时， n=1 a2nr2n发散.(D) 当 |r| R 时， n=1 a2nr2n收敛. (5)若矩阵 A 经过初等列变换化成 B，则 () (A) 存在矩阵 P，使得 PA = B. (B) 存在矩阵 P，使得 BP = A. (C) 存在矩阵 P，使得 PB = A. (D) 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解. (6)已知直线 l1: xa2 a1 = yb2 b
4、1 = zc2 c1 与直线 l2: xa3 a2 = yb3 b2 = zc3 c2 相交于一点，记向量 i= ai bi ci ，i = 1,2,3，则 ( ) (A)1可由 2，3线性表示.(B)2可由 1，3线性表示. (C)3可由 1，2线性表示.(D)1，2，3线性无关. (7) 设 A，B，C 为三个随机事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = 1 4，P(AB) = 0，P(AC) = P(BC) = 1 12， 则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为 () 1 2020 年数一真题 (A)3 4. (B)2 3. (C)1 2. (D) 5 12. (8)设 X
5、1，X2，X100为来自总体 X 的简单随机样本，其中 PX = 0 = PX = 1 = 1 2，(x) 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P 100 i=1 Xi 55 的近似值为 () (A)1 (1).(B)(1).(C)1 (0.2).(D)(0.2). 二、填空题 (9)lim x0 1 ex1 1 ln(1+x) =. (10)设 x = t2 + 1, y = ln(t + t2 + 1), 则 d2y dx2 ? ? ? t=1 =. (11)设 f(x) 满足 f(x) + af(x) + f(x) = 0(a 0)，f(0) = m，f(0) = n，则 +
6、0 f(x)dx =. (12)设 f(x,y) = xy 0 ext 2dt，则 2f xy ? ? ? (1,1) =. (13)行列式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a011 0a11 11a0 110a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =. (14)设 X 服从 ( 2, 2 ) 上的均匀分布，Y = sinX，则 Cov(X,Y ) =. 三、解答题 (15) 求函数 f(x, y) = x3 + 8y3 xy 的极值. (16)计算 I = L 4xy 4x2+y2dx + x+y 4x2+y2dy，其中 L 为 x 2 + y2= 2，方向为逆时针方向. (17)设数列 an 满足 a1= 1，(n+1)an+1= (n + 1 2 ) an. 证明：当 |x| t 与 PT s + t|T s，其中 s 0，t 0. (II) 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t1，t2，tn，若 m 已知，求 的 最大似然估计值 .
